Đề thi thử đại học năm 2009 Môn toán - Khối A Thời gian 180 phút ( không kể giao đề ) Phần A : Dành cho tất cả các thi sinh . Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (c) của hàm số : y = x 3 3x 2 + 2 2) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình : 2 2 2 1 m x x x = Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phơng trình : 11 5 7 3 2009 cos sin 2 sin 4 2 4 2 2 2 x x x + = + ữ ữ ữ 2) Gii h phng trỡnh: 2 2 3 2 3 1 1 (1 ) 4 1 4 x x y y x x x y y y + + + = + + = . Câu III(2,0 điểm ) 1) Tính tích phân : 3 1 ( 4) 3 1 3 x dx x x + + + + 2) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2 -x + 2 -y +2 -z = 1 .Chứng minh rằng : 4 4 4 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x z x y + + + + + + + + 2 2 2 4 x y z + + Câu IV ( 1,0 điểm ) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 60 0 . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = 3 3 a , mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N . Tính thể tích khối chóp S.BCNM . Phần B ( Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2) Phần 1 ( Dành cho học sinh học theo ch ơng trình chuẩn ) Câu V.a ( 2,0 điểm ) 1) Trong mt phng to Oxy , cho ng trũn ( C) : 2 2 2 6 15 0x y x y+ + = v ng thng (d) : 3 0mx y m = ( m l tham s). Gi I l tõm ca ng trũn . Tỡm m ng thng (d) ct (C) ti 2 im phõn bit A,B tho món chu vi IAB bng 5(2 2)+ . 2. Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đờng thẳng : d 1 : 2 1 4 6 8 x y z + = = ; d 2 : 7 2 6 9 12 x y z = = & 2 điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2). 1) Chứng minh rằng d 1 và d 2 song song . Viết phơng trình mặt phẳng ( P) qua d 1 và d 2 . Tìm điểm I trên đờng thẳng d 1 sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất Câu VI.a (1.0điểm) Giải phơng trình : 2 3 9 27 3 3 log ( 1) log 2 log 4 log ( 4)x x x + + = + + Phần 2 ( Dành cho học sinh học ch ơng trình nâng cao ) Câu V.b (2,0điểm) 1) Trong mt phng Oxy cho ng trũn (C) tõm I(-1; 1), bỏn kớnh R=1, M l mt im trờn ( ) : 2 0d x y + = . Hai tip tuyn qua M to vi (d) mt gúc 45 0 tip xỳc vi (C) ti A, B. Vit phng trỡnh ng thng AB. 2.Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng: 1 ( ) : 1 1 2 x y z d = = v 2 1 1 ( ) : 2 1 1 x y z d + = = . Tỡm ta cỏc im M thuc 1 ( )d v N thuc 2 ( )d sao cho ng thng MN song song vi mt phng ( ) : 2010 0P x y z+ + = di on MN bng 2 . CâuVI.b ( 1,0 điểm) Cho phơng trình : 2 2 5 5 log 2 log 1 2 0x x m + + = , ( m là tham số ) . Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1;5 .Hết Giám thị coi thi không giải thích gì thêm . Hớng dẫn giải : Phần A : Dành cho tất cả các thí sinh Câu I : 1) ( Thí sinh tự khảo sát và vẽ đồ thị ) 2) Đồ thị hàm số y = 2 ( 2 2) 1x x x , với x 1 có dạng nh hình vẽ : Dựa vào đồ thị ta có : *) Nếu m < -2 : Phơng trình vô nghiệm *) Nếu m = - 2 : Phơng trình có hai nghiệm *) Nếu 2 < m < 0 : Phơng trình có 4 nghiệm phân biệt *) nếu m 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt Câu II : 1) 11 5 7 3 2009 cos sin 2 sin 4 2 4 2 2 2 x x x + = + ữ ữ ữ ( 1) ( 1) 5 3 3 sin sin 2 cos 2 4 4 2 2 x x x = ữ ữ -2 3 3 cos cos 2 cos 4 2 2 x x x + = ữ 3 cos 0 2 x = hoặc 2 cos( ) 4 2 x + = . Giải các phơng trình cơ bản tìm đợc nghiệm : 2 , x= 2 , x = k2 3 3 2 k x k = + + 2) Đk 0y 2 2 2 2 3 3 3 2 3 1 1 1 1 (1 ) 4 4 1 1 1 ( ) 4 4 x x x x y y y y x x x x x x y y y y y y + + + = + + + = + + + = + + = đặt 1 a x y x b y = + = Ta đợc 2 2 2 3 3 2 2 2 4 4 2 4 2 2 1 2 4 ( 4) 4 4 4 0 a a b a a b a a b a b a ab a a a a a a + = + = + = = = = + = + = Khi đó 1 1 1 2 x y y x x x = = = + = KL Câu III 1) Tính tích phân I = 3 1 ( 4) 3 1 3 x dx x x + + + + y = m 1+ 1- - 2 m 1 2 Đặt t = 1x + . Ta có I = ( ) 2 2 2 0 0 20 12 2 6 3 2 t t dt dt t t + + + + = ( ) 2 2 2 0 2 0 20 12 6 3 2 t t t dt t t + + + + = - 8 + 2 2 0 0 28 8 2 1 dt dt t t + + = - 8 + 28ln2 8 ln3 2) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2 -x + 2 -y +2 -z = 1 .Chứng minh rằng : 4 4 4 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x z x y + + + + + + + + 2 2 2 4 x y z + + Đặt 2 x = a , 2 y =b , 2 z = c . Từ giả thiết ta có : ab + bc + ca = abc Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng : 2 2 2 4 a b c a b c a bc b ca c ab + + + + + + + ( *) ( *) 3 3 3 2 2 2 4 a b c a b c a abc b abc c abc + + + + + + + 3 3 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 a b c a b c a b a c b c b a c a c b + + + + + + + + + + Ta có 3 3 ( )( ) 8 8 4 a a b a c a a b a c + + + + + + ( 1) ( Bất đẳng thức Cô si) Tơng tự 3 3 ( )( ) 8 8 4 b b c b a b b c b a + + + + + + ( 2) 3 3 ( )( ) 8 8 4 c c a c b c c a c b + + + + + + ( 3) . Cộng vế với vế các bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy ra điều phải chứng minh Câu IV : Tính thể tích hình chóp SBCMN ( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD Ta có : BC AB BC BM BC SA . Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đờng cao Ta có SA = AB tan60 0 = a 3 , 3 3 2 3 2 3 3 a a MN SM MN AD SA a a = = = Suy ra MN = 4 3 a . BM = 2 3 a Diện tích hình thang BCMN là : S = 2 4 2 2 10 3 2 2 3 3 3 a a BC MN a a BM + ữ + = = ữ ữ A S B C M N D H Hạ AH BM . Ta có SH BM và BC (SAB) BC SH . Vậy SH ( BCNM) SH là đờng cao của khối chóp SBCNM Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM SB MS = = 1 2 . Vậy BM là phân giác của góc SBA ã 0 30SBH = SH = SB.sin30 0 = a Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V = 1 .( ) 3 SH dtBCNM = 3 10 3 27 a Phần B. (Thí sinh chỉ đợc làm phần I hoặc phần II) Phần I. (Danh cho thí sinh học chơng trình chuẩn) Câu V.a.2) Véc tơ chỉ phơng của hai đờng thẳng lần lợt là: 1 u ur (4; - 6; - 8) 2 u uur ( - 6; 9; 12) +) 1 u ur và 2 u uur cùng phơng +) M( 2; 0; - 1) d 1 ; M( 2; 0; - 1) d 2 Vậy d 1 // d 2 *) Véc tơ pháp tuyến của mp (P) là n r = ( 5; - 22; 19) (P): 5x 22y + 19z + 9 = 0 2) AB uuur = ( 2; - 3; - 4); AB // d 1 Gọi A 1 là điểm đối xứng của A qua d 1 Ta có: IA + IB = IA 1 + IB A 1 B IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A 1 B Khi A 1 , I, B thẳng hàng I là giao điểm của A 1 B và d Do AB // d 1 nên I là trung điểm của A 1 B. *) Gọi H là hình chiếu của A lên d 1 . Tìm đợc H 36 33 15 ; ; 29 29 29 ữ A đối xứng với A qua H nên A 43 95 28 ; ; 29 29 29 ữ I là trung điểm của AB suy ra I 65 21 43 ; ; 29 58 29 ữ Câu VI a) log 9 (x + 1) 2 + 3 27 3 3 log 2 log 4 log ( 4) (1)x x= + + Đ K: 4 4 1 x x < < (1) log 3 (x + 1) + log 3 4 = log 3 (4 x) + log 3 (x + 4) log 3 4 1x + = log 3 (16 x 2 ) 4 1x + = 16 x 2 Giải phơng trình tìm đợc x = 2 hoặc x = 2 - 24 Phần II. Câu V. b.1) D thy ( )I d . Hai tip tuyn hp vi (d) mt gúc 45 0 suy ra tam giỏc MAB vuụng cõn v tam giỏc IAM cng vuụng cõn . Suy ra: 2IM = . ( ) (M d M a; a+2), ( 1; 1)IM a a= + + uuur , 0 2 2 1 2 2 a IM a a = = + = = . Suy ra cú 2 im tha món: M 1 (0; 2) v M 2 (-2; 0). + ng trũn tõm M 1 bỏn kinh R 1 =1 l (C 1 ): 2 2 4 3 0x y y+ + = . Khi ú AB i qua giao im ca (C ) v (C 1 ) nờn AB: 2 2 2 2 4 3 2 2 1 1 0x y y x y x y x y+ + = + + + + = . + ng trũn tõm M 2 bỏn kinh R 2 =1 l (C 2 ): 2 2 4 3 0x y x+ + + = . Khi ú AB i qua giao im ca (C ) v (C 2 ) nờn AB: 2 2 2 2 4 3 2 2 1 1 0x y x x y x y x y+ + + = + + + + + = . + KL: Vy cú hai ng thng tha món: 1 0x y+ = v 1 0x y+ + = . 2) 1 2 , ( ), ( )M N d d nờn ta gi s 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ; ; 2 ), ( 1 2 ; ;1 ) ( 2 1; ;2 1)M t t t N t t t NM t t t t t t + = + + uuuur . + MN song song mp(P) nờn: 1 2 1 2 1 2 . 0 1.( 2 1) 1.( ) 1(2 1) 0 P n NM t t t t t t= + + + = uur uuuur I d 1 H A B A 1 2 1 1 1 1 ( 1; 2 ;3 1)t t NM t t t⇔ = − ⇒ = − + − uuuur . + Ta có: 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 2 ( 1) (2 ) (3 1) 2 7 4 0 4 7 t MN t t t t t t = = ⇔ − + + + − = ⇔ − = ⇔ = . + Suy ra: (0; 0; 0), ( 1; 0;1)M N − hoặc 4 4 8 1 4 3 ( ; ; ), ( ; ; ) 7 7 7 7 7 7 M N − . + Kiểm tra lại thấy cả hai trường hợp trên không có trường hợp nào ( ).M P∈ KL: Vậy có hai cặp M, N như trên thoả mãn. b.2) §Æt t = 2 5 log 1x + ta thÊy nÕu x ∈ 3 1;5 th× t ∈ [ ] 1;2 Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: t 2 + 2t – m – 3 = 0; t ∈ [ ] 1;2 ⇔ t 2 + 2t – 3 = m ; t ∈ [ ] 1;2 LËp bÊt ph¬ng r×nh hµm f(t) = t 2 + 2t – 3 trªn [ ] 1;2 ta ®îc 0 ≤ f(t) ≤ 5 § K cña m lµ: 0 ≤ m ≤ 5 . ca c ab + + + + + + + ( *) ( *) 3 3 3 2 2 2 4 a b c a b c a abc b abc c abc + + + + + + + 3 3 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 a b c a b c a b a c b c b a c a c b + + + + + + + + + + Ta có. b a c a a b a c + + + + + + ( 1) ( Bất đẳng thức Cô si) Tơng tự 3 3 ( )( ) 8 8 4 b b c b a b b c b a + + + + + + ( 2) 3 3 ( )( ) 8 8 4 c c a c b c c a c b + + + + + + ( 3) . Cộng. 2 -x + 2 -y +2 -z = 1 .Chứng minh rằng : 4 4 4 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x z x y + + + + + + + + 2 2 2 4 x y z + + Đặt 2 x = a , 2 y =b , 2 z = c . Từ giả thi t ta có : ab + bc +