Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 đáp án thang điểm đề thi chính thức Môn thi : toán Khối D Nội dung điểm Câu 1. 2điểm 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 24 2 xx y x + = . 1 điểm Tập xác định : R \{ 2 }. Ta có 2 24 4 . 22 xx yx xx + ==+ 2 22 0 44 ' 1 . ' 0 4. (2) (2) x xx yy x xx = = = = = [] 4 lim lim 0 2 xx yx x = = tiệm cận xiên của đồ thị là: yx = , tiệm cận đứng của đồ thị là: 2 lim x y = 2x = . Bảng biến thiên: Đồ thị không cắt trục hoành. Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 2). 0,25đ 0,5đ 0,25đ 2) 1 điểm Đờng thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt m d phơng trình 4 22 2 x mx m x +=+ có hai nghiệm phân biệt khác 2 2 ( 1)( 2) 4mx = có hai nghiệm phân biệt khác 2 10m > 1.m > Vậy giá trị cần tìm là m 1.m > 0,5đ 0,5đ x 2 6 2 2 4O y x 0 2 4 + y + 0 0 + 2 + + y CĐ CT 6 1 Câu 2. 2điểm 1) Giải phơng trình 222 tg cos 0 24 2 xx x sin (1) = 1 điểm Điều kiện: (*). Khi đó cos 0x () 2 2 1sin1 (1) 1 cos 1 cos 222 cos x x x x =+ () ( ) 22 1sin sin 1cos cos x xx =+ x () ( ) 1 sin (1 cos )(1 cos ) 1 cos (1 sin )(1 sin ) x xx xx + =+ + x () 1 sin (1 cos )(sin cos ) 0xxxx + + = 2 sin 1 2 cos 1 2 tg 1 4 x k x x xk x x k =+ = ==+ = = + ()k Z . Kết hợp điều kiện (*) ta đợc nghiệm của phơng trình là: 2 4 x k x k =+ = + (). k Z 0,5đ 0,25đ 0,25đ 2) Giải phơng trình (1). 22 2 22 xx xx+ 3= 1 điểm Đặt . 2 20 xx tt => Khi đó (1) trở thành 2 4 3340(1)(4)0ttttt t = =+ ==4t (vì t ) 0> Vậy 2 2 24 xx xx = =2 1 2. = = x x Do đó nghiệm của phơng trình là 1 2. = = x x 0,5đ 0,5đ Câu 3. 3điểm 1) 1 điểm Từ () suy ra có tâm và bán kính 22 :( 1) ( 2) 4+ =Cx y ()C (1; 2)I 2.R = Đờng thẳng có véctơ pháp tuyến là nd (1; 1). = u ur Do đó đờng thẳng đi qua và vuông góc với d có phơng trình: (1; 2)I 12 11 xy xy 30 = + =. Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phơng trình: H d 10 2 (2;1). 30 1 xy x H xy y = = += = Gọi là điểm đối xứng với qua . Khi đó J (1; 2)I d 23 (3;0) 20 JHI JHI xxx J yxx == == . Vì đối xứng với ( qua nên có tâm là và bán kính Do đó có phơng trình là: (')C (C )C d (')C 22 (3;0)J 2.R = ') (3) 4 +xy=. Tọa độ các giao điểm của ( và là nghiệm của hệ phơng trình: )C (')C 22 22 2 22 10 1 (1)( 2) 4 1, 0 3, 2. (3) 4 2 860 (3) 4 xy yx xy xy xy xy xx xy = = + = = = == += += += Vậy tọa độ giao điểm của và ( là và ()C ')C (1; 0)A (3; 2).B 0,5 0,25đ 0,25đ 2 2) 1 điểm Ta có cặp vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng xác định là k d 1 (1; 3 ; 1) = u ur nk và . Vectơ pháp tuyến của là 2 (; 1;1)= uur nk ()P (1; 1; 2) = r n . Đờng thẳng có vectơ chỉ phơng là: k d 2 12 ,(31;1;13)0 k k k r Nên 2 1 13 1. 11 2 kk k k = = = Vậy giá trị cần tìm là 0,5đ 0,5 đ 3) 1 điểm Ta có (P) (Q) và = (P) (Q), mà AC AC (Q) AC AD, hay . Tơng tự, ta có BD nên BD (P), do đó CBD . Vậy A và B A, B nằm trên mặt cầu đờng kính CD. 0 90=CAD 0 90= Và bán kính của mặt cầu là: 22 1 22 CD R BC BD== + 222 13 22 a AB AC BD=++=. Gọi H là trung điểm của BC AH BC. Do BD (P) nên BD AH AH (BCD). Vậy AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) và 12 . 22 a AH BC== 0,25đ 0,25đ 0,5đ Câu 4. 2điểm 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 1 x y x + = + trên đoạn [ ] 1; 2 . 1 điểm 23 1 '. (1) x y x = + '0 1yx==. Ta có 3 (1) 0, 2, (2) . 5 y(1) yy= = = Vậy [] 1; 2 (1) 2max yy == và [] 1; 2 min ( 1) 0.yy = = 0,5đ 0,5đ 2) Tính tích phân 2 2 0 I xxd= x . 1 điểm Ta có 2 00 1 x xx , suy ra 12 22 01 () () = + I x x dx x x dx 12 23 32 01 1. 23 32 = + = xx xx 0,5đ 0,5đ unn k == r uuruur 31 () || k dPun rr k 1.=k . A B C D P Q H 3 Câu 5. 1điểm Cách 1: Ta có ( 202122224 1) nnn n nn n n n x Cx Cx Cx C += + + ++, 011222333 ( 2) 2 2 2 2 nn n n n n nn n n n n x Cx Cx Cx Cx C += + + + ++ . Dễ dàng kiểm tra 1, 2 = =nn không thỏa mãn điều kiện bài toán. Với thì 3n 33 2 3 22 1 . nnnnn xxxxx == Do đó hệ số của 33 n x trong khai triển thành đa thức của là 2 (1)(2++ nn xx) n C 303 11 33 2. . 2. . nnnn aCCC =+. Vậy 2 33 5 2(2 3 4) 26 26 7 3 2 = + = = = n n nn n an n n Vậy là giá trị cần tìm (vì nguyên dơng). 5=n n Cách 2: Ta có 23 2 332 2 00 00 12 (1)(2) 1 1 12 2. n n nnn i k nn nn ni k niikkk nn nn ik ik xx x x x xC C xCxCx x x == == ++= + + == Trong khai triển trên, luỹ thừa của x là 33n khi 23ik = 3k , hay Ta chỉ có hai trờng hợp thỏa điều kiện này là 23ik+=. 0,i = = hoặc i1, 1k = = . Nên hệ số của 33 n x là . 033 11 33 2 2 nnn nn aCCCC =+ Do đó 2 33 5 2(2 3 4) 26 26 7 3 2 = + = = = n n nn n an n n Vậy là giá trị cần tìm (vì nguyên dơng). 5=n n 0,75đ 0,25đ hoặc 0,75đ 0,25đ 4 . Bộ giáo d c và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 đáp án thang điểm đề thi chính thức Môn thi : toán Khối D Nội dung điểm Câu 1. 2điểm 1) Khảo. AC (Q) AC AD, hay . Tơng tự, ta có BD nên BD (P), do đó CBD . Vậy A và B A, B nằm trên mặt cầu đờng kính CD. 0 90=CAD 0 90= Và bán kính của mặt cầu là: 22 1 22 CD R BC BD== + 222 13 22 a AB. 22 1 22 CD R BC BD== + 222 13 22 a AB AC BD=++=. Gọi H là trung điểm của BC AH BC. Do BD (P) nên BD AH AH (BCD). Vậy AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) và 12 . 22 a AH BC==