D - ˆ O ` HO . A M ´ AY T ´ INH I Pha . m Tiˆe ´ n So . n D - `a La . t, 2005 2 Mu . c lu . c L`o . i n´oi d¯ˆa ` u 7 1 C´ac thuˆa . t to´an v˜e d¯u . `o . ng cong trˆen thiˆe ´ t bi . raster 9 1.1 D - oa . n thˇa ˙’ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Thuˆa . t to´an sˆo ´ gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2 Thuˆa . t to´an d¯iˆe ˙’ m gi˜u . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.3 Mˆo . t sˆo ´ vˆa ´ n d¯ˆe ` liˆen quan d¯ˆe ´ n thuˆa . t to´an v˜e d¯oa . n thˇa ˙’ ng . . . . . . . . 18 1.1.4 C´ac thuˆo . c t´ınh cu ˙’ a d¯oa . n thˇa ˙’ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2 D - u . `o . ng tr`on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.1 D - ˆo ´ i x´u . ng t´am d¯iˆe ˙’ m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.2 Thuˆa . t to´an d¯iˆe ˙’ m gi˜u . a v˜e d¯u . `o . ng tr`on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3 D - u . `o . ng cong ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.1 Ellipse c´o da . ng ch´ınh tˇa ´ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.2 Ellipse trong tru . `o . ng ho . . p tˆo ˙’ ng qu´at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 H`ınh ho . c cu ˙’ a c´ac d¯u . `o . ng cong v`a mˇa . t cong 47 2.1 Mo . ˙’ d¯ˆa ` u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 2.2 D - u . `o . ng cong Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.1 Thuˆa . t to´an de Casteljau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.2 D - a th´u . c Bernstein v`a d¯u . `o . ng cong Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3 C´ac t´ınh chˆa ´ t cu ˙’ a d¯u . `o . ng cong Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.1 D - iˆe ` u khiˆe ˙’ n d¯i . a phu . o . ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4 D - a th´u . c t`u . ng kh´uc v`a c´ac h`am spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4.1 Su . ˙’ du . ng c´ac h`am spline nhu . c´ac h`am trˆo . n . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4.2 Xˆay du . . ng c´ac h`am trˆo . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.4.3 D - u . `o . ng cong spline v`a c´ac h`am co . so . ˙’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.4.4 C´ac h`am B-spline co . so . ˙’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.4.5 Su . ˙’ du . ng c´ac knot bˆo . i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.4.6 Vector knot chuˆa ˙’ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.5 C´ac t´ınh chˆa ´ t cu ˙’ a d¯u . `o . ng cong B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.6 Nˆo . i suy c´ac d¯iˆe ˙’ m d¯iˆe ` u khiˆe ˙’ n bˇa ` ng d¯u . `o . ng cong B-spline . . . . . . . . . . . . 77 2.7 Thiˆe ´ t kˆe ´ c´ac mˇa . t Bezier v`a B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.7.1 Patch Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.7.2 D´an c´ac patch Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.7.3 Patch spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3 Giao cu ˙’ a c´ac d¯ˆo ´ i tu . o . . ng 83 3.1 Mo . ˙’ d¯ˆa ` u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.2 Giao cu ˙’ a hai d¯oa . n thˇa ˙’ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.2.1 Phˆan t´ıch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4 3.2.2 Thuˆa . t to´an x´ac d¯i . nh giao hai d¯oa . n thˇa ˙’ ng . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.3 D - oa . n thˇa ˙’ ng v`a h`ınh ch˜u . nhˆa . t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.3.1 T`ım giao bˇa ` ng c´ach gia ˙’ i hˆe . c´ac phu . o . ng tr`ınh . . . . . . . . . . . . . . 89 3.3.2 Thuˆa . t to´an chia nhi . phˆan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.3.3 Thuˆa . t to´an Cohen-Sutherland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.3.4 Thuˆa . t to´an Liang-Barsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.4 Giao cu ˙’ a d¯oa . n thˇa ˙’ ng v`a d¯a gi´ac lˆo ` i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.4.1 Vi . tr´ı tu . o . ng d¯ˆo ´ i cu ˙’ a mˆo . t d¯iˆe ˙’ m v´o . i d¯u . `o . ng thˇa ˙’ ng . . . . . . . . . . . . 100 3.4.2 Thuˆa . t to´an t`ım giao cu ˙’ a d¯oa . n thˇa ˙’ ng v`a d¯a gi´ac lˆo ` i . . . . . . . . . . 102 3.5 Giao hai d¯a gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.5.1 Thuˆa . t to´an Sutherland-Hodgman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.5.2 Thuˆa . t to´an Weiler-Atherton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.5.3 C´ac ph´ep to´an tˆa . p ho . . p trˆen c´ac d¯a gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.6 Ray tracing hai chiˆe ` u: pha ˙’ n xa . trong buˆo ` ng k´ın . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.6.1 Vector pha ˙’ n xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.6.2 Giao cu ˙’ a tia s´ang v`a d¯u . `o . ng thˇa ˙’ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.6.3 Giao cu ˙’ a tia s´ang v´o . i d¯u . `o . ng tr`on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.6.4 Xˆay du . . ng v´ı du . ray tracing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.6.5 Buˆo ` ng k´ın l`a ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4 Tˆo m`au v`ung 127 4.1 C´ac d¯i . nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.1.1 V`ung d¯i . nh ngh˜ıa bo . ˙’ i pixel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5 4.1.2 V`ung d¯i . nh ngh˜ıa bo . ˙’ i d¯a gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.2 Thuˆa . t to´an tˆo m`au theo vˆe ´ t dˆa ` u loang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.3 Thuˆa . t to´an tˆo m`au theo con cha . y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.4 Thuˆa . t to´an tˆo m`au theo biˆen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.5 So s´anh c´ac thuˆa . t to´an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.6 Tˆo m`au c´ac h`ınh ch˜u . nhˆa . t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.7 Thuˆa . t to´an tˆo m`au d¯a gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.7.1 C´ac d`ong qu´et ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.7.2 C´ac ma ˙’ nh vu . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.7.3 Liˆen kˆe ´ t ca . nh v`a thuˆa . t to´an tr`an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.7.4 Tˆo m`au c´ac d¯a gi´ac chˆo ` ng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.8 Tˆo m`au theo mˆa ˜ u tˆo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Phˆa ` n phu . lu . c: Thu . viˆe . n graph2D.h 163 T`ai liˆe . u tham kha ˙’ o 171 6 L`o . i n´oi d¯ˆa ` u D - ˆo ` ho . a m´ay t´ınh l`a mˆo . t l˜ınh vu . . c hˆa ´ p dˆa ˜ n cu ˙’ a khoa ho . c m´ay t´ınh. Ch´ung ta su . ˙’ du . ng d¯ˆo ` ho . a m´ay t´ınh nhu . mˆo . t cˆong cu . d¯ˆe ˙’ quan s´at thˆong tin trong nhiˆe ` u l˜ınh vu . . c kh´ac nhau, bao gˆo ` m khoa ho . c v`a cˆong nghˆe . , ho´a ho . c, kiˆe ´ n tr´uc v`a gia ˙’ i tr´ı. C´ac chu . o . ng tr`ınh d¯ˆo ` ho . a tu . o . ng t´ac cho ph´ep ngu . `o . i su . ˙’ du . ng l`am viˆe . c theo c´ach tu . . nhiˆen nhˆa ´ t: ngu . `o . i su . ˙’ du . ng cung cˆa ´ p thˆong tin cho tr`ınh ´u . ng du . ng thˆong qua c´ac hoa . t d¯ˆo . ng bˆen ngo`ai cu ˙’ a ho . v`a s˜e nhˆa . n d¯u . o . . c thˆong tin tro . ˙’ la . i bˇa ` ng h`ınh a ˙’ nh. D - ˆo ` ho . a m´ay t´ınh d¯ang gi´up con ngu . `o . i thay d¯ˆo ˙’ i vˆe ` quan niˆe . m v`a c´ach th´u . c su . ˙’ du . ng m´ay t´ınh. Gi´ao tr`ınh D - ˆo ` ho . a m´ay t´ınh I cung cˆa ´ p mˆo . t sˆo ´ k˜y thuˆa . t co . ba ˙’ n cu ˙’ a d¯ˆo ` ho . a m´ay t´ınh hai chiˆe ` u. (D - ˆo ` ho . a m´ay t´ınh ba chiˆe ` u, mˆo . t phˆa ` n quan tro . ng khˆong thˆe ˙’ thiˆe ´ u d¯u . o . . c s˜e d¯u . o . . c d¯ˆe ` cˆa . p trong mˆo . t gi´ao tr`ınh kh´ac). D - ˆe ˙’ c´o mˆo . t khung ca ˙’ nh to`an diˆe . n v`a sˆau sˇa ´ c vˆe ` nh˜u . ng nguyˆen l´y v`a thu . . c h`anh cu ˙’ a d¯ˆo ` ho . a m´ay t´ınh, xem c´ac t`ai liˆe . u dˆa ˜ n [9] v`a [11]. C´ac phu . o . ng ph´ap phˆan t´ıch v`a thiˆe ´ t kˆe ´ c´ac thuˆa . t to´an trong gi´ao tr`ınh cho ph´ep sinh viˆen c´o thˆe ˙’ viˆe ´ t dˆe ˜ d`ang c´ac chu . o . ng tr`ınh minh ho . a. Gi´ao tr`ınh d¯u . o . . c biˆen soa . n cho c´ac d¯ˆo ´ i tu . o . . ng l`a sinh viˆen To´an-Tin v`a Tin ho . c. Gi´ao tr`ınh su . ˙’ du . ng ngˆon ng˜u . C d¯ˆe ˙’ minh ho . a, tuy nhiˆen c´o thˆe ˙’ dˆe ˜ d`ang chuyˆe ˙’ n d¯ˆo ˙’ i sang c´ac ngˆon ng˜u . kh´ac; v`a do d¯´o, sinh viˆen cˆa ` n c´o mˆo . t sˆo ´ kiˆe ´ n th´u . c vˆe ` ngˆon ng˜u . C. Ngo`ai ra, hˆa ` u hˆe ´ t c´ac chu . o . ng tr`ınh thao t´ac trˆen cˆa ´ u tr´uc d˜u . liˆe . u nhu . danh s´ach liˆen kˆe ´ t, nˆen d¯`oi ho ˙’ i sinh viˆen pha ˙’ i c´o nh˜u . ng k˜y nˇang lˆa . p tr`ınh tˆo ´ t. Sinh viˆen c˜ung cˆa ` n c´o co . so . ˙’ to´an ho . c cu ˙’ a nh˜u . ng nˇam d¯ˆa ` u d¯a . i ho . c: hiˆe ˙’ u biˆe ´ t vˆe ` d¯a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n t´ınh v`a h`ınh ho . c gia ˙’ i t´ıch, ph´ep t´ınh vi t´ıch phˆan. Mu . c d¯´ıch cu ˙’ a gi´ao tr`ınh l`a, o . ˙’ m´u . c d¯ˆo . n`ao d¯´o, cho thˆa ´ y c´ac tr`ınh ´u . ng du . ng d¯ˆo ` ho . a d¯u . o . . c ta . o ra nhu . thˆe ´ n`ao: Ch´ung ta cˆa ` n viˆe ´ t v`a cha . y thu . ˙’ c´ac chu . o . ng tr`ınh. Mˆo . t trong nh˜u . ng mu . c d¯´ıch ch´ınh cu ˙’ a gi´ao tr`ınh l`a gi´up sinh viˆen nˇa ´ m v˜u . ng c´ac phu . o . ng ph´ap, tru . ´o . c hˆe ´ t to´an ho . c ho´a c´ac kh´ac niˆe . m h`ınh ho . c v`a sau d¯´o chuyˆe ˙’ n ta ˙’ i th`anh c´ac d¯oa . n m˜a chu . o . ng tr`ınh. 7 Gi´ao tr`ınh bao gˆo ` m bˆo ´ n chu . o . ng v`a mˆo . t phˆa ` n phu . lu . c v´o . i nh˜u . ng nˆo . i dung ch´ınh nhu . sau: • Chu . o . ng th´u . nhˆa ´ t d¯ˆe ` cˆa . p d¯ˆe ´ n c´ac phu . o . ng ph´ap v˜e c´ac “nguyˆen so . ” cu ˙’ a d¯ˆo ` ho . a m´ay t´ınh: d¯oa . n thˇa ˙’ ng, d¯u . `o . ng tr`on v`a ellipse. • Phˆan t´ıch v`a thiˆe ´ t kˆe ´ bˇa ` ng h`ınh ho . c l`a nˆo . i dung ch´ınh cu ˙’ a Chu . o . ng 2. Hˆa ` u hˆe ´ t c´ac phˆa ` n mˆe ` m d¯ˆo ` ho . a d¯ˆe ` u c´o nh˜u . ng ch´u . c nˇang ta . o ra c´ac d¯u . `o . ng cong du . . a trˆen c´ac d¯iˆe ˙’ m m`a ngu . `o . i su . ˙’ du . ng lu . . a cho . n. Chu . o . ng n`ay cung cˆa ´ p nh˜u . ng nguyˆen l´y v`a c´ach tiˆe ´ p cˆa . n thu . . c h`anh m`a c´ac tr`ınh ´u . ng du . ng d¯ˆo ` ho . a ´ap du . ng. • Chu . o . ng 3 gia ˙’ i quyˆe ´ t b`ai to´an x´ac d¯i . nh giao cu ˙’ a nh˜u . ng nguyˆen so . d¯ˆo ` ho . a: Giao hai d¯oa . n thˇa ˙’ ng, giao cu ˙’ a d¯oa . n thˇa ˙’ ng v`a d¯a gi´ac lˆo ` i (bao h`am c´ac h`ınh ch˜u . nhˆa . t) v`a giao cu ˙’ a hai d¯a gi´ac. Cuˆo ´ i chu . o . ng l`a mˆo . t v´ı du . cu ˙’ a k˜y thuˆa . t “ray tracing” hai chiˆe ` u: Chuyˆe ˙’ n d¯ˆo . ng cu ˙’ a tia s´ang trong buˆo ` ng k´ın c´o ch´u . a c´ac “chu . ´o . ng nga . i vˆa . t”. • Chu . o . ng 4 d¯ˆe ` cˆa . p d¯ˆe ´ n nh˜u . ng thuˆa . t to´an tˆo m`au v`ung bˆa ´ t k`y: V`ung d¯i . nh ngh˜ıa bo . ˙’ i phˆa ` n trong, bo . ˙’ i d¯u . `o . ng biˆen v`a v`ung l`a d¯a gi´ac. • Phˆa ` n phu . lu . c l`a thu . viˆe . n c´ac cˆa ´ u tr´uc d˜u . liˆe . u v`a c´ac h`am cˆa ` n thiˆe ´ t v`a thu . `o . ng xuyˆen su . ˙’ du . ng trong gi´ao tr`ınh. Trong lˆa ` n xuˆa ´ t ba ˙’ n th´u . hai n`ay, ch´ung tˆoi d¯u . a thˆem c´ac v´ı du . t´ınh to´an nhˇa ` m minh ho . a cho phˆa ` n l´y thuyˆe ´ t c˜ung nhu . gi´up sinh viˆen nˇa ´ m v˜u . ng kiˆe ´ n th´u . c d¯˜a ho . c. Ngo`ai ra, c´ac lˆo ˜ i trong xuˆa ´ t ba ˙’ n lˆa ` n tru . ´o . c c˜ung d¯˜a d¯u . o . . c chı ˙’ nh l´y; mˇa . c d`u vˆa . y, t´ac gia ˙’ vˆa ˜ n mong c´o nh˜u . ng d¯´ong g´op t`u . ba . n d¯o . c. Tˆoi xin ca ˙’ m o . n nh˜u . ng gi´up d¯˜o . d¯˜a nhˆa . n d¯u . o . . c t`u . nhiˆe ` u ngu . `o . i m`a khˆong thˆe ˙’ liˆe . t kˆe hˆe ´ t, d¯ˇa . c biˆe . t l`a c´ac ba . n sinh viˆen, trong qu´a tr`ınh biˆen soa . n gi´ao tr`ınh n`ay. D - `a La . t, ng`ay 10 th´ang 1 nˇam 2005 PHA . M Tiˆe ´ n So . n 8 Chu . o . ng 1 C´ac thuˆa . t to´an v˜e d¯u . `o . ng cong trˆen thiˆe ´ t bi . raster Chu . o . ng n`ay tr`ınh b`ay c´ac thuˆa . t to´an v˜e d¯oa . n thˇa ˙’ ng, d¯u . `o . ng tr`on v`a ellipse trˆen lattice nguyˆen Z 2 . C´ac thuˆa . t to´an chı ˙’ thao t´ac trˆen nh˜u . ng sˆo ´ nguyˆen v`a trong c´ac v`ong lˇa . p chı ˙’ su . ˙’ du . ng ph´ep to´an cˆo . ng nˆen rˆa ´ t hiˆe . u qua ˙’ . 1.1 D - oa . n thˇa ˙’ ng Thuˆa . t to´an v˜e d¯oa . n thˇa ˙’ ng x´ac d¯i . nh to . a d¯ˆo . cu ˙’ a c´ac pixel nˇa ` m trˆen hoˇa . c gˆa ` n v´o . i d¯oa . n thˇa ˙’ ng thu . . c tˆe ´ nhˆa ´ t. Vˆe ` nguyˆen tˇa ´ c, ch´ung ta muˆo ´ n cho . n d˜ay c´ac pixel gˆa ` n v´o . i d¯oa . n thˇa ˙’ ng thu . . c tˆe ´ nhˆa ´ t v`a thˇa ˙’ ng nhˆa ´ t. X´et d¯oa . n thˇa ˙’ ng thu . . c tˆe ´ d¯u . o . . c xˆa ´ p xı ˙’ v´o . i mˆa . t d¯ˆo . mˆo . t pixel; ta cˆa ` n c´o nh˜u . ng t´ınh chˆa ´ t g`ı? V´o . i c´ac d¯oa . n thˇa ˙’ ng c´o hˆe . sˆo ´ g´oc thuˆo . c d¯oa . n [−1, 1], c´o d¯´ung mˆo . t pixel d¯u . o . . c v˜e lˆen trˆen mˆo ˜ i cˆo . t; v´o . i c´ac d¯oa . n thˇa ˙’ ng m`a hˆe . sˆo ´ g´oc nˇa ` m ngo`ai d¯oa . n n`ay, c´o d¯´ung mˆo . t pixel d¯u . o . . c v˜e trˆen mˆo ˜ i h`ang. Tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯oa . n thˇa ˙’ ng d¯u . o . . c v˜e v´o . i c`ung mˆo . t d¯ˆo . s´ang, khˆong phu . thuˆo . c v`ao d¯ˆo . d`ai v`a hu . ´o . ng, v`a nhanh nhˆa ´ t c´o thˆe ˙’ d¯u . o . . c. Thuˆa . t to´an v˜e d¯oa . n thˇa ˙’ ng c˜ung cˆa ` n ch ´u ´y d¯ˆe ´ n c´ac thuˆo . c t´ınh cu ˙’ a d¯oa . n thˇa ˙’ ng nhu . d¯ˆo . rˆo . ng, kiˆe ˙’ u v˜e Thˆa . m ch´ı ch´ung ta muˆo ´ n cu . . c tiˆe ˙’ u ho´a m´u . c d¯ˆo . rˇang cu . a do tiˆe ´ n tr`ınh r`o . i ra . c ho´a d¯u . `o . ng thˇa ˙’ ng thu . . c tˆe ´ nh`o . su . ˙’ du . ng k˜y thuˆa . t antialiasing (xem [9], [11]) bˇa ` ng c´ach ´ap du . ng kha ˙’ nˇang d¯ˇa . t cu . `o . ng d¯ˆo . cu ˙’ a mˆo ˜ i pixel trˆen c´ac thiˆe ´ t bi . hiˆe ˙’ n thi . m`a mˆo . t pixel tu . o . ng ´u . ng nhiˆe ` u bit. Tru . ´o . c hˆe ´ t ch´ung ta chı ˙’ d¯ˆe ` cˆa . p d¯ˆe ´ n c´ac d¯oa . n thˇa ˙’ ng d¯ˆo . rˆo . ng mˆo . t pixel v`a c´o d¯´ung mˆo . t pixel trˆen mˆo ˜ i cˆo . t (hoˇa . c h`ang d¯ˆo ´ i v´o . i c´ac d¯oa . n thˇa ˙’ ng dˆo ´ c). Phˆa ` n cuˆo ´ i chu . o . ng s˜e d¯ˆe ` cˆa . p 9 d¯ˆe ´ n d¯ˆo . rˆo . ng c´ac nguyˆen so . v`a c´ac mˆa ˜ u v˜e. Mˆo . t c´ach h`ınh ho . c, ch´ung ta biˆe ˙’ u diˆe ˜ n mˆo . t pixel nhu . mˆo . t chˆa ´ m tr`on v´o . i tˆam ta . i vi . tr´ı (x, y) cu ˙’ a pixel trˆen lu . ´o . i c´ac to . a d¯ˆo . nguyˆen Z 2 . Biˆe ˙’ u diˆe ˜ n n`ay l`a mˆo . t xˆa ´ p xı ˙’ th´ıch ho . . p nh´at cˇa ´ t ngang trong mˆo . t chu k`y cu ˙’ a ch`um tia electron cu ˙’ a CRT; xˆa ´ p xı ˙’ n`ay phu . thuˆo . c v`ao khoa ˙’ ng c´ach (tu`y thuˆo . c v`ao hˆe . thˆo ´ ng) gi˜u . a c´ac vˆe ´ t trˆen m`an h`ınh hiˆe ˙’ n thi . . Trong mˆo . t sˆo ´ hˆe . thˆo ´ ng, c´ac chˆa ´ m kˆe ` nhau phu ˙’ lˆa ´ p mˆo . t phˆa ` n lˆen nhau; v´o . i nh˜u . ng hˆe . thˆo ´ ng kh´ac c´o nh˜u . ng khoa ˙’ ng c´ach gi˜u . a c´ac pixel d¯´u . ng kˆe ` nhau; trong hˆa ` u hˆe ´ t c´ac hˆe . thˆo ´ ng, khoa ˙’ ng c´ach theo chiˆe ` u ngang nho ˙’ ho . n theo chiˆe ` u d¯´u . ng. Mˆo . t kh´ac biˆe . t n˜u . a tu`y theo hˆe . thˆo ´ ng trong viˆe . c biˆe ˙’ u diˆe ˜ n hˆe . to . a d¯ˆo . , chˇa ˙’ ng ha . n Macintosh xem c´ac pixel d¯u . o . . c d¯ˇa . t ta . i tˆam cu ˙’ a h`ınh ch˜u . nhˆa . t gi˜u . a c´ac d¯u . `o . ng thˇa ˙’ ng kˆe ` nhau cu ˙’ a lu . ´o . i d¯iˆe ` u khiˆe ˙’ n thay cho nˇa ` m trˆen c´ac d¯u . `o . ng thˇa ˙’ ng cu ˙’ a lu . ´o . i. Theo c´ach n`ay, c´ac h`ınh ch˜u . nhˆa . t (x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i hai g´oc) gˆo ` m c´ac pixel thuˆo . c phˆa ` n trong cu ˙’ a n´o. D - i . nh ngh˜ıa n`ay cho ph´ep c´ac v`ung d¯ˆo . rˆo . ng bˇa ` ng khˆong: H`ınh ch˜u . nhˆa . t t`u . (x, y) d¯ˆe ´ n (x, y) khˆong ch´u . a pixel n`ao, trong khi v´o . i nh˜u . ng hˆe . thˆo ´ ng kh´ac, c´o d¯´ung mˆo . t pixel ta . i d¯iˆe ˙’ m n`ay. Du . ´o . i d¯ˆay ch´ung ta s˜e biˆe ˙’ u diˆe ˜ n c´ac pixel nhu . c´ac h`ınh tr`on r`o . i nhau c´o tˆam nˇa ` m trˆen lu . ´o . i. H`ınh 1.1 l`a ph´ong to cu ˙’ a d¯u . `o . ng thˇa ˙’ ng thu . . c tˆe ´ v`a xˆa ´ p xı ˙’ d¯ˆo . rˆo . ng mˆo . t pixel cu ˙’ a n´o. C´ac pixel d¯u . o . . c v˜e tu . o . ng ´u . ng c´ac h`ınh tr`on m`au d¯en v`a c´ac pixel khˆong d¯u . o . . c v˜e tu . o . ng ´u . ng h`ınh tr`on khˆong tˆo. Trˆen m`an h`ınh thu . . c tˆe ´ , d¯u . `o . ng k´ınh cu ˙’ a h`ınh tr`on biˆe ˙’ u diˆe ˜ n pixel l´o . n ho . n khoa ˙’ ng c´ach gi˜u . a c´ac pixel kˆe ` nhau, bo . ˙’ i vˆa . y biˆe ˙’ u diˆe ˜ n bˇa ` ng k´y hiˆe . u cu ˙’ a ch´ung ta l`a mˆo . t ph´ong d¯a . i m´u . c d¯ˆo . r`o . i ra . c cu ˙’ a c´ac pixel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ② ② ② ② ② H`ınh 1.1: D - oa . n thˇa ˙’ ng xˆa ´ p xı ˙’ d¯u . o . . c biˆe ˙’ u diˆe ˜ n bo . ˙’ i c´ac h`ınh tr`on d¯en. V`ı c´ac nguyˆen so . trong hˆe . thˆo ´ ng ch´ung ta x´ac d¯i . nh trˆen lu . ´o . i d¯iˆe ` u khiˆe ˙’ n nguyˆen nˆen c´ac to . a d¯ˆo . d¯ˆa ` u cuˆo ´ i cu ˙’ a d¯oa . n thˇa ˙’ ng l`a nguyˆen. Thˆa . t ra, nˆe ´ u ch´ung ta cˇa ´ t d¯oa . n thˇa ˙’ ng v´o . i h`ınh ch˜u . nhˆa . t tru . ´o . c khi hiˆe ˙’ n thi . n´o th`ı to . a d¯ˆo . c´ac d¯iˆe ˙’ m d¯ˆa ` u cuˆo ´ i cu ˙’ a d¯oa . n thˇa ˙’ ng c´o thˆe ˙’ khˆong nguyˆen. (Ch´ung ta s˜e tha ˙’ o luˆa . n c´ac giao d¯iˆe ˙’ m khˆong nguyˆen trong Phˆa ` n 1.1.3). Gia ˙’ 10