tong hop hhkg (hay)

GV:đặng bá bảy ôn thi đại học 2010 Phần 1. Thể tích khối đa diện A. Lý thuyết 1. Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12) 2. Các công thức tính thể tích của khối đa diện a) Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc với a, b, c là 3 kích thớc của khối hp chữ nhật b) Thể tích của khối chóp V= 3 1 S đáy . h ; h: Chiều cao của khối chóp c) Thể tích của khối lăng trụ V= S đáy . h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ B. Các dạng bài tập Dạng 1. Tính thể tích của khối đa diện *Ph ơng pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể: +áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích +Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính đợc +Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để đợc 1 khối đa diện có thể tính thể tích bằng công thức và phần bù vào cũng tính đợc thể tích. *Các bài tập 1)Về thể tích của khối chóp +Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích đáy và áp dụng công thức :V= 3 1 S đáy . h Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trờng hợp sau: a) Cạnh đáy bằng a, góc ABC = 60 o b) AB = a, SA = l c) SA = l, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng giải: a) Gọi O là tâm ABC đều SO (ABC) S ABC = 2 1 a 2 3a = 4 3 2 a ABC có SA = SB; ABC = 60 o SA = AB = SB = a C S A B O a GV:đặng bá bảy ôn thi đại học 2010 SO OA ( vì SO (ABC) ) Tam giác vuông SOA có: SO 2 = SA 2 - OA 2 = a 2 - ( 3 2 a 2 3 ) 2 = 2 2 2 3 2 3 a a a = SO = a 3 2 Vậy VSABC = SABC . SO = 3 1 . 4 3 2 a . a 3 2 . 3 2 2 a l b) Tơng tự câu a đáp số: VSABC = 3 1 . 4 3 2 a . 3 2 2 a l c) Gọi O là tâm ABC Gọi A là trung điểm BC Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SAO = Tam giác vuông SOA có: SO 2 = l 2 - OA 2 = l 2 - 9 4 AA 2 Tam giác vuông SOA có: sin'.sin 3 1 ' 3 1 AASO AA SO == (2) Từ (1) (2) ta có: 2 9 4 2 9 1 sin'.sin' lAAAA =+ O B A' A C a AA 2 (sin 2 + 4) = 9l 2 4sin 3 2 ' + = l AA SABC = )4(sin2 33 4sin3 3 4sin 3 2 1 2 1 2 2 22 '. + ++ == l ll BCAA 4sin sin. 4sin 3 3 1 22 sin ++ == ll SO VSABC = 3 1 SABC . SO = 4sin).4(sin sin 3 3 22 2 . ++ l Bài 2. Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên = 2a, ABC vuông tại A, AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VAABC theo a? Giải. GV:đặng bá bảy ôn thi đại học 2010 -Gọi H là trung điểm BC AH (ABC) (gt) -Ta có SABC = 3. 2 2 1 2 1 aACAB = -Vì AH (ABC) AH AH Tam giác vuông AHA có: AH 2 = AA 2 - AH 2 = (2a) 2 - 4 1 .(a 2 + 3a 2 ) hay AH 2 = 4a 2 - a 2 = 3a 2 AH = a 3 B C H 2a a a 3 C' A' VAABC = 3 1 SABC .AH = 2 2 2 1 3 1 2 3.3. a aa = Bài 3. Hình chóp SABCD có SA (ABC), SA = a. ABC vuông cân có AB = BC =a. B là trung điểm SB. C là chân đờng cao hạ từ A của SAC a) tính VSABC b) Chứng minh rằng AB (ABC). Tính VSABC Giải a) SABC = 2 2 1 2 1 . aBCBA = ; SA =a VSABC = 3 1 SABC .SA = 6 1 a 3 a C A a a B' C' B b) SAB có AB = SA = a SAB cân tại A AB SB BS = BB BC AB BC (SAB) BC AB BC SA AB (SAC) AB SA SC (ABC) AC SC Cách 1 GV:đặng bá bảy ôn thi đại học 2010 2 2 2 1 2 1 2' a aSBAB === Vì AB (SBC) AB BC. SC = aACSA 3 22 =+ 3 2 ' a SC SA SC == BC 2 = SB 2 - SC 2 = 66 '' 2 aa CB = SABC = 3462 2 1 2 1 2 '''. aaa CBAB == VABC = 363243 1 32 aaa = Cách 2 3 ' ' 1 1 2 3 3 a SB SC SB SC a = = = 3 ' ' 3 3 ' ' ' 1 1 1 ' ' ' 6 6 6 36 3 SAB C SABC a V SA SB SC a SA B C V SA SB SC a V a = = = = = Bài 4 Hình chóp SABC có SA (ABC), ABC cân tại A, D là trung điểm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = ; (SB, (SAD)) = . Tính VSABC. Giải Dễ thấy (SB, (ABC)) = = SBA (SB, (SAD)) = = BSD ABC cân AD BC DB = DC SAB có cos = SB AB (1) BC AD BC SA (vì SA (ABC) BC (SAD) BC SD a B A C D S Tam giác vuông SB có sin = SB BD (2) Từ (1) (2) sinsincos 22 aAB BDAB == sin cos 22 2 2 aAB AB = AB 2 (sin 2 cos 2 ) = -a 2 cos 2 AB = cos 2 sincos 1 22 a GV:đặng bá bảy ôn thi đại học 2010 SSAB =BD.AD = 2 2 2 2 2 2 sin sin cos cos cos cos sin cos sin . . Sin a a AD AB = = SA = AB. tan = 22 sincos sin a VSABC = 3 1 SA.SABC = 22 sincos sin 3 1 a 22 2 sincos sin a = 22 3 sincos3 cossin a Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. các nửa đờng thẳng Ax, Cy (ABCD) và ở cùng một phía với mặt phẳng đó. Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích của hình chóp BAMNC. Giải Gọi I là giao điểm của AC và BD Ta có BD AC (vì ABCD là hình vuông) (Ax, Cy) (ABCD) BD (AMNC) BI (AMNC) BI = 2 2 2 a BD = x n A D C m B M N Diện tích hình thang AMNC là S = 2 2)( 2 )( . anmCNAM AC ++ = VAMNC = )( 62 2 2 2)( 3 1 3 1 2 nmBIS a a anm AMNC +== + *Nếu khối chóp cần tính thể tích cha bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí chân đờng cao trên đáy. Ta có một số nhận xét sau: -Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đờng cao là tâm đờng tròn ngoại tiếp đáy. -Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên áy hoặc có các đ- ờng cao của các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đờng cao là tâm đờng tròn nội tiếp đáy -Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đờng cao của hình chóp là đờng cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó. -Nếu có một đờng thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đ- ờng cao của khối chóp sẽ song song hoc nm trờn với đờng thẳng đó. -Nếu một đờng thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đờng cao của khối chóp là đờng thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên. *Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp. GV:đặng bá bảy ôn thi đại học 2010 Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = , các cạnh bên nghiêng trên đáy một góc . Tính VSABC Giải A S C B H a - Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) - Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. - Ta có: ABC = sin 2 1 ACAB mà BC 2 = 2AB 2 - 2AB 2 cos = 2AB 2 (1-cos ) = a 2 AB = 2 cos1 a SABC = 24cos1 sin 22 1 2 2 1 cossin 22 aa AB == HA = R = sin2sin2 aBC = Tan giác vuông có tan = AH SH SH = cos2sin2 tan aa = VSABC = cos24 cot cos2243 1 3 1 2 3 2 .cot a aa ABC SHS == Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = 3 và góc giữa 2 đ- ờng chéo = 60 o . các cạnh bên nghiêng đều trên đáy 1 góc 45 o . Tính VSABCD Giải GV:đặng bá bảy ôn thi đại học 2010 A B C O D -Hạ SO (ABCD) - Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy. O là tâm đờng tròn đi qua 4 đỉnh A, B, C, D tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC BD - Đặt AC = BD =x. Ta có S hcnABCD = 2 1 AC.BD.sin60 o = 3. 2 4 3 2 3 2 2 1 == xx x=3 - (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45 o = SCO = (SC, (ABCD)) ASC vuông cân tại S SO = 1 2 1 =AC VSABCD = 3 3 3 1 1.3 = Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60 o , BSC = 90 o , CSA = 120 o . a) Chứng minh rằng ABC vuông b) Tính VSABC Giải a) H B A S C a = = o ASB SBSA 60 AB = a -Tam giác vuông SBC có BC 2 = SB 2 + SC 2 = 2a 2 -SAC có AC 2 = a 2 + a 2 -2a 2 cos120 o = 2a 2 - 2a 2 (- 2 1 ) =3a 2 -ABC có AC 2 = AB 2 + BC 2 ABC vuông tại B GV:đặng bá bảy ôn thi đại học 2010 b) Hạ SH (ABC) Vì SA = SB = SL HA = HB = HC H là trung điểm AC ABC vuông tại B Tam giác vuông SHB có SB = a SH 2 = SB 2 - BH 2 = 24 2 aa SH = BH = 2 3 2 a AC = (Hoặc SAC là nửa đều tam giác đều SH = 22 aSA = ) VSABC = 12 2 6 1 2 1 3 1 3 1 23 .2 aa ABC aaSHBCABSHS === Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90 o . SAC và SBD là các tam giác đều có cạnh = 3 . Tính thể tích khối chóp SABCD. Đáp số: VSABCD = 4 6 Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, SAD đều cạnh = 2a, BC = 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD Giải 2a 3a C D H K - Hạ SH (ABCD), H (ABCD) - Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh đợc H là tâm đờng tròn nội tiếp đáy - Gọi K là hình chiếu của H lên AD - Ta có HK = a AD = 2 - Tam giác vuông SHK có HK = a SK = 32 2 3 aa = (vì SAD đều) SH = 23 22 aaa = GV:đặng bá bảy ôn thi đại học 2010 Vì ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a SABCD = 2 2 2.5 2 ).( 5a aa ADCDAB == + VSABCD = 3 5 2 3 1 3 1 23 2.5. a ABCD aaSHS == Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 , (SAB) (ABCD). M, N ln lt l trung điểm AB, BC. Tính VSBMDN Giải S A D C H B M N SAB hạ SH b AB (SAB) b (ABCD) SH b (ABCD) SH b (BMDN) SCDN = SMDA = 4 1 SABCD SBMDN = 2 1 SABCD = 2 1 2a.2a = 2a 2 SAB có AB 2 = SA 2 + SB 2 = 4a 2 SAB vuông tại S 222222 3 4 3 11111 aaaSBSASH =+=+= SH = 2 3a VSBMDN = 3 1 SBMDN.SH = 2 3 2 3 2 3 1 3 .2 aa a = Bài 12: SABCD có ABCD là hình thang với AB = BC = CD = 2 1 AD. SBD vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. SB = 8a, SD = 15a. Tính VSABCD Giải GV:đặng bá bảy ôn thi đại học 2010 S H 15a 8a A D C B -Trong SBD kẻ SH b BD Vì (SBD) b (ABCD) SH b (ABCD) -Tam giác vuông SBD có 222 111 SDSHSH += hay 222 225 1 64 11 aaSH += hay aaSH 17 120 289 14400 . == -Vì hình thang có AB = BC = CD = 2 1 AD DA = = 60 o , B = C = 120 o -SBD có BD 2 = SB 2 +SD 2 =289a 2 BD = 17a CBD có BD 2 =2BC 2 (1+ 2 1 ) = 3BC 2 = 289a 2 BC = a 3 17 SBCD = 12 3289 2 3 2 3 289 2 1 2 2 1 2 120sin a o aBC == SABCD = 3SBCD = 12 3289 2 a VSABCD = 3 1 SABCD.SH = 17 120 12 3289 3 1 . 2 a a = 170 3 a 3 Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SCD cân tại S và nằm trong mặt phẳng (ABCD). SAB có SA = a, ASB = 2 và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc . Tính thể tích khối chóp SABCD Giải