đại thức và ứng dụng potx

Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 1 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Công H ậ u, Ng ọc Luân, Mai Phương, Cao Tín, Như Ý Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 2 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán CHUYÊN ĐỀ Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 3 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Một số khái niệm cơ bản và quan trọng trọng đại số, trong toán học nói chung là khái niệm về đa thức. Trong chương trình phổ thông phần đại số hầu hết đều nghiên cứu về đa thúc bậc nhất, bậc hai và một số đa thức dạng đặc biệt bậc cao. Rất nhiều ứng dụng và bài tập đã được học trong chương trình phổ thông. Và hôm nay, với sự hướng dẫn của thầy Đỗ Kim Sơn, thầy Nguyễn Tuấn Ngọc. nhóm chúng em đã hoàn thành chuyên đề nhỏ về một số ứng dụng cơ bản của đa thức trong giải toán Do mặt hạn chế về thời gian nên vẫn còn nhiều thiếu sót,mong thầy và các bạn góp ý,chỉnh sửa thêm. Xin chân thành cảm ơn Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 4 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Ph ầ n 1. SƠ LƯỢ C V Ề ĐA THỨ C : A.ĐA THỨC – NHÂN, CHIA ĐA THỨC – SỰ CHIA HẾT I. Xét hàm số: f:ℝ→ℝ, ta nói f là một đa thức nếu hoặc f=const hoặc tồn tại , 1 n n   ¥ và tồn tại các số thực 0 1 2 , , , , n a a a a với 0 n a  sao cho 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a        với x   ¡ 0 1 2 , , , , n a a a a là hệ số của đa thức f, n a là hệ số cao nhất, 0 a là hệ số tự do. n là bậc của đa thức f và ký hiệu degf=n ( trường hợp f=const ta nói deg f=0) Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số nguyên được ký hiệu là   x ¢ Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ được ký hiệu là   x ¤ Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực được ký hiệu là   x ¡ Hai đa thức được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi dưới dạng chính tắc, các hệ tử của các lũy thừa tương ứng của ẩn x bằng nhau. Do đó một đa thức bằng đa thức không khi và chỉ khi mọi hệ tử ở dạng chính tắc của nó đều bằng không ( Nguyên lý so sánh các hệ số của đa thức) II. Cho hai đa thức 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a        và 1 1 1 0 ( ) m m m m g x b x b x b x b        Tích của chúng là một đa thức: 0 ( ). ( ) m n m n f x g x c x c      trong đó k i j i j k c a b     Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 5 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Giả sử f(x) và g(x) là hai đa thức cùng thuộc P[x], bao giờ cũng có thể tìm được một cặp đa thức q(x) và r(x) duy nhất cũng thuộc P[x] sao cho f(x)=g(x).q(x)+r(x), trong đó bậc của r(x) bé hơn bậc của g(x). Nếu r(x) bằng đa thức không thì ta nói f(x) chia hết cho g(x), hay g(x) chia hết f(x), hay f(x) là bội của g(x), g(x) là ước của f(x) Một đa thức d(x) chia hết 2 đa thức f(x) và g(x) đã cho gọi là ước chung của f(x) và g(x) Nếu d(x) là ước chung của f(x) và g(x), chia hết cho mọi ước chung khác của 2 đa thức ấy, thì d(x) gọi là ước chung lớn nhất của f(x) và g(x), viết là UCLN và ký hiệu là (f(x), g(x))=d(x). Để tìm ước chung lớn nhất của f(x) và g(x) ta dùng thuật toán Oclide bằng cách thức hiện một số phép chia liên tiếp như sau: 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k k f x g x r x g x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x            Đa thức dư cuối cùng trong dãy phép chia liên tiếp đó chính là UCLN phải tìm : ( ) ( ) ( ( ), ( )). k x d x f x g x r   Để đảm bảo tính duy nhất của UCLN ,ta qui ước rằng hệ tử cao nhất của UCLN của hai đa thức bao giờ cũng lấy bằng 1. Xuất phát từ thuật toán Oclide , ta chứng minh được rằng : nếu ( ) ( ( ), ( )) d x f x g x  thì có thể tìm được hai đa thức ( ) à ( ) u x v v x cũng trên   P x sao cho : ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) f x u x g x v x d x   Hơn nữa , nếu bậc của f(x) và g(x) lớn hơn 0 thì ta còn có thể chọn sao cho bậc của u(x) bé hơn bậc của g(x) và bậc của v(x) bé hơn bậc của f(x). B.NGIỆM BỘI – PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ I. Một đa thức bậc lớn hơn 0 trên P[x] được gọi là bất khả qui trên P[x], nếu nó không thể viết được dưới dạng tích của 2 đa thức bậc r  0 và bé hơn n , của P[x] Mỗi đa thức bậc m > 0 của P[x] đều có thể phân tích được thành tích của những đa thức bất khả qui trên P [x] và sự phân tích đó là duy nhất , nếu không kể đến thứ tự các nhân Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 6 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán tử và không kể đến các nhân tử bậc 0 Trên £ [x] , chỉ có các nhị thức bậc nhất là đa thức bất khả qui . Trên ¡ [x], chỉ có các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai không có nghiệm thực là các đa thức bất khả qui . II. a/ Giả sử f(x)  ¡ [x] và a  ¡ .Ta nói f(x) nhận  làm nghiệm nếu f(  ) = 0, khi đó f(x) chia hết cho x-a hay nhận x-a làm một nhân tử . b/ Giả sử f(x)  ¡ [x] và a  ¡ và k  ¥ [x], k 1  . Ta nói  là nghiệm bội của đa thức f(x) nếu tồn tại g(x)  ¡ [x], g(  )  0 sao cho ( ) . ( ) k x g x   với x   ¡ .( tức là f(x) chia hết cho ( ) k x   nhưng không chia hết cho 1 ( ) k x    ) Nếu k=1 thì ta nói  là nghiệm đơn Nếu k≥2 thì ta nói  là nghiệm bội C.CÁC ĐỊ NH LÝ C Ơ BẢ N V Ề NGHI ỆM ĐA THỨ C ĐỊ NH LÝ 1 Nếu f,g ∈ℝ[x] deg f=n≥1, deg g=m thì f[g(x)]∈ℝ[x] và có bậc bằng m.n Giả sử f,g ∈ℝ[x] với deg f=n, deg g=m, ta có: Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 7 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán  f(x)+g(x) ∈ℝ [x] và có bậc ≤max(n,m), còn nếu n≠m thì f(x)+g(x) có bậc là max(n,m).  f(x).g(x) ∈ℝ[x] và nếu f(x)≠0, g(x)≠0 thì deg (f(x).g(x))=m+n Nếu f∈ℝ[x], deg f=n≥1 với a n là hệ số cao nhất thì f(x+1)-f(x) là đa thức có bậc n-1 và hệ số cao nhất là na n ĐỊNH LÝ 2 ( Đị nh lý Bézout)  là nghiệm của đa thức [ ] ( ) ( ) (x) f x f x x trong    ¡ M ¡ . Chứng minh: [ ]&f x     ¡ ¡ luôn tồn tại duy nhất g∈ℝ[x] sao cho ( ) ( ). ( ) ( ),f x x g x f x        ¡ Do đó α là nghiệm của [ ] ( ) 0 ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) f x f f x x g x f x x            ¡ M Hệ quả: [ ],deg 1 f x f n     ¡ ta luôn có ( ) ( ) ( ) f x f x     M Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 8 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Ví dụ 1: Lời giải: Đặt y = x + 1 thì x = y – 1, và đẳng thức trên trở thành: 2 2 ( ) ( 1) 3( 1) 2 5 6 f y y y y y         Vì vậy 2 ( ) 5 6 f x x x    Ví dụ 2: Lời giải : Rõ ràng thương của phép chia 4 1 x  cho đa thức 2 x px q   là một đa thức bậc hai có dạng 2 x ax b   .Vì đây là phép chia hết nên : 4 2 2 4 3 2 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) x x px q x ax b x a p x b ap q x bp aq x bq                Vì vậy ta phải có 0 (1) 0 (2) 0 (3) 1 (4) a p b ap q bp aq bq                Từ (1) suy ra a= -p , thay vào (3) thì được 0 = bp + aq = bp – pq = ( b - q)p, Tức là hoặc p = 0, hoặc b – q = 0 Xác định các số thực p,q sao cho đa thức 4 1 x  chia hết cho đa thức 2 x px q   . Xác định đa thức f(x) biết rằng với mọi x thì: 2 ( 1) 3 2 f x x x     Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 9 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Nếu p = 0 thì từ (2) suy ra b = -q, và (4) trở thành 2 1 b   ,điều này vô lý. Nên : 0 p  do đó p = q.Thay vào (4) thì được b = q = 1 hoặc b = q= -1.Mặt khác , từ (2) suy ra 2 2 0, ê 0 b a n n b    .Từ đây ta có b = q = 1 và 2 a = 2,hay 2, ra 2 a suy p   m . Thử lại, ta thấy rằng 4 2 1 2 1 x x x    M ,bởi vì : 4 2 2 2 2 1 ( 1)2 2 ( 1 2 )( 1 2 ) x x x x x x x          Vậy đa thức 2 x px q   cần tìm là 2 2 1 x x   hoặc 2 2 1 x x   . Ví dụ 3 : Lời giải : Đặt: 9 8 7 6 9999 8888 7777 6666 1111 1 1 A x x x x x B x x x x x               Khi đó : 9999 9 8888 8 7777 7 6666 6 1111 9 10 999 8 10 888 7 10 666 10 111 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) 1] [( ) 1] [( ) 1] [( ) 1] B A x x x x x x x x x x x x x x x x x x                      Để ý rằng với mọi số tự nhiên k thì: 10 1 10 10( 1) 10( 2) 10 ( ) ( 1)[ 1] k k k x x x x x          chia hết cho đa thức 10 1 x  mà 10 9 8 7 6 1 ( 1)( 1) x x x x x x x          nên đa thức   k 10 x 1  chia hết cho đa thức 9 8 7 6 1 x x x x x       Do đó B – A chia hết cho A, và do đó B chia hết cho A Chứng minh rằng đa thức : 9999 8888 7777 6666 1111 1 x x x x x       chia hết cho đa thức 9 8 7 6 1 x x x x x       Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 10 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán ĐỊ NH LÝ 3 ( Khai tri ể n c ủ a m ột đa thứ c theo các nghi ệ m) Giả sử [ ] f x  ¡ và các số phân biệt 1 2 , , , m     ¡ là các nghiệm của đa thức f với các bội tương ứng là 1 2 , , , m k k k khi đó tồn tại g∈ℝ[x] sao cho: 1 2 1 2 1 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ), j m m k kk k i m i f x x a g x x x x a g x x             ¡ 1 deg deg m i i f g k     ĐỊNH LÝ VIÈTE Giả sử đã cho đa thức f(x) bậc n trên P[x] 1 2 0 1 2 1 0 ( ) . . . n n n n f x a x a x a x a x a          Kí hiệu: 1 2 , , , n    là nghiệm của f(x) trong P, mỗi nghiệm kể một số lần bằng bội số của nó. Ta có:` [...]...  x3  (3) Kết hợp ( 2) và (3 )và x1, x2 là các số chẵn suy ra điều vô lý Điều phải chứng minh Bài 6 Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên Giả sử P(0) và P(1) là các số nguyên lẻ.Chứng minh rằng:đa thức P(x) không có nghiệm nguyên Hướng dẫn Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 26 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán P  x   an x n  an 1 x n 1  a1 x  a0 , an≠0 Gọi p và q là 2 số nguyên khác... ý của đa thức với hệ số s n nguyên P x  an x  an1xn1  a1x  a0 thì với mọi số nguyên m số P(m) chia hết cho (r- m.s) Trường hợp đặc biệt r+s là ước số của P(-1), còn r-s là ước số của P(1) 4.3 Đa thức P(x) là đa thức đối xứng khi và chỉ khi với x khác 0 : 1 P  x   x n P( ) x Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 13 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán 4.4.Đa thức P(x) là đa thức có hệ... ) Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 33 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Rõ ràng do a,b,c,a1,b 1,d 1,r là các số nguyên mà Q(x) là đa thức bậc ba với hệ số nguyên nên hiển nhiên 9a⋮3 và 3ar 2  2br  c M điều đó nghĩa là Q(x) ∈H Như vậy tồn tại r∈{0 ;1 ;2} 3 và đa thức Q(x) ∈H sao cho P  3x  r   3Q  x  2) Giả sử P( x)  H Theo câu 1), tồn tại số r1  0;1; 2 và đa thức P( x)  H sao... ( và do đó c=0) Điều này mâu thuẫn với giả thiết: a khác 0 Bài 3 Cho P( x) là đa thức với hệ số nguyên sao cho P ( a )  P (b)  P ( c )  1 , ở đây a,b,c là các số nguyên đôi một khác nhau Chứng minh rằng đa thức P( x) không có nghiệm nguyên Hướng dẫn Giả sử đa thức có nghiệm nguyên Theo định lý Bézout , P(x) co thể biểu diễn dưới dạng: P  x    x  x 0  Q  x 1 Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG... hoặc a=-2 Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 11 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Ví dụ 5: Tam thức bậc hai P(x) với những hệ số thực sao cho phương trình P(x)=x không có nghiệm thực.Chứng minh rằng : phương trình P(P(x))=x cũng không có nghiệm thực Lời giải : Nếu tồn tại hai số a và b so cho P(a)b, hàm liên tục Q(x)=P(x)-x sẽ nhận hai giá trị trái dấu Q(a) . 4.4.Đa thức P(x) là đa thức có hệ số đối xứng khi và chỉ khi điều kiện su đây thỏa mãn:Một số a là nghiệm của đa thức P(x) khi và chỉ khi số 1 a cũng là nghiệm. Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG. P(-1), còn r-s là ước số của P(1) 4.3 Đa thức P(x) là đa thức đối xứng khi và chỉ khi với x khác 0 :   n 1 P x x .P( ) x  Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 14 Giáo viên hướng dẫn:. Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 2 Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán CHUYÊN ĐỀ Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 3