Chuyên đề 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn: Ví dụ : Giải các hệ: a) =−+ =+ 522 52 22 xyyx yx b) 2 2 x 2y 1 x 14y 1 4xy − = + − = Cách giải: Giải bằng phép thế 2. Hệ phương trình đối xứng loai 1: 1/ =++ =++ 7 5 22 xyyx xyyx 2/ =+ =++ 8 22 33 yx xyyx 4/ =+ =+ 35 30 33 22 yx xyyx 5/ ( ) ( ) 2 2 8 1 1 12 x y x y xy x y + + + = + + = 3. Hệ phương trình đối xứng loại II: 1) 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 y x x x x y y y = − + = − + 2) 2 2 1 3 1 3 x y x y x y + = + = 3) + = + = 2 2 2 2 2 3 2 3 y x x x y y 4) 3 2 3 2 x 2x 2x 1 2y y 2y 2y 1 2x − + + = − + + = 4. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai: Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: 1) 2 2 2 2 3 2 11 2 5 25 x xy y x xy y + + = + + = 2) =−− =−− 495 5626 22 22 yxyx yxyx 3) 3 2 3 2 2 3 5 6 7 x x y y xy + = + = 5. Các hệ phương trình khác: 1/ 2 2 2 1 2 2 2 2 x x y y y x y + − = − − = − . ĐK : 0y ≠ hệ 2 2 1 2 2 0 2 1 2 0 x x y x y y + − − = ⇔ + − − = đưa hệ về dạng 2 2 2 2 0 2 2 0 u u v v v u + − − = + − − = 2/ =−++ =+−+− 0222 0964 22 224 yxyx yyxx hd : =−++ =−+− 022)2( 4)3()2( 22 222 xyx yx 2 2 2 2 2 ( 2) ( 3) 4 ( 2 4)( 3 3) 2 20 0 x y x y x − + − = − + − + + − − = 3/ 2 2 4 ( 1) ( 1) 2 x y x y x x y y y + + + = + + + + = −= =+++ ⇔ 2 4 22 xy yxyx −= =+++ ⇔ 2 0)()( 2 xy yxyx −= −=+ =+ ⇔ 2 1 0 xy yx yx 4/ 3 3 log log 2 2 2 4 4 4 4 2 ( ) log ( ) 1 log 2 log ( 3 ) xy xy x y x x y = + + + = + + ĐK: x>0 , y>0 : (1) ⇔ 3 3 2log log 2 2 2 0 xy xy − − = ⇔log 3 xy = 1 ⇔ xy = 3⇔y= 3 x ; (2)⇔ log 4 (4x 2 +4y 2 ) = log 4 (2x 2 +6xy) ⇔ x 2 + 2y 2 = 9 5/ x 3 y x y 3 x y = + = + + Điều kiện x 0 , y 0 ≥ ≥ + Trừ vế theo vế hai PT (1) và (2) , có : ( ) ( ) ( ) x y 2 y x x y x y 2 0 x y 0 ( do x y 2 0 − = − ⇔ − + + = ⇔ − = + + > x y x y ⇔ = ⇔ = 1 + Thay y = x vào hệ PT , có hệ x 4 x x 0 x 4 x x( x 4) 0 x 16 x 4 x = = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = = (thỏa) + Hệ PT đã cho có hai nghiệm là (0; 0) và (16; 16) 6/ 2 2 4 4 4 2 4 4 4 log ( ) log (2 ) 1 log ( 3 ) log ( 1) log (4 2 2 4) log ( ) 1 x y x x y x xy y y x y + − + = + + − + − + = − ĐK: x>0, y>0 và 4y 2 +2y-2x+4>0 (*) 2 2 2 2 2 2 4( ) 3 3 0 2 1 2 2 4 4 0 4y +2y-2x+4 4 x y x y x xy y x xy x x xy y x y + = + − + = ⇔ ⇔ + − + − = = ( )( 2 ) 0 ( )( 2) 0 x y x y x y x − − = − − = Vậy hệ có nghiệm x=2 víi >0 tuú ý: y=1 x y α α α = = 6/ −=− =+− 235 323 2 22 yxy yxyx −=− =+− 235 323 2 22 yxy yxyx <=> −=− −=+−− 235 )35(3)23(2 2 222 yxy yxyyxyx <=> −=− =−+ 235 0592 2 22 yxy yxyx <=> −=− =+− )2(235 )1(0)5)(2( 2 yxy yxyx Từ (1) có hai trường hợp: *)TH1: y = 2x thế vào (2) suy ra nghiệm (1;2) (-1;-2). *)TH2: x = -5y thế vào (2) cho nghiệm (5 14/1;14/1 − ) và (-5 14/1;14/1 ) 7/ =−+ =+− 25)yx)(yx( 13)yx)(yx( 22 22 (x, y ∈ ) Hệ đã cho tương đương với : =+− =+− 25))(( 13))(( 2 22 yxyx yxyx ⇔ =+− =− 25)yx)(yx( 1)yx( 2 3 ⇔ ±=+ =− 5yx 1yx ⇔ −=−= == 3y,2x 2y,3x 8/ =−++ =+++ yyxx yyxyx )2)(1( 4)(1 2 2 (x, y ∈R ) 2 2 1 ( 2) 2 1 ( 2) 1 x x y y x x y y + + + − = + + − = §Æt 2yxv, y 1x u 2 −+= + = Ta cã hÖ 1vu 1uv 2vu ==⇔ = =+ Suy ra =−+ = + 12yx 1 y 1x 2 . Gi¶i hÖ trªn ta ®îc nghiÖm cña hpt ®· cho lµ (1; 2), (-2; 5) 2 9/ 4 3 2 2 3 2 x x y x y 1 x y x xy 1 − + = − + = (I) ⇔ − + + = − + + = 2 2 3 2 3 ( x xy) x y 1 ( x xy) x y 1 Đặt u = − x 2 + xy, v = x 3 y (I) thành = − + = = + = ⇔ ⇔ ∨ = = + = − = 2 2 v u 1 u 0 u 1 u v 1 v 1 v 0 u v 1 u u 0 Do đó hệ đã cho tương đương: 2 2 4 2 3 3 y x y 0 x xy 0 x xy 1 x 1 x 1(vn) x y 1 x y 0 = = − + = − + = ∨ ⇔ ∨ = = − = = = = − ⇔ ∨ = = − x 1 x 1 y 1 y 1 10/ 2 2 4 2 2 4 5 13 x y x x y y + = − + = . Đặt 2 2 2 2 2 S x y 0, P x y 0 (S 4P)= + ³ = ³ ³ . Hệ phương trình trở thành: 2 2 2 2 2 S 5 x 4 x 1 x 2 x 1 S 3P 13 y 1 y 2 P 4 S 5 y 1 y 4 ì ì ì = = = = ± = ± ì ï ï ì ì - = ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï Û Û Ú Û Ú í í í í í í ï ï ï ï ï ï = ± = ± = = = = ï ï ï ï ï ï ỵ ỵ ỵ ỵ ï ï ỵ ỵ . 11/ =−−− =+−+ 38923 143 22 22 yxyx yxyx 12/ −=+− −=++ )(7 )(19 22 222 yxyxyx yxyxyx ( ĐH Hàng Hải–2001) HD: Đặt ẩn phụ u = x - y , v = x.y ĐS: (0 ; 0) ; (3 ; 2) , (–2 ; –3) 13/ =+ =+ 1 1 66 44 yx yx (ĐH TCKT – 2001) HD: Đặt ẩn phụ: 2222 .; yxPyxS =+= ĐS : ( 0; 1) , ( 0 ; –1) , ( 1 ; 0) , ( –1 ; 0) 14/ = − ++ =−+−−+ 3 2 1 2 )1(0)2(6)4(5)2( 2222 yx yx yxyxyx HD: Đặt yx yx X − + = 2 2 ; 065)1( 2 =+−⇔ XX ĐS: ) 2 1 : 4 3 (), 4 1 ; 8 3 ( 15/ −=+++ −=++++ 4 5 )21( 4 5 24 222 xxyyx xyxyyxyx HD: Đặt u = x 2 + y , v = x.y 16/ +=+ +=++ 662 922 2 2234 xxyx xyxxx Thế 2 33 2 x xxy −+= 3 . Chuyên đề 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn: Ví dụ : Giải các. 12/ −=+− −=++ )(7 )(19 22 222 yxyxyx yxyxyx ( ĐH Hàng Hải–2001) HD: Đặt ẩn phụ u = x - y , v = x.y ĐS: (0 ; 0) ; (3 ; 2) , (–2 ; –3) 13/ =+ =+ 1 1 66 44 yx yx (ĐH TCKT – 2001) HD: Đặt ẩn phụ: