đề HSG có đáp án

uỷ ban nhân dân Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện huyện Quế sơn năm học 2005-2006 Phòng giáo dục Môn : Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề chính thức - Vòng 1 Bài 1 : (3,0 điểm) Cho 322 32 ++ + =a và 322 32 =b a. Tính tích a.b và tổng a+b b. Tính a 3 + b 3 . c. Tính a 7 + b 7 3 1 113132 1 343243242 34 . = +++ = ++ =ba 2 33 32 33 32 2 3242 32 3242 32 2 = + + + = + ++ + =+ ba 22. 3 1 .3)2()(3)( 3333 ==++=+ baabbaba Có a 2 + b 2 = (a+b) 2 -2ab a 4 + b 4 = (a 2 + b 2 ) 2 - 2a 2 b 2 = (a 2 + b 2 ) 2 - 2(ab) 2 (a 3 + b 3 )(a 4 +b 4 ) = a 7 + b 7 +a 3 b 4 + a 4 b 3 = a 7 + b 7 +a 3 b 3 (a + b) Suy ra a 7 + b 7 = (a 3 + b 3 )(a 4 +b 4 ) - (ab) 3 (a + b). Thực hiện thay số để tính. - Tính tích a.b : 0,50 điểm - Tính tổng a+ b : 0,75 điểm - Tính a 3 + b 3 : 0,50 điểm - Tính a 7 + b 7 : 1,25 điểm ( Mỗi ý cho 0,25 điểm) Bài 2 : (1,5 điểm) Giải hệ phơng trình : = = 5 242 5 362 22 22 yx y yx x = + = + + = + = + 5 2411 5 3611 5 24)()( 5 36))(( 22 22 yxyx yxyx yx yxyx yx yxyx Đặt a = yx 1 ;b = yx + 1 đợc hệ : = =+ 5 24 5 36 ba ba Giải hệ để đợc a = 6 ; b = 5 6 Lập và giải hệ + = 6 5 6 1 yx yx đợc nghiệm : = = 3 1 2 1 y x ( Mỗi ý 0,25 điểm) Bài 3 : (2,0 điểm) Cho nnnA 23 23 ++= a. Chứng minh A chia hết cho 6 với mọi giá trị nguyên dơng của n. b. Tìm các giá trị nguyên dơng của n, với n < 10 để A chia hết cho 30. - )2)(1())1(2)1(()23( 2 ++=+++=++= nnnnnnnnnnA - A Là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên A chia hết cho 2. - A Là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên A chia hết cho 3. - A vừa chia hết cho 2, 3 và (2,3) =1 nên A chia hết cho 6. - Do (5,6) = 1 nên để A chia hết cho 30 thì A chia hết cho 5 và A chia hết cho 6 - Do A luôn chia hết cho 6 ( theo a) nên để A chia hết cho 30 thì A chia hết cho 5 - Do 5 là số nguyên tố nên n(n+1)(n+2) chia hết cho 5 khi một trong ba số chia hết cho 5 - Tìm đợc n = 5; n=4 ; n =9 ; n =3 ; n = 7 (Mỗi ý cho 0,25 điểm) Bài 4 : (1,5 điểm) Hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với AB cắt (O) tại C và cắt (O') tại D. Tia CB cắt (O') tại F, tia DB cắt (O) tại E. Chứng minh rằng AB là tia phân giác của góc EAF. A B C D E F O O' - CAE = CBE ( nội tiếp cùng chắn cung CE) - DAF = DBF ( nội tiếp cùng chắn cung DF) - CBE = DBF ( đối đỉnh ) - Suy ra CAE = DAF - Suy ra EAB = FAB ( cùng phụ với hai góc bằng nhau) hay AB là phân giác của EAF. Bài 5 : (1,5 điểm) Trong hình vuông ABCD, vẽ nửa đờng tròn đờng kính là cạnh AD và vẽ cung AC mà tâm là D. Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa đờng tròn đờng kính AD ở K. Chứng minh rằng PK bằng khoảng cách từ P đến cạnh AB. - Hạ PI vuông góc với AB suy ra PI // AD DAP = API. - Tam giác DAP cân tại D nên DAP = DPA DPA = API - Tam giác AKP vuông tại K. - Hai tam giác vuông AKP và AIP có cạnh huyền và góc nhọn bằng nhau nên bằng nhau. - Suy ra đợc PK = PI. A B C D P A K I uỷ ban nhân dân Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện huyện Quế sơn năm học 2005-2006 Phòng giáo dục Môn : Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề chính thức - Vòng 2 Bài 1 : (2,0 điểm) Cho 0 111 =++ cba Tính giá trị các biểu thức sau : a. c ba b ac a cb M + + + + + = b. abcacbbca N 2 1 2 1 2 1 222 + + + + + = Bài 2:(2,5 điểm) Giải các phơng trình sau : a. 010)12)(1)(14)(34( =++++ xxxx b. 222 9)152)(132( xxxxx =+++ Bài 3:(1,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 32 2 2 + ++ = x xx A Bài 4:(2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. AH, HM,HN lần lợt là đờng cao của các tam giác ABC, HAB, HAC. Chứng minh rằng : a. CN BM AC AB = 3 b. CNCMB CAH 3 = Bài 5:(2,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD) có O là giao điểm hai đờng chéo. Đờng thẳng qua O song song với hai đáy cắt AD và BC lần lợt tại E và F. a. Chứng minh O là trung điểm của EF. b. Cho AB = a; CD = b. Tìm EF. uỷ ban nhân dân Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện huyện Quế sơn năm học 2005-2006 Phòng giáo dục Môn : Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) hớng dẫn chấm- Vòng 2 Bài 1 : (2,0 điểm) - 3+ + ++ + ++ + = c c c ba b b b ac a a a cb M - 3 ++ + ++ + ++ = c cba b bac a cba M - 3) 111 )(( ++++= cba cbaM - Do 0 111 =++ cba nên M = -3 - Từ 0 111 =++ cba ta đợc ab + bc + ca = 0 - a 2 + 2bc = a 2 + 2bc -ab - bc - ca = (a -b)(a -c) - Tơng tự ta cũng có : b 2 + 2ac = (b-a)(b-c) ; c 2 + 2ab = (c -a)(c -b) - Thay vào trên thực hiện quy đồng đợc : 0 ))()(( = ++ = cbcaba bacacb N (Mỗi ý cho 0,25 điểm) Bài 2:(2,5 điểm) - Nhân hai vế của phơng trình với 4.2 đợc : 080)24)(44)(14) (34( =++++ xxxx (16x 2 + 20x + 6)(16x 2 + 20x + 5) -80 = 0 - Đặt y = 16x 2 + 20x + 5 đợc y 2 - 81 = 0 - Giải đợc y = 9 - Giải các phơng trình 16x 2 + 20x + 5 = 9 ; 16x 2 + 20x + 5 = -9 để kết luận nghiệm. - x = 0 không là nghiệm. - Chia hai vế cho x 2 đợc : 9) 1 52)( 1 32( =+++ x x x x - Đặt ẩn phụ x xy 1 2 += đợc : ( y - 3)(y + 5) = 9 - Giải phơng trình bậc hai : y 2 + 2y - 24 = 0 đợc hai nghiệm y 1 = 4; y 2 = -6 - Giải phơng trình =+ x x 1 2 4 đợc 2 22 ; 2 22 21 + = = xx - Giải phơng trình =+ x x 1 2 -6 đợc 2 73 ; 2 73 43 + = = xx ( Mỗi ý 0,25 điểm) Bài 3:(1,5 điểm) - A xác định với mọi giá trị của x. Gọi y là giá trị của biểu thức A ta có : 032y2x1)(yx32xx2)y(x 2x 32xx y 222 2 2 =+++=+ + ++ = (*) - y = 1 đợc 2 1 =x - Với y 1 để (*) có nghiệm cần ' 0 - 1 - (y-1)(2y-3) 0 -2y 2 + 5y - 2 0 - Giải đợc : 2 2 1 y - Kết luận : A min = 2 1 với x = -2 ; A max = 2 với x = 1. (mỗi ý cho 0,25 điểm) Có thể biến đổi A = 2 )1( 2 2 2 + x x để tìm A max A = 2 )2( 2 1 2 2 + + + x x để tìm A min ( Biến đổi 0,50; Kết luận 0,25 cho mỗi trờng hợp) Bài 4:(2,0 điểm) - áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông ABC có : CBCHAC BCBHAB . . 2 2 = = 2 2 4 4 2 2 CH BH AC AB CH BH AC AB == (1) - áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông HAB và HAC có : CACNCH BABMBH . . 2 2 = = (2) - Thay (2) vào (1) đợc : CACN BABM AC AB . . 4 4 = đpcm A B C H M N - Có AH 2 = BH.CH AH 4 =BH 2 .CH 2 (3) - Thay (2) vào (3) đợc AH 4 = BM.BA.CN.CA - Thay BA.CA = AH.BC vào (3) đợc : AH 4 = BM.CN.AH.BC đpcm ( ý đầu mỗi câu 0,50 điểm, các ý còn lại 0,25 điểm) Bài 5: (2,0 điểm) - Có EF//DC nên : AC OA DC OE = BD OB DC OF = (1) - AB//DCnên OB OBOD OA OAOC OB OD OA OC + = + = - BD OB AC OA OB BD OA AC == (2) - Từ (1) và (2) đợc : DC OF DC OE = đpcm. - Từ : BD OB DC OF = và CA OC AB OF = cộng đợc: CA OC OD OB AB OF DC OF +=+ . (3) - Thay BD OB AC OA = vào (3) đợc : 1==+=+ AC AC CA OC AC OA AB OF DC OF - Suy ra đợc : OF = ba ab DCAB DCAB + = + . - EF = 2OF = ba ab + 2 ( mỗi ý 0,25 điểm) A B O E F D C . cấp huyện huyện Quế sơn năm học 2005-2006 Phòng giáo dục Môn : Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề chính thức - Vòng 1 Bài 1 : (3,0 điểm) Cho 322 32 ++ + =a và 322 32 =b a cấp huyện huyện Quế sơn năm học 2005-2006 Phòng giáo dục Môn : Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề chính thức - Vòng 2 Bài 1 : (2,0 điểm) Cho 0 111 =++ cba Tính giá. giỏi cấp huyện huyện Quế sơn năm học 2005-2006 Phòng giáo dục Môn : Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) hớng dẫn chấm- Vòng 2 Bài 1 : (2,0 điểm) - 3+ + ++ + ++ + = c c c ba b b b ac a a a cb M - 3 ++ + ++ + ++ = c cba b bac a cba M -