136 ),(),( ),(),() 2 , 2 ( 21112110 2101210021 212 1 kkFWkkFW kkFWkkF N n N nH nn N n N n N (6.68d) Dạng công thức cuối cùng được biết đến như một bướm cơ số (2 2). Mỗi bướm cần đến ba phép nhân và tám phép cộng, để tính toán một bước của giải thuật FFT đòi hỏi N 2 /4 bướm (việc kiểm chứng được giành cho độc giả coi như là một bài tập). Số bước cần thiết để thực hiện giải thuật FFT 2-D là log 2 N, vì vậy số phép nhân cần thực hiện là Nlog 4 3N 2 2 Với phương pháp này số hàng-cột cần thiết sẽ nhỏ hơn 25 phần trăm so với số hàng-cột được mô tả trước đây. Tuy nhiên phương pháp này sẽ chỉ có hiệu quả nếu có đủ bộ nhớ hoạt động lưu giữ N N số phức. Bài tập 6.9 1. Phát triển thuật toán và chương trình C cho giải thuật phân chia thời gian 2- D FFT cơ số vector 2. Biến đổi công thức để chia tần số vector FFT 2-D. 3. Phát triển thuật toán giảm lược đầu vào và đầu ra, viết chương trình C cho 2- D FFT cơ số vector. 125 CHƯƠNG 7 CÁC THUỘC TÍNH CỦA ẢNH SỐ 7.1 Chỉ dẫn Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các vấn đề sau: Tầm quan trọng của pha trong các ảnh số. Các giả thiết lấy mẫu 2-D với các ứng dụng trên các ảnh. Nhân đôi độ phân giải trên ảnh. 7.2 Tầm quan trọng của pha Trong chương 6, phần 6.4.2, tầm quan trọng của đặc tính tuyến tính hoặc đặc tính pha zero cho các bộ lọc 2-D đã được đề cập. Tuy nhiên, chúng ta chưa kiểm tra tác dụng phân bố đặc tính pha của các ảnh số đối với các nội dung thông tin có trên ảnh. Để làm vậy, chúng ta sẽ đưa ra hai thử nghiệm. Thử nghiệm 1: 1. Rút ra 2-D FFT của một ảnh được cho. 2. Tính đặc tuyến pha: )( )( tan kx kx r i k ở đây x i (k) biểu diễn cho các phần giá trị ảo và x r (k) biểu diễn các giá trị thực của FFT. 3. Tính toán và lưu trong một file các giá trị phức cos( ) sin( ), k k i i = -1 4. Rút ra biến đổi ngược FFT của file cuối cùng. Để đưa các bước trên, chương trình 7.1 được cung cấp. Chương trình thực hiện trên ảnh “IKRAM.IMG” của hình 3.2a (Chương 3). Kết quả được đưa ra trên hình 7.1. 126 Chương trình 7.1 "PHASE.C". Kiểm tra tầm quan trọng của pha. /* Program for testing the importance of phase in digital images.*/ #define pi 3.141592654 #include <stdio.h> #include <math.h> #include <alloc.h> #include <stdlib.h> #include <io.h> #include <string.h> #include <conio.h> void bit_reversal(unsigned int *, int , int); void WTS(float *, float *, int, int); void FFT(float *xr, float *xi, float *, float *,int, int); void transpose(FILE *, int, int); void FFT2D(FILE *, FILE *, float *, float *, unsigned int *, int,int,int); 127 Hình 7.1 Tách riêng pha đối với ảnh "IKRAM.IMG". void main() { int N,n2,m,i,j,NT; unsigned int *L; float *wr,*wi ; double nsq,xr,xi,theta; FILE *fptri,*fptro,*fptrt,*fptrr; float *buffi,*buffo, max,min,scale; unsigned char file_name[14], *buff,file_name2[14]; clrscr() ; printf("Enter name of file containing FFT data >"); scanf("%s",file_name); fptri=fopen(file_name,"rb"); if(fptri==NULL) { printf("\nFile does not exist."); exit(1); } fptrt=fopen("temp.img","wb+"); again : gotoxy(1,2); 128 printf(" "); gotoxy(1,2); printf("Enter File for storing display IFFT data- >"); scanf("%s",file_name); if(((stricmp("temp.img",file_name2))==0)|| ((stricmp("temp2.img",file_name2))==0)) printf("This is a reserved file name. Use some other name."); goto again; fptrr=fopen(file_name,"wb"); nsq=(double)filelength(fileno(fptri))/(2*sizeof(floa t)); N=(int)sqrt(nsq); m=(int)(log10((double)N)/log10((double)2)); clrscr( ) ; NT=2*N*sizeof(float); buffi=(float *)malloc(NT*sizeof(float)); buffo=(float *)malloc(NT*sizeof(float)); buff=(char *)malloc(N*sizeof(char)); for(i=0;i<N;i++) { fread(buffi,NT,1,fptri); for(j=0;j<N;j++) { xr=(double)buffi[2*j]; xi=(double)buffi[2*j+1]; theta=atan2(xi,xr); buffo[2*j]=100.0*(float)cos(theta); buffo[2*j+1]=100.0*(float)sin(theta); } fwrite(buffo,NT,1,fptrt); } fclose(fptri); rewind(fptrt); /* Allocating memory for bit reversal LUT.*/ L=(unsigned int *)malloc(N*sizeof(unsigned int)); /* Generate Look-up table for bit reversal.*/ bit_reversal(L,m,N); 129 /* Allocating memory for twiddle factors.*/ n2=(N>>1)-1; wr=(float *)malloc(n2*sizeof(float)); wi=(float *)malloc(n2*sizeof(float)); fptro=fopen("temp2.img","wb+"), WTS(wr,wi,N,1); FFT2D(fptrt,fptro,wr,wi,L,N,m,1); fptro=fopen("temp2.img","rb"); max=0.0; min=1.e10; for(i=0;i<(N-30);i++) { fread(buffi,NT,1,fptro); if(i<11) continue; for(j=0;j<N;j++) Hình 7.2 Tách riêng biên độ của ảnh "IKRAM.IMG". { if(buffi[2*j]>max) max=buffi[2*j]; if(buffi[2*j]<min) min=buffi[2*j]; } } rewind(fptro); scale=255.0/(max-min); for(i=0;i<N;i++) 130 { fread(buffi,NT,1,fptro); for(j=0;j<N;j++) buff[j]=(char)((buffi[2*j]-min)*scale); fwrite(buff,N,1,fptrr); } fcloseall(); remove("temp.jmq"); remove("tempLimg"); } Thử nghiệm 2: 1. Rút ra FFT của một ảnh. 2. Rút ra đặc tính biên độ | | ( ) ( )H x k x k k r i 2 2 3. Chứa trong một file dữ liệu phức (| | . )H i k 00 4. Rút ra biến đổi ngược FFT của file cuối cùng. Chương trình 7.1 có thể dễ dàng thay đổi lại để kết hợp với các bước trên. Kết quả chạy thử nghiệm 2 trên ảnh “IKRAM.IMG” được cho hình 7.2. Có thể thấy rõ ràng từ hai thử nghiệm trên rằng đặc tính pha mang gần hết các thông tin trong ảnh. Điều này đúng với hầu hết các ảnh, bởi vậy khi thực hiện các phép toán như lọc 2-D với mục đích tăng cường ảnh ta nên tránh làm biến dạng pha. Điều này cho thấy sự cần thiết của các toán tử 2-D tuyến tính hoặc có pha zero. 7.3 Định lý lấy mẫu Whittaker-Shannon Chúng ta sẽ bắt đầu bằng xem xét định lý lấy mẫu trong trường hợp 1-D. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp các tín hiệu 2-D. Định lý: Nếu một hàm x(t) không chứa tần số cao hơn W, có thể xác định một cách hoàn toàn bằng một toạ độ mà dãy các điểm chia cách nhau 1/(2W). Chu kỳ lấy mẫu được cho bởi T W 1 2 131 ở đây T tính theo giây và W tính theo herzt. Chứng minh. Xem xét biểu diễn Fourier của một dãy các tín hiệu liên tục x a (t) dejXtx tj aa )( 2 1 )( (7.1a) dtetxjX tj aa )()( (7.1b) Nếu x(n) biểu diễn một dãy được rút ra từ việc lấy mẫu x a (t) tại các khoảng bằng nhau T, chúng ta có thể dùng biểu thức (7.1a) để viết: dejXnTxnx nTj aa )( 2 1 )()( (7.2) Từ biến đổi rời rạc Fourier chúng ta cũng rút ra deeXnx njj )( 2 1 )( (7.3) ở đây X e j ( ) là biến đổi Fourier rời rạc của x(n). Bây giờ cần tính mối quan hệ )( jX a theo X e j ( ) . Để xem xét mối quan hệ giữa các biểu thức (7.2) và (7.3) ta cần xem xét biểu thức (7.2) như một tổng của các tích phân trong các khoảng có độ dài 2 /T. r T r T r nTj a dejXnx )12( )12( )( 2 1 )( (7.4) Mỗi phần trong tổng có thể quy về tích phân trong khoảng từ T đến T bằng cách thay đổi biến để rút ra r T T rnjnTj a dee T r jjXnx 2 ) 2 ( 2 1 )( (7.5) Nếu thay đổi thứ tự của tích phân và tính tổng và chú ý rằng 1 2 rnj e với mọi giá trị nguyên của r và n, thì chúng ta rút ra 132 de T r jjXnx nTj T T r a ) 2 ( 2 1 )( (7.6) Với thay thế , biểu thức (7.6) trở thành de T r j T jX T nx nj r a ) 2 ( 1 2 1 )( (7.7) có cùng dạng với biểu thức (7.3). Vì vậy, chúng ta có thể xác định r a j T r j T jX T eX ) 2 ( 1 )( (7.8) Tương tự, chúng ta có thể biểu diễn biểu thức (7.8) theo biến tần số tương tự như r a Tj T r jjX T eX ) 2 ( 1 )( (7.9) Biểu thức (7.8) và (7.9) cung cấp mối quan hệ giữa biến đổi Fourier thời gian liên tục và biến đổi Fourier của một dãy các mẫu. Cho ví dụ, nếu X j a ( ) được giới thiệu trong hình 7.3a, thì X e j ( ) sẽ được giới thiệu trong hình 7.3b nếu W (/T) (hoặc T (2/2W)), cụ thể, nếu W tính theo hezt )2/1( WT . Vì thế, nếu lấy mẫu tại tốc độ tối thiểu gấp đôi tần số cao nhất trong x j a ( ) , thì X e j ( ) được xác định thành X j a ( ) trong khoảng T T . Tần số lấy mẫu này thường được gọi là tần số Nyquist. Nếu T 1/(2W), thì các bản dịch của X j a ( ) sẽ bị chồng lên nhau như trong hình 7.3c. Vấn đề này gọi là hiện tượng trùm phổ (aliasing). Nếu T 1/(2W) (W tính theo hezt), thì có khả năng khôi phục x a (t) từ x(nT) bởi một phép nội suy xấp xỉ, mà sẽ được chúng ta đề cập đến phần tiếp theo. Từ phép biến đổi Fourier thời gian liên tục: T T tj aa dejXtx )( 2 1 )( (7.10) 133 Hình 7.3 Phổ tần số của trạng thái liên tục và trạng thái đã lấy mẫu của một tín hiệu. Nếu T T - )( 1 )( jX T eX a Tj (7.11) và k kTj a Tj ekTxeX )()( Kết hợp biểu thức (7.10) và (7.11) T T tj a dejX T tx )( 2 )( Vì vậy w -w X a (j ) Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục (a) w T -w w j (b) T T w )( j eX w T -w (c) T T . thông tin trong ảnh. Điều n y đúng với hầu hết các ảnh, bởi v y khi thực hiện các phép toán như lọc 2-D với mục đích tăng cường ảnh ta nên tránh làm biến dạng pha. Điều n y cho th y sự cần thiết. của các toán tử 2-D tuyến tính hoặc có pha zero. 7.3 Định lý l y mẫu Whittaker-Shannon Chúng ta sẽ bắt đầu bằng xem xét định lý l y mẫu trong trường hợp 1-D. Sau đ y chúng ta sẽ nghiên cứu. được mô tả trước đ y. Tuy nhiên phương pháp n y sẽ chỉ có hiệu quả nếu có đủ bộ nhớ hoạt động lưu giữ N N số phức. Bài tập 6.9 1. Phát triển thuật toán và chương trình C cho giải thuật