Chương 2: Giải thuật đệ quy docx

2.1 KHÁI NIỆM ĐỆ QUY Một đối tượng được gọi là đệ quy nếu nó bao gồm chính nó như một bộ phận hoặc được định nghĩa bởi chính nó... 2.2 GIẢI THUẬT ĐỆ QUY Nếu lời giải của của một bài to

Chương 2 GIẢI THUẬT ĐỆ QUY

NỘI DUNG

 Khái niệm đệ quy

 Giải thuật đệ quy

 Thiết kế giải thuật đệ quy

 Hiệu lực của đệ quy

2.1 KHÁI NIỆM ĐỆ QUY

 Một đối tượng được gọi là đệ quy nếu nó bao gồm chính

nó như một bộ phận hoặc được định nghĩa bởi chính nó

 Ví dụ : Số tự nhiên

+ 1 là số tự nhiên

+ n là số tự nhiên nếu n-1 là số tự nhiên

Giai thừa của số n (n!)

+ 0! = 1+ Nếu n>0 thì n! = n*(n-1)!

2.2 GIẢI THUẬT ĐỆ QUY

 Nếu lời giải của của một bài toán T được giải bằng lời giải của một bài toán T1, có dạng giống như T thì lời giải

đó được gọi là lời giải đệ quy Giải thuật tương ứng với lời giải đệ quy gọi là giải thuật đệ quy

 Ở đây T1 có dạng giống T nhưng theo một nghĩa nào đó T1 phải “nhỏ” hơn T

 Chẳng hạn với bài toán tính n!, thì tính n! là bài toán T còn tính (n -1)! là bài toán T1 ta thấy T1 cùng dạng với T

2.3 THIẾT KẾ GIẢI THUẬT ĐỆ QUY

 Khi bài toán đang xét hoặc dữ liệu đang xử lý được định nghĩa dưới dạng đệ quy thì việc thiết kế các giải thuật đệ quy tỏ ra rất thuận lợi Hầu như nó phản ánh rất sát nội dung của định nghĩa đó

 Không có giải thuật đệ quy vạn năng cho tất cả các bài toán đệ quy, nghĩa là mỗi bài toán cần thiết kế một giải thuật đệ quy cho phù hợp

Ví dụ 1

 Hàm n!

 Giải thuật đệ quy được viết dưới dạng hàm như sau

int Factorial (int n)

nÕu 1)

n Factorial(

-* n

0 n

nÕu

1 )

(n

Factorial

Ví dụ 2

 Bài toán dãy số FIBONACI

int Fibonaci (int n)

nÕu 1)

F(n 2)

F(n

-2 n

nÕu

1 )

(n

F

(Với n>0)

Đặc điểm của giải thuật đệ quy

 Trong hàm đệ quy có lời gọi đến chính hàm đó

 Sau mỗi lần có lời gọi đệ quy thì kích thước của bài toán được thu nhỏ hơn trước

 Có it nhất một trường hợp suy biến xảy ra Khi đó bài toán sẽ được giải quyết theo một cách khác, việc gọi đệ quy kết thúc

Ví dụ 3

 Bài toán Tháp Hà Nội

Có n đĩa, kích thước khác nhau, được xếp chồng lên nhau trên cột A, đĩa to ở dưới, đĩa nhỏ ở trên

Yêu cầu :

 Chuyển n đĩa từ cột A sang cột B sử dụng cột

C là cột trung gian

 Mỗi lần chỉ được chuyển một đĩa

 Không được chồng đĩa to lên trên đĩa nhỏ

Ví dụ 3

Chồng đĩa trước khi chuyển

n đĩa

 Chuyển đĩa thứ nhất từ cọc A sang cọc C

 Chuyển đĩa thứ hai từ cọc A sang cọc B

 Chuyển đĩa thứ nhất từ cọc C sang cọc B

Ví dụ 3

Bước 2

Ví dụ 3

Bước 4

Ví dụ 3

Bước 6

Ví dụ 3

Ví dụ 3

Xét trường hợp tổng quát

 Trường hợp có n đĩa:

 Chuyển n -1 đĩa từ cọc A sang cọc C (B trung gian)

 Chuyển đĩa to nhất từ cọc A sang cọc B

 Chuyển n -1 đĩa từ cọc C sang cọc B (A trung gian)

Ví dụ 3

 Giải thuật đệ quy của bài toán Tháp Hà Nội

void chuyen(int n, int a, int b, int c)

else

{ chuyen(n-1,a,c,b);

chuyen(1,a,b,c);

chuyen(n-1, c, b,a);

Phương pháp thiết kế giải thuật đệ quy

Cần trả lời 3 câu hỏi :

 Bài toán được định nghĩa đệ quy như thế nào?

 Kich thước của bài toán giảm ra sao sau mỗi lần gọi đệ quy ?

 Trường hợp nào là trường hợp suy biến để kết thúc đệ quy ?

2.4 HIỆU LỰC CỦA ĐỆ QUY

 Thuật toán ngắn gọn, đơn giản, dễ hiểu, dễ cài đặt

 Chương trình dịch phức tạp, tốn thời gian và bộ nhớ để

xử lí

 Có những bài toán bên cạnh giải thuật đệ quy còn có giải thuật lặp đơn giản và hiệu quả Khi thay các giải thuật đệ quy bằng các giải thuật không đệ quy gọi là khử

đệ quy

 Tuy nhiên, có những bài toán để nghĩ ra lời giải không

đệ quy là rất khó khăn, giải thuật đệ quy có thể được áp

BÀI TẬP ÁP DỤNG

 Bài 1 - Cho định nghĩa đệ qui:

 Hãy xác định Acker(1, 2), Acker( 2,1)

 Viết hàm đệ qui thực hiện tính giá trị của hàm này

tr êng c¸c

víi 1) - n Acker(m, 1,

Acker(m

-0 n

nÕu 1)

1, - Acker(m

0 m

nÕu 1

n n)

Acker(m,

(m, n>=0)

BÀI TẬP ÁP DỤNG

 Bài 2 - Xây dựng hàm đệ quy tìm ước số chung lớn nhất

của hai số nguyên dương m, n

 Bài 3 - Cho dãy số A = {4, 3, -2, -6, -5, 0, 4, ….}

BÀI TẬP ÁP DỤNG

 Bài 4 - Cho mảng một chiều n phần tử là các số nguyên.

Viết các hàm đệ quy để thực hiện các yêu cầu sau :

 Tính tổng của các phần tử trong mảng, tính tổng các phần tử âm chẵn, tính tổng các phần tử dương lẻ

 Tìm số lớn nhất trong mảng

 Kiểm tra tính tăng của các phần tử trong mảng