Tài liệu hổ trợ bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề : DÃY SỐ §1 Bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số Bài toán : Cho dãy số (u n ) xác đònh bởi : 1 2 11 o n n n u a u b u pu qu + + = = = + Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số (u n ) Phương pháp : Lập phương trình x 2 – px – q = 0 (1) (gọi là phương trình đặc trưng) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thì số hạng tổng quát của dãy số có dạng : 1 2 n n n u Ax Bx= + Nếu phương trình (1) có nghiệm kép x 0 thì số hạng tổng quát của dãy số có dạng : ( . ) n n o u A B n x= + Ví dụ1: Tìm số hạng tổng quát của dãy (x n ) biết rằng : −= = = ++ n1n2n 1 o x10x7x 3x 0x với mọi Nn∈ Giải Phương trình đặc trưng : nn n 2 1 2 5.B2.AxVậy 5t 2t 0 107t - t += = = ⇔ =+ −= = ⇔ =+ =+ ⇒ = = 1B 1A 3B5A2 0BA 3x 0x Với 1 0 Do đó số hạng tổng quát của dãy số là : nn n 25x −= Ví dụ 2 : Tìm số hạng tổng quát của dãy (x n )và (y n ) biết rằng : += += == + + nn1n nn1n oo yxy y3xx 0yx với mọi Nn∈ Giải Từ hệ phương trình trên ta suy ra : == += ++ 4x;1x x2x2x 10 n1n2n Phương trình đặc trưng : nn n 2 1 2 )31(B)31(AxVậy 31t 31t 0 22t - t −++= −= += ⇔ =− -1- Tài liệu hổ trợ bồi dưỡng học sinh giỏi − = + = ⇔ =−++ =+ ⇒ = = 2 31 B 2 31 A 4B)31(A)31( 1BA 4x 1x Với 1 0 Do đó số hạng tổng quát của dãy số (x n ) là : 1n1n n )31( 2 1 )31( 2 1 x ++ −++= Ta có : 2n2n 1n )31( 2 1 )31( 2 1 x ++ + −++= Suy ra : 1n1n n )31( 6 3 )31( 6 3 y ++ −−+= Ví dụ 3 : Tìm số hạng tổng quát của dãy (x n ) biết rằng : + = == + + + 1nn 1nn 2n 21 x3x2 x.x x 1xx với mọi Nn∈ Giải Đặt n n y 1 x = và thế vào phương trình ta được : == += ++ 1yy y3y2y 21 n1n2n Phương trình đặc trưng : nn n 2 1 2 3.B)1.(AyVậy 3t 1t 0 3-2t - t +−= = −= ⇔ = = −= ⇔ =+ =+− ⇒ = = 6 1 B 2 1 A 1B9A 1B3A 1y 1y Với 2 1 Do đó số hạng tổng quát của dãy số (y n ) là : ` 1n1n n nn n )1(3 2 x 6 3 2 )1( y +− −+ =⇒ + − = Ví dụ 4 :Tìm số hạng tổng quát của dãy (x n ) biết rằng : ++= = + 1x8x3x 0x 2 nn1n o với mọi Nn∈ Giải -2- Tài liệu hổ trợ bồi dưỡng học sinh giỏi Tá có : =−+− =−+− ⇒ =−+−⇔ +=+−⇔ +=−⇔ ++= ++++ ++ ++ ++ + + 01xx.x6x 01xx.x6x 01xx.x6x 1x8x9x.x6x 1x8x3x 1x8x3x 2 1n1n2n 2 2n 2 1nn1n 2 n 2 nn1n 2 1n 2 n 2 nn1n 2 1n 2 nn1n 2 nn1n Để ý thêm các số hạng của dãy số kể từ số hạng thứ 2 đều dương và từ đó suy ra (x n ) tăng . Vì vậy phương trình trên tương đương với : 0x6xx 1nn2n =−+ ++ (1) Phương trình đặc trưng của (1) là: nn n 21 2 )223.(B)223.(AxVậy 223tt 0 16t - t −++= ±==⇔ =+ −= = ⇔ =−++ =+ ⇒ = = 24 1 B 24 1 A 1B).223(A).223( 0BA 1x 0x Với 1 0 Do đó số hạng tổng quát của dãy số là : nn n 24 )223( 24 )223( x − − + = Ví dụ 5 : Tìm số hạng tổng quát của dãy (x n ) biết rằng : + = = = = − +−+ + 1nn 2 n1n1n 2 1n 2n 2 1 0 x.x x.x.4x.x3 x 64x 4x 1x với mọi 1n ≥ Giải Từ điều kiện bài toán ta thấy Nn,0x n ∈∀> .Nên điều kiện bài toán có thể viết lại : 1n n n 1n 1n 2n x x4 x x3 x x − + + + += Đặt 1n n n x x y − = ta được n1n2n y4y3y += ++ Phương trình đặc trưng của dãy (y n ) : nn n 2 1 2 )1.(B4.AyVậy 1t 4t 0 4-3t - t −+= −= = ⇔ = = = ⇔ =+ =− ⇒ == == 0B 1A 16BA16 4BA4 16 x x y 4 x x y Với 1 2 2 0 1 1 Do đó số hạng tổng quát của dãy số là : -3- Tài liệu hổ trợ bồi dưỡng học sinh giỏi nn n 1 )2n()1n(n n 2n1nn n n n 2 2x 4x 4 4.4.4x 4y + ++−+−+ −− =⇔ =⇔ =⇒ = §1 Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy so á truy hồi Cho hàm số f liên tục trên (a ; b) và thỏa f((a;b)) ⊂ (a ; b) Xét dãy số (u n ) xác đònh như sau : 1 1 ( ; ) ( ) ( 1, 2,3, ) n n u a b u f u n + ∈ = = Để khảo sát sự hội tụ của dãy số (u n ) và tìm giới của nó ta có các phương pháp sau : Phương pháp 1: Sử dụng đònh nghóa Giả sử dãy số có giới hạn L thì L là nghiệm của phương trình f(x) = x trong [a;b] Xác đònh số thực )1;0(q∈ sao cho : 1n n u L q u L + − ≤ − . Từ đó suy ra : 1 1 1 n n u L q u L − + − ≤ − Do 0qlim n = , nên lim u n = L Ví dụ 1 : Cho số thực c >2. Dãy số (x n ) , n =1,2,3,…được xây dựng theo cách sau : 0 1 , n n x c x c c x + = = − + với (n = 0,1 , 2, …) nếu các biểu thức dưới căn là không âm. Chứng minh rằng dãy (x n ) được xác đònh với mọi giá trò n và tồn tại giới hạn hữu hạn ∞→n khixlim n Giải Ta chứng minh (x n ) được xác đònh với mọi n ≥ 1 bằng phương pháp quy nạp. đònh. xác được x Vậy 0xcc cc2xc c2ccxc0c Do 1 0 0 0 >+−⇒ <<+⇒ <+=+⇒> Giả sử x k được xác đònh (k≥1) thì : 0xcc cc2xc c2xcccx0 k k kk >+−⇒ <<+⇒ <+⇒<<< Vậy x k+1 được xác đònh. Theo nguyên lý quy nạp thì x n được xác đònh với mọi * Nn∈ Giả sử tồn tại lim x n =a thì acca +−= Đặt acb += thì bca −= và ta được : 1ab 1ba baba acb bca 22 2 2 +=⇒ −=−⇒ −−=−⇒ += −= Do đó ta được 0c1aa1aac 2 =−+−⇒+=+ -4- Tài liệu hổ trợ bồi dưỡng học sinh giỏi Vậy a là nghiệm của phương trình : x 2 – x +1 - c = 0 (*) Phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu , gọi a là nghiệm dương của (*)ta có : ca1c ax caaa ax )xc1a(a xc)1a( a xc1a axcc axcc axccax n 2 n n n 2 n n 2 n n1n +− − = ++ − ≤ +++ −−+ = +−+ ≤ ++− −+− =−+−=− + Đặt ca1c 1 q +− = Vì 1ca1ca1c >+≥+− nên 0 <q <1 Vậy acqax0 ax.qax n n n1n −≤−≤⇒ −≤− + Do lim q n = 0 , nên suy ra : lim x n = a . Ví dụ 2 : Dãy số ( ) n x được xác đònh như sau : 1 3;3 2 11 − +== + n n n x x xx ( n = 1, 2, 3, ….). Chứng minh rằng dãy số )( n x có giới hạn hữu hạn khi n +∞→ và tìm giới hạn của nó. Giải: • Từ cách xác đònh dăy số, suy ra 1,3 ≥∀≥ nx n Giả sử dãy có giới hạn là a thì a là nghiệm của phương trình : )3()1( 1 3 2 ≥ − += x x x x Đặt : <<= 2 0 1 sin π αα x , phương trình (1) trở thành : 0cos.sin3cossin =+− αααα Đặt : )2(cossin ≤−= tt αα , ta được phương trình : 30323 2 ±=⇔=−− ttt Suy ra : 6 )51.(3 sin 1 3 1 sinsin 3 1 cossin 2 ±− =⇒ = ++⇒−=− α αααα . Vậy : 2 )15.(3 + =a • Xét hàm số )3( 1 3)( 2 ≥ − += x x x xf có ( ) 3 2 ' 1 1 )( − − = x xf p dụng đònh lí Lagrange : axcfafxfax nn −=−=− + .)(')()( 1 với c nằmgiữa x n và a. Vì ( ) 4 2 1 1 )('3 3 2 ≤ − =⇒≥ c cfc . Do đó : axax nn −≤− + . 4 2 1 -5- Tài liệu hổ trợ bồi dưỡng học sinh giỏi Suy ra : axax n n − ≤−≤ − 1 1 . 4 2 0 , và do 0. 4 2 lim 1 1 =− − ax n Do đó : 2 )15.(3 lim + == ax n Phương pháp 2 : Sử dụng tính hội tụ của dãy đơn điệu và bò chặn Đònh lý Weierstrass : Nếu dãy số tăng và bò chặn trên (hoặc giảm và bò chặn dưới) thì có giới hạn hữu hạn. Đònh lý : Nếu hàm số f liên tục tại x 0 và dãy số (u n ) hội tụ về x 0 thì dãy số (f(u n )) hội tụ về f(x 0 ). Chú ý các kết quả sau : Nếu hàm số f đồng biến trên (a;b) thì dãy số (u n ) tăng khi x 1 < x 2 và giảm khi x 1 >x 2. Ví dụ 1 : Cho số thực );0(a π∈ .Dãy số (u n ) với Nn∈ được xác đònh bởi : 0 1 , cos n n n u a n N u u u + = ∀ ∈ = + Chứng minh rằng dãy số (u n ) có giới hạn hữu hạn khi +∞→n và tìm giới hạn đó. Giải Xét hàm số f(x) = x +cos x với );0(x π∈ . Ta có : f’(x) = 1 – sin x ≥ 0 với mọi );0(x π∈ Nên hàm số f(x) đồng biến trên );0( π . Mà );0());0((f 1)(f 1)0(f π⊂π⇒ −π=π = Vì 1 (0; )u π ∈ .và ((0; )) (0; )f π π ⊂ , nên bằng phương pháp qui nạp ta được (0; ), n u n N π ∈ ∀ ∈ . Vậy dãy (u n ) bò chặn. Nếu 2 a π = thì , 2 n u n N π = ∀ ∈ Nếu 2 a0 π << thì 1 2 u u< , nên (u n ) là dãy số tăng. Nếu π<< π a 2 thì 1 2 u u> , nên (u n ) là dãy số giảm. Các kết quả trên cho thấy dãy (u n ) hoặc là dãy số hằng hoặc là dãy đơn điệu và do (u n ) bò chặn nên (u n ) hội tụ. Gọi L = lim u n thì 2 L L0 LcosLL π =⇔ π≤≤ += Do đó (u n ) hội tụ và lim 2 n u π = . Ví dụ 2 : Cho số thực a ≥ 1. Dãy số ( ) n x được xác đònh như sau : 0 x = a ; nnn xxx 21 log+= + ( n = 0, 1, 2, 3, ….) Chứng minh rằng dãy số )( n x có giới hạn hữu hạn khi n +∞→ và tìm giới hạn của nó. Giải : Xét phương trình: xxx =+ 2 log ⇔ 0log 2 =−+ xxx Hàm số f(x) = xxx −+ 2 log ( x ≥ 1 ) có: f’(x) = 1 2ln. 1 2 1 −+ x x Vì f’’(x) = );1(,0 2ln. 1 4 1 2 3 +∞∈∀<−− x x x . Suy ra f’(x) là hàm số nghòch biến trên (1;+ ∞ ) -6- Tài liệu hổ trợ bồi dưỡng học sinh giỏi và do f’(1)= 01 2ln 1 2 1 >−+ , 1)('lim −= +∞→ xf x < 0 , nên phương trình f’(x) = 0 có một nghiệm duy nhất x 0 );1( ∞∈ . Bảng biến thiên: Nhậnthấy f(1) = f(4) = 0, nên từ sự biến thiên của f(x), ta suy trên [ ) ∞+;1 phương trình f(x) = 0 cóù đúng hai nghiệm: x=1 ; x=4. (1 < x 0 < 4 ) Đặt g(x) = xx 2 log+ thì hàm số g(x) đồng biến trên [ ) ∞+;1 vàdãy(x n )đượcviếtlại = = + )( 1 0 nn xgx ax Ta xét các trường hợp sau : TH 1 : a = 1 Từ g(a) = a= 1 ta suy ra x n = 1 , Nn ∈∀ . Do đó 1lim = +∞→ n n x TH 2 : a= 4 Trong trường hợp này g(a) = a = 4 , nên : x n = 4 , Nn ∈∀ . Do đó 4lim = +∞→ n n x (0,5điểm) TH 3 : 1 < a < 4 °Từ bảng biến thiên của hàm số f(x), ta suy ra với 1 < a < 4 thì f(a) > 0 , nên g(a) > a và do hàm số g(x) đồng biến trên [ ) ∞+;1 , nên dãy số (x n ) tăng. °Ta chứngminh 1 < x n < 4 , Nn ∈∀ . (*) Với n=0 thì x 0 = a ∈ (0;4) : (*) đúng Giả sử 1 < x n < 4 ⇒ g(1) < g(x n ) < g(4) ⇒ 1 < x n+1 < 4. Vậy (*) đúng với n+1. Theo nguyên lý quy nạp 1 < x n < 4 , Nn ∈∀ . Dãy số (x n ) tăng và bò chặn nên hội tụ. Gọi: bx n n = +∞→ lim thì:1<x 0 <x 1 <…<x n <…<4 ⇒ 1< b ≤ 4. Qua giới hạn hai vế của nnn xxx 21 log+= + ta được: bbb 2 log+= ⇒ b= 4 ⇒ 4lim = +∞→ n n x . TH 4 : a > 4 °Với a > 4 thì f(a) < 0 , nên g(a) < a và vì hàm số g(x) đồng biến trên [ ) ∞+;1 , ta suy ra dãy số (x n ) giảm. °Ta chứngminh: 4 < x n , Nn ∈∀ . (*) Với n = 0 thì x 0 = a > 4 : (*) đúng Giả sử 4 < x n ⇒ g(4) < g(x n ) ⇒ 4 < x n+1 . Vậy (*) đúng với n+1. Theo nguyên lý quy nạp 4 < x n , Nn ∈∀ . Dãy (x n ) giảm và bò chặn dưới, nên hội tụ. Gọi: cx n n = +∞→ lim thì x 0 > x 1 >…> x n >…>4 ⇒ c ≥ 4 Qua giới hạn hai vế của nnn xxx 21 log+= + tược: ccc 2 log+= ⇒ c = 4 ⇒ 4lim = +∞→ n n x . Kết luận: Dãy số (x n ) là dãy số hội tụ và nếu a=1 thì 1lim = +∞→ n n x , nếu a > 1 thì 4lim = +∞→ n n x . Ví dụ 3 : Cho dãy số (x n ) được xác đònh như sau : -7- x 1 x 0 + ∞ f’(x) + 0 - f(x) 0 - ∞ Tài liệu hổ trợ bồi dưỡng học sinh giỏi + += = + n 1n xlnx 1x n1n 1 (n = 1,2,3,…) Chứng minh rằng dãy số (x n ) có giới hạn hữu hạn khi +∞→n và tìm giới hạn đó. Giải Ta chứng minh x n ≥ 1 với mọi * Nn∈ Bất đẳng thức trên đúng với n=1 Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k , tức là : 1 k 1k xlnx1x k1kk > + +=⇒≥ + Vậy bất đẳng thức đúng với n=k+1 Từ đó suy ra : x n ≥ 1 , với mọi * Nn∈ tức là dãy (x n ) bò chặn dưới bởi 1. Chứng minh : x n+1 < x n với mọi n ≥ 2 Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k ≥ 2) , tức là : 1k2k k1k k1kk1kk1k xx k 1k xln 1k 2k xln k 1k xln 1k 2k xlnxlnxlnxx ++ + +++ <⇒ + +< + + +⇒ + +< + + +⇒<⇒< Vậy bất đẳng thức đúng với n=k+1 Từ đó suy ra bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 2. Vậy với mọi n ≥ 2 thì (x n ) giảm và bò chặn dưới nên (x n ) hội tụ. Đặt 1xlim n ≥α⇒=α . Trong hệ thức n 1n xlnx n1n + += + qua giới hạn 2 vế ta được : 01ln1ln 2 =−α−α⇔+α=α (*) Xét hàm số : g(x) = x 2 –lnx – 1 với x ≥ 1 Ta có : 1x,0 x 1 x2)x('g ≥∀>−= Suy ra : g(x) đồng biến trên [ ) +∞;1 và g(1) = 0 nên (*) có nghiệm duy nhất trên [ ) +∞;1 là 1 =α Vậy : lim x n = 1 Ví dụ 4 : Cho dãy số (x n ) được xác đònh như sau : π + π = == ++ n 2 1n2n 21 xsin 5 2 x 5 2 x 1xx (n = 1,2,3,…) Chứng minh rằng dãy số (x n ) hội tụ và tìm giới hạn đó. Giải Trước hết ta chứng minh : 1n, 2 ;0x n ≥∀ π ∈ Thật vậy : π ∈== 2 ;01xx 21 Giả sử đã có : )2k(kn, 2 ;0x n ≥≤∀ π ∈ Khi đó : -8- Tài liệu hổ trợ bồi dưỡng học sinh giỏi 25 2 10 xsin 5 2 x 5 2 x0 5 2 xsin 5 2 0 2 x0 10 x 5 2 0 2 x0 1k 2 k1k 1k1k 2 kk π = π + π < π + π =<⇒ π < π <⇒ π << π < π <⇒ π << −+ −− Theo nguyên lý quy nạp thì 1n, 2 ;0x n ≥∀ π ∈ Ta chứng minh : 1n,xx 1nn ≥∀≤ + (1) Ta có : x 1 =x 2 và x 2 < x 3 nên (1) đúng với n = 1 , n = 2. Giả sử (1) đúng với mọi n ≤ k (k ≥ 2). Khi đó : 2kk 2 1k1k 2 k1k xxsin 5 2 x 5 2 xsin 5 2 x 5 2 x ++−+ = π + π ≤ π + π = Vậy (1) đúng với k+1. Theo nguyên lý quy nạp thì (1) đúng 1n ≥∀ Như vậy dãy số (x n ) không giảm và bò chặn nên có giới hạn. Đặt a = lim x n thì 2 a0 π ≤< Từ công thức : asin 5 2 a 5 2 a xsin 5 2 x 5 2 x 2 n 2 1n2n π + π =⇒ π + π = ++ Vậy a là nghiệm thuộc π 2 ;0 của phương trình : 0xxsin 5 2 x 5 2 2 =− π + π (*) Xét hàm số : xxsin 5 2 x 5 2 )x(f 2 − π + π = với π ∈ 2 ;0x Ta có : π ∈< ∈> = π ⇔= ⇒ π − π = − π + π = ) 2 ;x(xkhi0)x(''f )x;0(xkhi0)x(''f x 2 arcsin0)0(''f xsin 5 2 5 4 )x(''f 1xcos 5 2 x 5 4 )x('f 0 0 0 2 Bảng biến thiên của f’(x) trên π 2 ;0 như sau : -9- x 0 x 0 2 π f’’(x) + 0 - f’(x) 2 1 5 π − 3 5 − Tài liệu hổ trợ bồi dưỡng học sinh giỏi Từ bảng biến thiên của f’(x) ta suy ra tồn tại π ∈ 2 ;0x 1 sao cho : π ∈< ∈> = ⇒ ) 2 ;x(xkhi0)x('f )x;0(xkhi0)x('f 0)x('f 1 1 1 Vậy ta có sự biến thiên của f(x) trên π 2 ;0 như sau : Suy ra trên π 2 ;0 phương trình (*) có một nghiệm duy nhất 2 x π = Như thế : 2 xlim n π = . -10- x 0 x 1 2 π f’(x) + 0 - f(x) 0 0 . : DÃY SỐ §1 Bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số Bài toán : Cho dãy số (u n ) xác đònh bởi : 1 2 11 o n n n u a u b u pu qu + + = = = + Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy. u< , nên (u n ) là dãy số tăng. Nếu π<< π a 2 thì 1 2 u u> , nên (u n ) là dãy số giảm. Các kết quả trên cho thấy dãy (u n ) hoặc là dãy số hằng hoặc là dãy đơn điệu và do (u n ). x 0 thì dãy số (f(u n )) hội tụ về f(x 0 ). Chú ý các kết quả sau : Nếu hàm số f đồng biến trên (a;b) thì dãy số (u n ) tăng khi x 1 < x 2 và giảm khi x 1 >x 2. Ví dụ 1 : Cho số thực