®¸p ¸n ®Ò kh¶o s¸t chÊt lîng líp 12 LÇn 2 - 2010 MÔN: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) I. (2,0 điểm) Khi 2=m hàm số trở thành 3 5 4 3 2 23 −++−= xxxy . a. Tập xác định: R . b. Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: Ta có 210';422' 2 =∨−=⇔=++−= xxyxxy . .210';210' >∨−<⇔<<<−⇔> xxyxy Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng )2;1(− và nghịch biến trên mỗi khoảng )1;( −−∞ , );2( ∞+ . * Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại 1−=x và 4−= CT y ; đạt cực đại tại 2=x và 5= CĐ y . * Giới hạn: −∞= +∞→ y x lim ; +∞= −∞→ y x lim . 0,5 * Bảng biến thiên x ∞− 1− 2 ∞+ 'y − 0 + 0 − y ∞+ 5 4− ∞− c. Đồ thị: 24" +−= xy . Ta có 2 1 0" =⇔= xy . Suy ra đồ thị có điểm uốn là . 2 1 ; 2 1 Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn 2 1 ; 2 1 là tâm đối xứng. 0,5 2. (1,0 điểm) Ta có hệ số góc của 013: =+− yxd là 3 1 = d k . Do đó 21 , xx là các nghiệm của phương trình 3' −=y , hay 323)1(22 2 −=−+−+− mxmx 013)1(22 2 =−−−−⇔ mxmx (1) 0,5 Yêu cầu bài toán ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm 21 , xx thỏa mãn 0. 21 >xx −<<− −< ⇔ > −− >++−=∆ ⇔ . 3 1 1 3 0 2 13 0)13(2)1(' 2 m m m mm Vậy kết quả của bài toán là 3−<m và . 3 1 1 −<<− m 0,5 1 O 1− 2 5 y x 4− 2 1 2 1 II. (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Điều kiện: 02sin ≠ x . Phương trình 0 sin cos cossin2 1 sin2 sin 1 =−+−⇔ x x xx x x 02coscos2.2cos 0 cossin2 cos21 sin sin21 22 =−⇔ = − + − ⇔ xxx xx x x x 0,5 .,, 2 3 24 2 1 cos 02cos Zmk mx kx x x ∈ +±= += ⇔ = = ⇔ π π ππ Đối chiếu điều kiện, nghiệm của phương trình là .,,2 3 ; 24 Zmkmxkx ∈+±=+= π πππ 0,5 2. (1,0 điểm) Đặt 0,,1,1 ≥+=+= baybxa . Khi đó hệ trở thành =−+ =− )2( 4 1 )4(2 )1( 2 7 22 2 aab ba Thế (1) vào (2) ta được 4 1 82 2 7 3 2 2 =−+ − aaa 0)65)(2)(1( 012872 2 234 =++−−⇔ =+−−+⇔ aaaa aaaa 0,5 21 =∨=⇔ aa (vì 065 2 >++ aa với 0≥a ) * Với 1=a , thay vào (1) ta được 0 2 5 <−=b , không thỏa mãn. * Với 2=a , thay vào (1) ta được 2 1 =b . Suy ra . 4 3 ,3 −== yx 0,5 III. (1,0 điểm) Ta có 2 1 0.12 −=⇔=+ − xex x . Vậy hình phẳng đã cho được giới hạn bởi các đường 2 1 ;0;.12 −==+= − xyexy x và 1=x . Do −∈∀≥+= − 1; 2 1 ,0.12 xexy x nên thể tích khối tròn xoay tạo thành là ∫ − − += 1 2 1 2 d)12( xexV x π . 0,25 Đặt xevxu x dd,12 2− =+= . Khi đó . 2 1 ,d2d 2x evxu − −== Theo công thức tích phân từng phần ta có ∫∫ − − − − − − ++−=+ 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 d)12( 2 1 d)12( xeexxex xxx 2 1 1 22 2 1 2 3 − −− −−= x ee 0,5 .2 2 2− −= e e Vậy −= −2 2 2 e e V π . 0,25 2 IV. (1,0 điểm) Từ giả thiết suy ra CBB 1 là tam giác vuông tại B và 2 3 . 2 1 2 1 1 a BCBBS CBB == . Mặt phẳng )( 1 CBB chứa CB 1 và song song với 1 AA nên .2);();( 111 aCBBAdCBAAd == Suy ra .).;( 3 1 3 1. 11 aSCBBAdV CBBCBBA == Vì chung đáy và chung đường cao nên V lăng trụ 3 3.3.3 11 aVV CBBAABCB === 0,5 0,5 V. (1,0 điểm) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có zxzxzyzyzyxyxyx 31,31,31 323232 ≥++≥++≥++ . Khi đó )(3)1()1()1( 222323232 zyxzyxzxzyzyxyxA ++−+++++++++++= .3)3)(( 3)(3)( )(3)(3 2 222 +−++++= +++−++= ++−+++++≥ zyxzyx zyxzyx zyxzyxzxyzxy 0,5 Từ giả thiết 3=++ zxyzxy và 0,, ≥zyx ta có 9)(3)( 2 =++≥++ zxyzxyzyx . Suy ra 3≥++ zyx . Do đó 3≥A . Dấu đẳng thức xảy ra khi 1=== zyx . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3, đạt được khi 1=== zyx . 0,5 VIa. (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Giả sử )();( 00 EyxM ∈ . Khi đó 1 34 2 0 2 0 =+ yx và 22 0 ≤≤− x . (E) có 134,2 =−== ca . Suy ra 2 1 == a c e . Ta có 321228128)(7)(7 0 2 0 2 0 2 0 22 0 2 0 2 2 2 1 +−=+−=−++=+ xxxeaexaexaexaMFMF . 0,5 Xét hàm 32122)( 0 2 00 +−= xxxf trên ]2;2[− . Ta có ]2;2[,0124)(' 000 −∈∀<−= xxxf . Suy ra )2()(min 0 ]2;2[ 0 fxf x = −∈ . Suy ra 16)7min( 2 2 2 1 =+ MFMF , đạt khi 2 0 =x . Thay vào (1) ta có 0 0 =y . Vậy )0;2(M . 0,5 2. (1,0 điểm) Giả sử mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính R > 0. Vì dI ∈ nên )3;32;1( +−+− tttI . Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên 3 22 ))(;( t PIdR − == (1) Ta có 3 211 ))(;( t QId − = . Chu vi của đường tròn giao tuyến 122 =⇒= rr ππ . 0,5 3 A B C a 3a 1 A 1 B 1 C Suy ra 1 3 )211( ))(;( 2 222 + − =+= t rQIdR (2) Từ (1) và (2) suy ra = = ⇔+ − = − 2 23 4 1 3 )211( 9 )22( 22 t t tt * Với 4=t ta có 2),7;5;3( =− RI . Suy ra mặt cầu .4)7()5()3( 222 =−+−++ zyx * Với 2 23 =t ta có 7, 2 29 ;20; 2 21 = − RI . Suy ra phương trình mặt cầu ( ) 49 2 29 20 2 21 2 2 2 = −+−+ + zyx . 0,5 VIIa. (1,0 điểm) Giả sử .,, Ryxyixz ∈+= Khi đó . 3 1 9 1 )3()32()16()6( 3)32()16(6326 222222 =⇔=+⇔+−=−+⇔ +−=−+⇔+=− zyxxyyx xiyiyxiziz Suy ra . 3 1 21 == zz 0,5 Ta lại có ).( 9 2 )())(( 9 1 12211221 2 2 2 12121 2 21 zzzzzzzzzzzzzzzz +−=+−+=−−=−= Suy ra 9 1 1221 =+ zzzz . Khi đó . 3 1 9 1 9 2 )())(( 1221 2 2 2 12121 2 21 =+=+++=++=+ zzzzzzzzzzzz Do đó . 3 1 21 =+ zz Chú ý: HS có thể đặt 21 , zz dạng đại số để tính. 0,5 VIb. (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) xyP 4:)( 2 = có 2=p . Suy ra tiêu điểm )0;1(F . TH 1. Oxd ⊥ . Khi đó pt 1: =xd . Từ hệ .4 )2;1( )2;1( 4 1 2 =⇒ − ⇒ = = AB B A xy x Vậy 1=x thỏa mãn. TH 2. d không vuông góc với Ox. Khi đó pt )1(: −= xkyd . Tọa độ A, B là nghiệm của = −= xy kkxy 4 2 0)2(2 4)( 2222 2 =++−⇒ =− −= ⇔ kxkxk xkkx kkxy (*) 0,5 Ta có d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B .0 044' 0 2 ≠⇔ >+=∆ ≠ ⇔ k k k Giả sử );(),;( 2211 kkxxBkkxxA −− với 21 , xx là nghiệm của phương trình (*). Ta có 2 21 2 21 22 12 22 ]4))[(1())(1( xxxxkxxkAB −++=−+= . )1(16 4 )2(4 )1( 4 22 4 22 2 k k k k k + = − + += Suy ra 44 4)1(4 22 2 >+= + = kk k AB , không thỏa mãn. Vậy phương trình 1: =xd hay 01 =−x . 0,5 2. (1,0 điểm) 4 Mặt cầu có tâm dtttI ∈+−−−+ )1;1;22( . 3 9 ))(;( + = t PId . Chọn )1;1;0( −= ∆ u và ∆∈)3;1;1(M . Khi đó )2;2;12( −−−−+= tttMI . Suy ra )12;12;42(],[ −−−−−−= ∆ yttMIu Suy ra 2 182412 ],[ ),( 2 ++ ==∆ ∆ ∆ tt u MIu Id . 0,5 Từ giả thiết ta có RIdPId =∆= );())(;( −= = ⇔=+⇔++= + ⇔ 53 90 0 090539126 3 9 22 t t tttt t * Với 0=t . Ta có 3),1;1;2( =− RI . Suy ra phương trình mặt cầu .9)1()1()2( 222 =−+++− zyx * Với 53 90 −=t . Ta có 53 129 , 53 143 ; 53 37 ; 53 74 = − RI . Suy ra phương trình mặt cầu 2222 53 129 53 143 53 37 53 74 = −+ −+ + zyx 0,5 VIIb. (1,0 điểm) Ta có − + − = −=− 3 sin 3 cos2 2 3 2 1 231 ππ iii . Giả sử 0),sin(cos >+= rirz ϕϕ . Khi đó −−+−−= − ) 3 sin() 3 cos( 231 ϕ π ϕ π i rz i . Theo giả thiết ta có 3 2 3 π ϕ π −=−− , hay là 3 π ϕ = . Suy ra i rr z 2 3 2 += . 0,5 Khi đó giả thiết riirrzziz 32)23(22 +=−+⇔−+=− 34034)3(4)13( 2222 =⇔=−⇔+=−+⇔ rrrrrr , vì 0>r . Vậy iz 632 += . 0,5 Hết 5 . 31 ,31 ,31 32 3 232 ≥++≥++≥++ . Khi đó ) (3) 1()1()1( 22 232 3 232 zyxzyxzxzyzyxyxA ++−+++++++++++= .3) 3)(( 3) (3) ( ) (3) (3 2 222 +−++++= +++−++= ++−+++++≥ zyxzyx zyxzyx zyxzyxzxyzxy 0,5 Từ giả thi t 3= ++. .9)1()1()2( 222 =−+++− zyx * Với 53 90 −=t . Ta có 53 129 , 53 1 43 ; 53 37 ; 53 74 = − RI . Suy ra phương trình mặt cầu 2222 53 129 53 1 43 53 37 53 74 = −+ −+ +. − + − = −=− 3 sin 3 cos2 2 3 2 1 231 ππ iii . Giả sử 0),sin(cos >+= rirz ϕϕ . Khi đó −−+−−= − ) 3 sin() 3 cos( 231 ϕ π ϕ π i rz i . Theo giả thi t ta có 3 2 3 π ϕ π −=−− , hay là 3 π ϕ = .