Trường THPT Tiến Thịnh ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học: 2009- 2010 ĐỀ BÀI Câu 1: Tìm các nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) π của phương trình: 1 1 4sin + + − = cosx cosx x cosx Câu 2: Tính giới hạn 1 lim →x 2 1 + + + − − n x x x n x Câu 3: Trong 1 cái hộp có 3 bi đỏ, 4 bi vàng, 5 bi xanh cùng chất, cùng kích thước.Một người lấy ngẫu nhiên cùng lúc 4 viên bi. Tính xác suất để số bi đỏ mà người đó lấy được không lớn hơn 2. Câu 4: Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn tâm O bán kính R và 1 điểm A cố định trên (O). Tứ giác ABCD biến thiên nội tiếp trong (O) sao cho 2 đường chéo luôn vuông góc với nhau. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại A lấy 1 điểm S. Nối S với A, B, C, D. a. Chứng minh 2 cạnh BD, SC vuông góc với nhau. b. Nêu cách xác định điểm I cách đều 5 điểm A, B, C, D, S. c. Tứ giác ABCD là hình gì để diện tích của nó lớn nhất. Tìm GTLN đó theo R Câu 5: Cho hàm số 0 0 ( ) 1 .sin 0 = = ≠ khi x f x x khi x x Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x=0 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM Câu Nội dung Thang điểm 1 Đk xác định của phương trình: 0≠cosx 1 1 x 4sin 2 sin 2sin 2 2 2 + + − = ⇔ + = ÷ cosx cosx x x cos x cosx (1) Do =x π không là nghiệm của (1) nên xét 2 trường hợp: TH1: (0; )∈x π . Khi đó x 0 0, sin 0 2 2 2 2 < < ⇒ > > x x cos π PT (1) trở thành sin 2 sin 2 sin sin 2 2 2 2 4 4 6 3 3 4 10 5 + = ⇔ + = ÷ ÷ = + ⇔ = + x x x cos x x k x l x π π π π π Tìm k và l nguyên sao cho 4 0 0 6 3 3 4 0 0 10 5 < + < = ⇔ = < + < k k l l π π π π π π Ta nhận được nghiệm 6 =x π và 3 10 =x π TH2: ( ;2 )∈x π π . Khi đó x 0, sin 0 2 2 2 2 < < ⇒ < > x x cos π π PT (1) trở thành sin 2 sin 2 sin sin 2 2 2 2 4 4 6 3 4 2 5 − = ⇔ − = ÷ ÷ = − + ⇔ = + x x x cos x x k x l x π π π π π Tìm k và l nguyên sao cho 4đ 4 2 1 6 3 4 1 2 2 5 < − + < = ⇔ = < + < k k l l π π π π π π π π Ta nhận được nghiệm 7 6 =x π và 13 10 =x π KL: Trong khoảng (0;2 ) π phương trình ban đầu có 4 nghiệm là 6 =x π ; 3 10 =x π ; 7 6 =x π và 13 10 =x π 2 1 lim →x 2 1 + + + − − n x x x n x = 1 lim →x 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 − + − + + − − n x x x x = 1 lim →x 2 1 ( 1)[1 ( 1) ( 1) ( 1)] 1 − − + + + + + + + + + − n x x x x x x = 1 lim →x 2 1 [1 ( 1) ( 1) ( 1)] − + + + + + + + + + n x x x x =1+2+3+…+n= ( 1) 2 +n n 3đ 3 Lấy ngẫu nhiên, cùng lúc 4 viên bi trong hộp có 3 bi đỏ, 4 bi vàng và 5 bi xanh nên có số phần tử của không gian mẫu là: 4 12 ( )Ω =n C . Gọi A: “Biến cố trong 4 bi lẫy ngẫu nhiên có 3 bi màu đỏ”. 3 1 3 9 ( ) .=n A C C Xác suất của biến cố A là: 3 1 3 9 4 12 . 1 ( ) 55 = = C C P A C Vậy xác suất để số bi đỏ mà người đó lấy được không lớn hơn 2 là 1 54 1 ( ) 1 55 55 − = − =P A 4đ 4 Hình vẽ 5đ a, Vì ( )⊥SA P nên AC là hình chiếu của SC trên mp(P). Theo gt ⊥ AC BD nên theo định lí 3 đường vuông góc ta có ⊥ SC BD . b, Cách dựng: Qua O kẻ đường thẳng d’ vuông góc với mp(P). Dựng mp(Q) là mp trung trực của SA Giao của mp(Q) và đường thẳng d’ là điểm I cần xác định H A B C D d S O d’ I K P CM: Vì ' ∈ I d nên I cách đều A, B, C, D Vì ( )∈I mp Q nên I cách đều S và A. Vậy điểm I vừa dựng cách đều 5 điểm A, B, C, D, S c, 1 . 2 = WABCD S AC BD . Kẻ ⊥ OH AC tại H. Kẻ ⊥ OK BD tại K Ta có 2 2 2 2 2 2= − = −AC AO OH R OH 2 2 2 2 2 2= − = −BD BO OK R OK Để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất thì độ dài AC và BD lớn nhất khi và chỉ khi OH=OK=0 ≡ ⇒ ≡ H O K O Vậy tưa giác ABCD là hình vuông. Khi đó 2 1 .2 .2 2 2 = = WABCD S R R R 5 Ta có '(0) =f 0 lim →x ( ) (0) 0 − = − f x f x 0 lim →x 1 .sin 0 0 − = − x x x 0 lim →x 1 .sinx x Chọn , 1 0 →+∞ ∈ = → m m Z x m π 1 sin sin 0⇒ = =m x π 0 lim → ⇒ x 1 sin = x 0 lim →x sin 0=m π Chọn , 1 0 2 2 →+∞ ∈ = → + n m Z x n π π 0 lim → ⇒ x 1 sin = x 0 lim →x sin( 2 ) sin 1 2 2 + = =n π π π Từ đó suy ra hàm số không dó đạo hàm tại x=0 4đ . Trường THPT Tiến Thịnh ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học: 2009- 2010 ĐỀ BÀI Câu 1: Tìm các nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) π của phương. không lớn hơn 2. Câu 4: Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn tâm O bán kính R và 1 điểm A cố định trên (O). Tứ giác ABCD biến thi n nội tiếp trong (O) sao cho 2 đường chéo luôn vuông góc với