TRƯỜNG ĐAI HỌC VINH Đề thi thử đại học năm học 2009-2010 Trường thpt chuyên MÔN: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số mxxmxy −++−= 9)1(3 23 , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1 = m . 2. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 21 , xx sao cho 2 21 ≤− xx . Câu II. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: ) 2 sin(2 cossin 2sin cot 2 1 π += + + x xx x x . 2. Giải phương trình: )12(log1)13(log2 3 5 5 +=+− xx . Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân ∫ + + = 5 1 2 13 1 dx xx x I . Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều '''. CBAABC có ).0(',1 >== mmCCAB Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng 'AB và 'BC bằng 0 60 . Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực không âm zyx ,, thoả mãn 3 222 =++ zyx . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức zyx zxyzxyA ++ +++= 5 . B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b). a. Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ,Oxy cho tam giác ABC có )6;4(A , phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là 0132 =+− yx và 029136 =+− yx . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 2. Trong không gian với hệ toạ độ ,Oxyz cho hình vuông MNPQ có )4;3;2(),1;3;5( −− PM . Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng .06:)( =−−+ zyx γ Câu VIIa. (1,0 điểm) Cho tập { } 6,5,4,3,2,1,0=E . Từ các chữ số của tập E lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau? b. Theo chương trình Nâng cao: Câu VIb. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ,Oxy xét elíp )(E đi qua điểm )3;2( −−M và có phương trình một đường chuẩn là .08 =+ x Viết phương trình chính tắc của ).(E 2. Trong không gian với hệ toạ độ ,Oxyz cho các điểm )2;3;0(),0;1;0(),0;0;1( CBA và mặt phẳng .022:)( =++ yx α Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm CBA ,, và mặt phẳng ).( α Câu VIIb. (1,0 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức n xnxx )1( )1(21 2 −++−+− thu được đa thức n n xaxaaxP +++= )( 10 . Tính hệ số 8 a biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn n CC nn 171 32 =+ . Hết 1 1 Trờng đại học vinh đáp án đề khảo sát chất lợng lớp 12 Lần 1 - 2009 Môn Toán, khối chuyên Cõu ỏp ỏn i m I 1. (1,25 im) Với 1 = m ta có 196 23 += xxxy . * Tập xác định: D = R * Sự biến thiên Chiều biến thiên: )34(39123' 22 +=+= xxxxy Ta có < > > 1 3 0' x x y , 310' <<< xy . Do đó: + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )1,( và ),3( + . + Hm số nghịch biến trên khoảng ).3,1( 0,5 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1=x và 3)1( == yy CD ; đạt cực tiểu tại 3=x và 1)3( == yy CT . Giới hạn: +== + yy xx lim;lim . 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 * Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại điểm )1,0( . 1 2 3 4 -1 1 2 3 x y O 0,25 2. (0,75 điểm) Ta có .9)1(63' 2 ++= xmxy +) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 21 , xx phơng trình 0'=y có hai nghiệm pb là 21 , xx Pt 03)1(2 2 =++ xmx có hai nghiệm phân biệt là 21 , xx . < +> >+= 31 31 03)1(' 2 m m m )1( 0,25 +) Theo định lý Viet ta có .3);1(2 2121 =+=+ xxmxx Khi đó 2 2 x y y 3 -1 + 0 0 3 1 + + + (2,0 im) ( ) ( ) 41214442 2 21 2 2121 ++ mxxxxxx )2(134)1( 2 + mm Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là 313 < m và .131 <+ m 0,5 II (2,0 1. (1,0 điểm) Điều kiện: .0cossin,0sin + xxx Pt đã cho trở thành 0cos2 cossin cossin2 sin2 cos = + + x xx xx x x 02sin) 4 sin(cos 0 cossin cos2 sin2 cos 2 = + = + xxx xx x x x +) ., 2 0cos +== kkxx 0,5 +) += += += ++= += nm n x mx nxx mxx xx , 3 2 4 2 4 2 4 2 2 4 2 ) 4 sin(2sin ., 3 2 4 += t t x Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là kx += 2 ; .,, 3 2 4 += tk t x 0,5 2. (1,0 điểm) Điều kiện . 3 1 >x (*) Với đk trên, pt đã cho )12(log31)13(log 5 2 5 +=+ xx 32 3 5 2 5 )12()13(5 )12(log)13(5log += += xx xx 0,5 = = = =+ 8 1 2 0)18()2( 0436338 2 23 x x xx xxx Đối chiếu điều kiện (*), ta có nghiệm của pt là .2=x 0,5 III (1,0 im) Đặt 3 2 132 3 13 tdt dx x dx dtxt = + =+= . Khi 1=x thì t = 2, và khi x = 5 thì t = 4. Suy ra + = 4 2 2 2 2 3 2 . . 3 1 1 3 1 tdt t t t I += 4 2 2 4 2 2 1 2)1( 9 2 t dt dtt 0,5 3 3 . 5 9 ln 27 100 2 4 1 1 ln 2 4 3 1 9 2 3 += + + = t t tt 0,5 IV (1,0 điểm) - Kẻ )''('// BADABBD 0 60)',()','( == BCBDBCAB 0 60'= DBC hoặc .120' 0 =DBC 0,5 - Nếu 0 60'=DBC Vì lăng trụ đều nên ).'''(' CBABB áp dụng định lý Pitago và định lý cosin ta có 1' 2 +== mBCBD và .3'=DC Kết hợp 0 60'=DBC ta suy ra 'BDC đều. Do đó .231 2 ==+ mm - Nếu 0 120'=DBC áp dụng định lý cosin cho 'BDC suy ra 0=m (loại). Vậy .2=m * Chú ý: - Nếu HS chỉ xét trờng hợp góc 0 60 thì chỉ cho 0,5đ khi giải đúng. - HS có thể giải bằng phơng pháp vectơ hoặc toạ độ với nhận xét: ''. '.' )','cos()','cos( BCAB BCAB BCABBCAB == . 0,5 V (1,0 điểm) Đặt zyxt ++= 2 3 )(23 2 2 =+++++= t zxyzxyzxyzxyt . Ta có 30 222 =++++ zyxzxyzxy nên 3393 2 tt vì .0>t Khi đó . 5 2 3 2 t t A + = 0,5 Xét hàm số .33, 2 35 2 )( 2 += t t t tf Ta có 0 55 )(' 2 3 2 > == t t t ttf vì .3t Suy ra )(tf đồng biến trên ]3,3[ . Do đó . 3 14 )3()( = ftf Dấu đẳng thức xảy ra khi .13 ==== zyxt Vậy GTLN của A là 3 14 , đạt đợc khi .1=== zyx 0,5 1. (1 điểm) VIa. (2,0 điểm) - Gọi đờng cao và trung tuyến kẻ từ C là CH và CM. Khi đó CH có phơng trình 0132 =+ yx , CM có phơng trình .029136 =+ yx 0,5 4 4 A 2 1 m+ C C B B A m D 3 1 1 0 120 M(6; 5) A(4; 6) C(-7; -1) B(8; 4) H - Từ hệ ).1;7( 029136 0132 =+ =+ C yx yx - )2,1(== CHAB unCHAB 0162: =+ yxABpt . - Từ hệ )5;6( 029136 0162 M yx yx =+ =+ ).4;8(B - Giả sử phơng trình đờng tròn ngoại tiếp .0: 22 =++++ pnymxyxABC Vì A, B, C thuộc đờng tròn nên =+ =+++ =+++ 0750 04880 06452 pnm pnm pnm = = = 72 6 4 p n m . Suy ra pt đờng tròn: 07264 22 =++ yxyx hay .85)3()2( 22 =++ yx 0,5 2. (1 điểm) - Giả sử );;( 000 zyxN . Vì )1(06)( 000 =+ zyxN - MNPQ là hình vuông MNP vuông cân tại N = = 0.PNMN PNMN =++++ +++=+++ 0)4)(1()3()2)(5( )4()3()2()1()3()5( 00 2 000 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 zzyxx zyxzyx 0,5 =++++ =+ )3(0)4)(1()3()2)(5( )2(01 00 2 000 00 zzyxx zx - Từ (1) và (2) suy ra += += 1 72 00 00 xz xy . Thay vào (3) ta đợc 065 0 2 0 =+ xx === === 2,1,3 1,3,2 000 000 zyx zyx hay )2;1;3( )1;3;2( N N . - Gọi I là tâm hình vuông I là trung điểm MP và NQ ) 2 5 ;3; 2 7 ( I . Nếu )13;2( N thì ).4;3;5( Q Nếu )2;1;3( N thì ).3;5;4( Q 0,5 VIIa. (1,0 điểm) Giả sử abcd là số thoả mãn ycbt. Suy ra { } 6,4,2,0d . +) .0 = d Số cách sắp xếp abc là . 3 6 A +) .2=d Số cách sắp xếp abc là . 2 5 3 6 AA 0,5 +) Với 4 = d hoặc 6=d kết quả giống nh trờng hợp .2=d Do đó ta có số các số lập đợc là ( ) .4203 2 5 3 6 3 6 =+ AAA 0,5 1. (1 điểm) VIb. (2,0 điểm) - Gọi phơng trình )0(1:)( 2 2 2 2 >>=+ ba b y a x E . 0,5 5 5 - Gi¶ thiÕt = =+ ⇔ )2(8 )1(1 94 2 22 c a ba Ta cã ).8(88)2( 22222 cccccabca −=−=−=⇒=⇔ Thay vµo (1) ta ®îc 1 )8( 9 8 4 = − + ccc . = = ⇔=+−⇔ 2 13 2 026172 2 c c cc * NÕu 2 = c th× .1 1216 :)(12,16 22 22 =+⇒== yx Eba * NÕu 2 13 =c th× .1 4/3952 :)( 4 39 ,52 22 22 =+⇒== yx Eba 0,5 2. (1 ®iÓm) Gi¶ sö );;( 000 zyxM . Khi ®ã tõ gi¶ thiÕt suy ra 5 22 )2()3()1()1( 002 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 ++ =−+−+=+−+=++− yx zyxzyxzyx ++ =++− −+−+=+−+ +−+=++− ⇔ )3( 5 )22( )1( )2()2()3()1( )1()1()1( 2 00 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 yx zyx zyxzyx zyxzyx 0,5 Tõ (1) vµ (2) suy ra −= = 00 00 3 xz xy . Thay vµo (3) ta ®îc 2 00 2 0 )23()1083(5 +=+− xxx = = ⇔ 3 23 1 0 0 x x − ⇒ ). 3 14 ; 3 23 ; 3 23 ( )2;1;1( M M 0,5 VIIb. (1,0 ®iÓm) Ta cã = −− + − ≥ ⇔=+ nnnnnn n n CC nn 1 )2)(1( !3.7 )1( 2 3 171 32 0,5 6 6 .9 0365 3 2 =⇔ =−− ≥ ⇔ n nn n Suy ra 8 a lµ hÖ sè cña 8 x trong biÓu thøc .)1(9)1(8 98 xx −+− §ã lµ .89.9.8 8 9 8 8 =+ CC 0,5 7 7 . TRƯỜNG ĐAI HỌC VINH Đề thi thử đại học năm học 200 9 -2 010 Trường thpt chuyên MÔN: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ. 1 1 Trờng đại học vinh đáp án đề khảo sát chất lợng lớp 12 Lần 1 - 200 9 Môn Toán, khối chuyên Cõu ỏp ỏn i m I 1. (1,25 im) Với 1 = m ta có 196 23 += xxxy . * Tập xác định: D = R * Sự biến thi n. 5) A(4; 6) C (-7 ; -1 ) B(8; 4) H - Từ hệ ).1;7( 029136 0132 =+ =+ C yx yx - )2,1(== CHAB unCHAB 0162: =+ yxABpt . - Từ hệ )5;6( 029136 0162 M yx yx =+ =+ ).4;8(B - Giả sử phơng trình