MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC. Bài 1: Cho hình thang cân ABCD( BC // AD). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Trên AB kéo dài về phía A lấy điểm P bất kì, PN cắt BD tại Q. Chứng minh rằng: MN là phân giác của góc PMQ. Hướng dẫn: Gọi I, K, R thứ tự là giao điểm của PM, MQ với AD; PQ với BC. Ta có: M, N thứ tự là trung điểm của AD, BC => MN ⊥ AD Do đó, để cm: MN là phân giác của góc PMQ, ta chỉ cần chứng minh: ∆IMK cân tại M. Thật vậy: Do BC // AD => ; IN PN AN PN IN AN MR PR BR PR MR BR = = => = Và: ; KN NQ NQ ND NK ND MR QR QR BR MR BR = = ⇒ = Mà: N là trung điểm của AD => AN = ND => AN ND IN NK IN NK BR BR MR MR = ⇒ = ⇒ = ∆IMK có MN vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến => ∆IMK cân tại M => đpcm Bài 2: Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M ở miền trong hình vuông sao cho · · 0 15MDC MCD= = . Lấy điểm N ở miền ngoài hình vuông sao cho tam giác NDC đều. a) Chứng minh: Tứ giác MNCB là hình thoi. b) Chứng minh: Tam giác MAB đều. Hướng dẫn: a) ∆MDC cân tại M( vì · · 0 15MDC MCD= = ) => MD = MC; · 0 150CMD = ∆NDC đều => ND = NC = DC MN là đường trung trực của CD. => MN ⊥CD ∆MDC cân tại M, MN là đường trung trực MN là tia phân giác của góc CMD · · 0 1 75 2 NMC CMD= = Mà: · · · 0 0 0 60 15 75NCM NCD DCM= + = + = ∆MNC cân tại N => MN = NC = CD = BC Mặt khác: MN ⊥CD; BC⊥CD => MN // BC Tứ giác MNCB có: MN // BC; MN = BC; MN = NC MNCB là hình thoi. b) MNCB là hình thoi => MB = BC = AB Chứng minh tương tự ta cũng có: MNDA là hình thoi => MA = AD = AB Vậy: MB = MA = AB => Tam giác AMB đều. Bài 3: Giả sử tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường thẳng CD. Chứng minh rằng nếu AD // BC thì đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD. Hướng dẫn: Gọi M là trung điểm AB; N là trung điểm CD. Kẻ MH ⊥CD; NK ⊥AB. Theo giả thiết: MH = ½.AB Mặt khác: 1 . 2 4 NAM NBA AB NK S S= = ; 1 . . 2 4 8 MCN MDN CMD CD MH AB CD S S S= = = = Mà: AD // BC => BC // AD // MN => S NAM = S BMN và S AMN = S DMN R K I Q P N M D C B A N M D C B A . . 1 4 8 2 AB NK AB CD NK CD= ⇔ = ⇔ đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB tại N. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. D là 1 điểm trên AC( khác A và C). Vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với BC tại E. Từ B kẻ tiếp tuyến thứ 2 BF với (O). Gọi M là trung điểm của BC, BF cắt AM tại N. Chứng minh rằng: AN = NF Hướng dẫn: Gọi I là trung điểm của BD. Vì: · · · 0 90BAD BFD BED= = = 5 điểm: A, B, E, D, F cùng thuộc đường tròn đường kính BD. · · AFN ADB= ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) (1) Mà: · · · ADB ACB DBC= + ( góc ngoài tam giác BDC) Mặt khác: tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến => MA = MB = MC => tam giác AMC cân tại M => · · ACB MAC= · · DBC DBF= ( hai tiếp tuyến tại E, F của (O) cắt nhau tại B) · · AFDBF D= ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung DF) => · · · · · · AF AFN D MAC DBF ACM ADB= + = + = (2) Từ (1) và (2) => · · AF AFN N= => tam giác ANF cân tại N => AN = NF. Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn. BD, CE là các đường phân giác trong của tam giác. Biết · 0 24BDE = ; · 0 18CED = . Hãy tính số đo các góc của tam giác ABC. Hướng dẫn: Lấy M đối xứng với D qua CE; N đối xứng với E qua BD. => M, N thuộc BC Gọi I, O thứ tự là giao điểm của ME và BD; BD và CE. Ta có: · · · ECB DBC BOE+ = ( góc ngoài của tam giác BOC) Mà: góc EOB cũng là góc ngoài của tam giác DOE nên: · · · 0 0 0 24 18 42EOB BDE CED= + = + = Và: BD, CE là các đường phân giác nên: · · µ µ µ µ 2 2 2 B C B C ECB DBC + + = + = Do đó : µ µ 0 0 42 .2 84B C+ = = ⇒ góc A = 180 0 – 84 0 = 72 0 Mặt khác : Do DM ⊥CE => Còn: · · 0 24NDB BDE= = ( Vì E, N đối xứng với nhau qua BD) => · 0 0 2.24 48NDE = = Vậy: · · · 0 0 0 72 48 24MDN MDE NDE= − = − = . K H C B D A N M I N M F E D C B A O I N M D E B C A Ta có: · · 0 24MDN NDB= = => DN là tia phân giác của góc MDB Chứng minh tương tự, ta có: · · · 0 0 30 2. 60MEN MIN MEN= ⇒ = = ( góc ngoài của tam giác cân NIE) Và: · · · 0 60 2 EIN EIB BIN= = = Do đó: IN là tia phân giác của góc BIM hay IN là tia phân giác ngoài của tam giác MDI Như vậy: N là giao điểm của đường phân giác trong DN và đường phân giác ngoài IN của tam giác MDI => N là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác MDI ứng với góc D. => · · · 0 0 0 0 180 180 72 54 2 2 DME CMD EMN − − = = = = Vậy: góc C = 180 0 – 2.góc CMD = 180 0 – 108 0 = 72 0 góc B = 12 0 Bài 6: Cho ngũ giác đều ABCDE có tâm O. Gọi O 1 , O 2 thứ tự là các điểm đối xứng với O qua BC, DE. Chứng minh rằng: O là trọng tâm tam giác AO 1 O 2 Hướng dẫn: Gọi M, N thứ tự là giao điểm của BO 2 với AO 1 ; EO 1 với AO 2 . Để chứng minh O là trọng tâm tam giác AO 1 O 2 . Ta đi chứng minh: M, N thứ tự là trung điểm của AO 1 ; AO 2 Ta có: · · · · · · · · 2 2 5 OO OO 2 2 DOE B BOC COD D BOC COD BOC= + + = + + = => · 0 0 2 5 OO .72 180 2 B = = ( ABCDE là ngũ giác đều) => B, O, O 2 thẳng hàng. Chứng minh tương tự, ta cũng có: E, O, O 1 thẳng hàng. Gọi I là trung điểm của AC => I ∈BO. Do tính chất đối xứng của ngũ giác đều và của O, O 1 qua BC; O, O 2 qua DE mà O 1 C // MI => M là trung điểm của AO 1 Chứng minh tương tự, ta có : N là trung điểm của AO 2 đpcm. Bài 7: Cho tam giác ABC. Các đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C của tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại A 1 , B 1 , C 1 . Chứng minh rằng: Nếu AA 1 = BB 1 = CC 1 thì tam giác ABC đều. Hướng dẫn: Giả sử các đường tròn (O 1 ); (O 2 ); (O 3 ) bàng tiếp trong các góc A, B, C. Các tiếp điểm trên BC thứ tự là M, A 1 , N. Các tiếp điểm trên AB thứ tự là M 1 , C 1 , N 1 . Ta có: 2p = AB + BC + AC = AB + BC + AB 1 + B 1 C ( với p là nửa chu vi của tam giác ABC) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AB 1 = AM 1 ; B 1 C = CM; BM = BM 1 Do đó 2p = AB + AM 1 + BC + CM = BM 1 + BM = 2.BM BM = BM 1 = p. Chứng minh tương tự, ta có: CN = p BM = CN => BN = CM => BC 1 = CB 1 Theo giả thiết: BB 1 = CC 1 nên: ∆BC 1 C = ∆CB 1 B(c.c.c) => góc B = góc C Chứng minh tương tự, ta có: góc A = góc B đpcm. N M O 2 O 1 E D C B A O I N 1 M 1 N M C 1 B 1 A 1 O 3 O 2 O 1 C B A Làm thêm: Bài 8: Cho tam giác ABC đều. Gọi M, N là các điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho tam giác AMN có chu vi bằng nửa chu vi tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của BC. Hãy tính số đo góc MDN. Bài 9: Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh BC = a; AC = b; AB = c. Một đường thẳng d đi qua A và song song với BC; trên d lấy hai điểm D, E đối xứng với nhau qua A. Gọi M, N thứ tự là giao điểm của tia BD với BC; giao điểm của tia CE với AB. Hãy tính theo a, b, c độ dài AD, AE sao cho MN qua tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Bài 10: Cho hình vuông ABCD, I là một điểm bất kì trên cạnh AB( I khác A, B). Tia DI cắt tia CB tại E. Đường thẳng CI cắt AE tại M. Chứng minh rằng: DE ⊥ BM Bài 11: Cho tam giác ABC có góc C < góc B < 90 0 . Đường cao AH, đường trung tuyến AM, đường phân giác trong AD. a) Chứng minh rằng: D nằm giữa hai điểm H, M. b) Biết rằng: 1 7 ; 14 50 ADM ABC AHM ABC S S S S= = . Hãy tính số đo góc BAC. . giác NDC đều. a) Chứng minh: Tứ giác MNCB là hình thoi. b) Chứng minh: Tam giác MAB đều. Hướng dẫn: a) ∆MDC cân tại M( vì · · 0 15MDC MCD= = ) => MD = MC; · 0 150CMD = ∆NDC đều =>. là ngũ giác đều) => B, O, O 2 thẳng hàng. Chứng minh tương tự, ta cũng có: E, O, O 1 thẳng hàng. Gọi I là trung điểm của AC => I ∈BO. Do tính chất đối xứng của ngũ giác đều và của O,. = = Vậy: góc C = 180 0 – 2.góc CMD = 180 0 – 108 0 = 72 0 góc B = 12 0 Bài 6: Cho ngũ giác đều ABCDE có tâm O. Gọi O 1 , O 2 thứ tự là các điểm đối xứng với O qua BC, DE. Chứng minh rằng: