http://ductam_tp.violet.vn/ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn Thi: TOÁN – Khối A ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số 3 2 3 1y x x= − + có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 . Câu II: (2 điểm) 1. Giải phương trình: x x x 8 4 8 2 1 1 log ( 3) log ( 1) 3log (4 ) 2 4 + + − = . 2. Tìm nghiệm trên khoảng 0; 2 π ÷ của phương trình: 2 x 3 x cos x- 4 2 4sin 3sin 2 1 2 2 2 π π π − − − = + ÷ ÷ ÷ Câu III: (1 điểm) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và 4 f x f x x( ) ( ) cos+ − = với mọi x ∈ R. Tính: ( ) I f x dx 2 2 π π − = ∫ . Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy (ABCD). Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD .Tính thể tích khối chóp O.AHK. Câu V: (1 điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4 . Chứng minh rằng: a b c d b c c d d a a b 2 2 2 2 2 1 1 1 1 + + + ≥ + + + + II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 , A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 4 = 0. 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;4;1),B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). Câu VII.a: (1 điểm) Tìm các số thực b, c để phương trình z bz c 2 0+ + = nhận số phức 1z i= + làm một nghiệm. B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) và phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: 4x + y + 14 = 0; 02y5x2 =−+ . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng (d) 6x 3y 2z 0 6x 3y 2z 24 0 − + = + + − = . Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) và cắt các đường thẳng AB, OC. http://ductam_tp.violet.vn/ Câu VII.b: (1 điểm) Giải phương trình sau trong tập số phức: 4 3 2 6 8 16 0z z z z– – –+ = . Hướng dẫn Câu I: 2) Giả sử 3 2 3 2 3 1 3 1A a a a B b b b( ; ), ( ; )− + − + (a ≠ b) Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song suy ra y a y b( ) ( ) ′ ′ = ⇔ a b a b( )( 2) 0− + − = ⇔ a b 2 0 + − = ⇔ b = 2 – a ⇒ a ≠ 1 (vì a ≠ b). AB b a b b a a 2 2 3 2 3 2 2 ( ) ( 3 1 3 1)= − + − + − + − = a a a 6 4 2 4( 1) 24( 1) 40( 1)− − − + − AB = 4 2 ⇔ a a a 6 4 2 4( 1) 24( 1) 40( 1)− − − + − = 32 ⇔ a b a b 3 1 1 3 = ⇒ = − = − ⇒ = ⇒ A(3; 1) và B(–1; –3) Câu II: 1) (1) ⇔ x x x( 3) 1 4+ − = ⇔ x = 3; x = 3 2 3− + 2) (2) ⇔ x xsin 2 sin 3 2 π π − = − ÷ ÷ ⇔ x k k Z a x l l Z b 5 2 ( ) ( ) 18 3 5 2 ( ) ( ) 6 π π π π = + ∈ = + ∈ Vì 0 2 x ; π ∈ ÷ nên x= 5 18 π . Câu III: Đặt x = –t ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx f t dt f t dt f x dx 2 2 2 2 2 2 2 2 π π π π π π π π − − − − = − − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ f x dx f x f x dx xdx 2 2 2 4 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) cos π π π π π π − − − = + − = ∫ ∫ ∫ x x x 4 3 1 1 cos cos2 cos4 8 2 8 = + + ⇒ I 3 16 π = . Câu IV: a V AH AK AO 3 1 2 , . 6 27 = = uuur uuur uuur Câu V: Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: 2 a ab c ab c ab c ab c ab abc a a a a a b c 1+b c b c 2 2 2 (1 ) (1) 2 4 4 4 2 1 + = − ≥ − = − ≥ − = − − + Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1 ( ) 2 bc d b bc d bc d bc d bc bcd b b b b b c d 1+c d c d 2 2 2 1 (2) 2 4 4 4 2 1 + = − ≥ − = − ≥ − = − − + ( ) 2 cd a c cd a cd a cd a cd cda c c c c c d a 1+d a d a 2 2 2 1 (3) 2 4 4 4 2 1 + = − ≥ − = − ≥ − = − − + ( ) 2 da b d da b da b da b da dab d d d d d a b 1+a b a b 2 2 2 1 (4) 2 4 4 4 2 1 + = − ≥ − = − ≥ − = − − + Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab b c c d d a a b 2 2 2 2 4 4 4 1 1 1 1 + + + + + + + + + ≥ − − + + + + Mặt khác: http://ductam_tp.violet.vn/ • ( ) ( ) a c b d ab bc cd da a c b d 2 4 2 + + + + + + = + + ≤ = ÷ . Dấu "=" xảy ra ⇔ a+c = b+d • ( ) ( ) ( ) ( ) a b c d abc bcd cda dab ab c d cd b a c d b a 2 2 2 2 + + + + + = + + + ≤ + + + ÷ ÷ ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) a b c d abc bcd cda dab a b c d a b c d 4 4 + + + + + ≤ + + + = + + ÷ a b c d abc bcd cda dab 2 4 2 + + + ⇔ + + + ≤ = ÷ . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = d = 1. Vậy ta có: a b c d b c c d d a a b 2 2 2 2 4 4 4 4 4 1 1 1 1 + + + ≥ − − + + + + a b c d b c c d d a a b 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ⇔ + + + ≥ + + + + ⇒ đpcm. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1. Câu VI.a: 1) Ptts của d: x t y t4 3 = = − + . Giả sử C(t; –4 + 3t) ∈ d. ( ) S AB AC A AB AC AB AC 2 2 2 1 1 . .sin . . 2 2 = = − uuur uuur = 3 2 ⇔ t t 2 4 4 1 3+ + = ⇔ t t 2 1 = − = ⇒ C(–2; –10) hoặc C(1;–1). 2) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ⇒ (Q) có VTPT ( ) p n n AB, 0; 8; 12 0 = = − − ≠ uur uuur r r ⇒ Q y z( ):2 3 11 0+ − = Câu VII.a: Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z 2 + bx + c = 0 nên: b c b i b i c b c b i b c 2 0 2 (1 ) (1 ) 0 (2 ) 0 2 0 2 + = = − + + + + = ⇔ + + + = ⇔ ⇔ + = = Câu VI.b: 1) A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) 2) Phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và song song d: (α): 6x + 3y + 2z – 12 = 0 Phương trình mặt phẳng (β) chứa OC và song song d: (β): 3x – 3y + z = 0 ∆ là giao tuyến của (α) và (β) ⇒ ∆: 6x 3y 2z 12 0 3x 3y z 0 + + − = − + = Câu VII.b: 4 3 2 6 8 16 0z z z z– – –+ = ⇔ 2 1 2 8 0z z z( )( )( )+ − + = ⇔ 1 2 2 2 2 2 z z z i z i = − = = = − . SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn Thi: TOÁN – Khối A ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số 3 2 3 1y. điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). Câu VII.a: (1 điểm) Tìm các số thực b, c để phương trình z bz c 2 0+ + = nhận số phức 1z i= + làm một nghiệm. B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b:. ÷ ÷ ⇔ x k k Z a x l l Z b 5 2 ( ) ( ) 18 3 5 2 ( ) ( ) 6 π π π π = + ∈ = + ∈ Vì 0 2 x ; π ∈ ÷ nên x= 5 18 π . Câu III: Đặt x = –t ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f