On thi vao THPT

Phan huy Thông Phơng trình bậc hai một ẩn Nhắc lại về biến đổi đồng nhất. I.Phép nhân các đa thức: Với A, B, C, D, E là các đơn thức thì: A(B + C) = (B + C)A = AB + AC (A + B)(C + D - E) = AC + AD AE + BC + BD BE. II.Những hằng đẳng thức đáng nhớ: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + b 2 (A - B) 2 = A 2 - 2AB + b 2 A 2 b 2 = (a + b)(a b). (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3ab 2 + B 3 (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3ab 2 - B 3 A 3 b 3 = (a b)( A 2 + AB + b 2 ) = (A - B) 3 + 3ab(a b) A 3 + b 3 = (a + b)( A 2 - AB + b 2 ) = (A + B) 3 - 3ab(a + b) (A + B+c) 2 = A 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca L u ý: - Khi giải các bài toán vận dụng hằng đẳng thức, chúng ta phải vận dụng các hằng đẳng thức theo cả hai chiều khai triển và thu gọn một cách linh hoạt. - Hai đa thức bằng nhau với mọi giá trị của biểu thức khi tất cả các hệ số của chúng đều tơng ứng bằng nhau - Một đa thức bằng đa thức không khi tất cả các hệ số của nó đều bằng không. III. Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 1. PP đặt nhân tử chung. 2. PP dùng hằng đẳng thức. 3. PP nhóm nhiều hạng tử. 4. PP tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. 5. PP thêm bớt cùng một hạng tử. 6. PP xét giá trị riêng. ( Nếu đa thức A(x) có nghiệm x = a thì tồn tại đa thức B(x) sao cho A(x) = (x- a).B(x) ) Chú ý: Khi sử dụng một trong các PP 3, 4 , 5 : sau khi nhóm, tách, thêm bớt hạng tử thì quá trình phân tích phải tiếp tục đợc ( Sử dụng PP 1 hoặc 2 ). IV. Phân thức đại số. http://violet.vn/nguyenthanh1981 -1- Phan huy Thông Phơng trình bậc hai một ẩn 1. Hai phân thức bằng nhau: A C AD BC B D = = 2. Nếu đa thức M khác đa thức không thì: : ; : AM A A M A BM B B M B = = 3. Các phép tính: a) Phép cộng: A B A B M M M + + = ( M 0). Nếu hai phân thức khác mẫu thì cần quy đồng mẫu thức rồi thực hành cộng nh trên. Các bớc quy đồng mẫu thức: (Biến đổi các phân thức thành các phân thức mới có cùng mẫu) B ớc 1: Tìm mẫu thức chung (MTC) : - MTC phải chia hết cho tất cả các mẫu cần quy đồng. - Nếu các mẫu cần quy đồng không có nhân tử chung thì lấy MTC là tích của tất cả các mẫu đó. B ớc 2: Tìm nhân tử phụ (NTP): NTP = MTC chia cho mẫu tơng ứng B ớc 3: Lấy cả tử và mẫu của từng phân thức nhân với NTP tơng ứng, ta đợc các phân thức có cùng mẫu thức. b) Phép trừ: ( ) A C A C B D B D = + c) Phép nhân: . . . A C A C B D B D = d) Phép chia: : . A C A D AD B D B C BC = = Một số l u ý: - Trớc khi quy đồng mẫu thức hay thực hiện các phép tính, nếu có thể thì nên rút gọn phân thức trớc. Kết quả sau khi biến đổi các biểu thức hữu tỷ cũng cần đợc rút gọn. - Các phép tính với đa thức cũng có đầy đủ các tính chất của các số thực ( giao hoán, kết hợp, phân phối). - Khi giải các bài toán liên quan tới giá trị của phân thức cần chú ý tìm ĐKXĐ của phân thức. http://violet.vn/nguyenthanh1981 -2- Phan huy Thông Phơng trình bậc hai một ẩn CC BI TON V PHNG TRèNH BC HAI. 1. Dng ca phng trỡnh: ax 2 + bx + c = 0 (a 0). 2. Gii v bin lun: = b 2 4ac ( Hoc = b 2 ac, vi b = b/2) +) Nu > 0 ( Hoc > 0): Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit: 1,2 2 b x a = (Hoc 1,2 ' 'b x a = ) +) Nu = 0 ( Hoc = 0): Phng trỡnh cú nghim kộp: 1 2 b x x a = = ( Hoc 1 2 'b x x a = = ) +) Nu < 0 ( Hoc < 0): Phng trỡnh vụ nghim. 3. H thỳc Vi-ột: Nu phng trỡnh bc hai: ax 2 + bx + c = 0 cú hai nghim x 1 , x 2 thỡ: 1 2 1 2 . b x x a c x x a + = = Các dạng toán. Dạng 1: Xác định số nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0. 1. Phơng pháp giải: Xác định các hệ số a, b, c của phơng trình: - Nếu a = 0: Phơng trình trở thành PT bậc nhất một ẩn: bx + c =0. - Nếu a 0: Tính biệt thức = b 2 4ac ( hoặc = b 2 ac, với b = 2 b ) Nếu < 0 ( Hoặc < 0): Phơng trình vô nghiệm. Nếu = 0 ( Hoặc = 0 ): Phơng trình có nghiệm kép. Nếu > 0 ( Hoặc > 0 ): Phơng trình có hai nghiệm phân biệt. L u ý: - Không cần tính ra nghiệm. - Nếu ac<0 thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt . http://violet.vn/nguyenthanh1981 -3- Phan huy Thông Phơng trình bậc hai một ẩn 2. Các bài tập vận dụng: Bài 1.1: Xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức và cho biết số nghiệm của các phơng trình bậc hai sau: 1) 3x 2 7x + 3 = 0 2) -2x 2 - 8x -7 =0 3) 2 ( 3 1) 5 3 1 0x x + + = 4) 2x 2 + 5x + 25 8 = 0 5) 2 3 9 0 2 16 x x + = 6) 2 2 6 2 9 0x x + = Bài 1.2: Không cần tính biệt số , chứng tỏ rằng các phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt: a) 2 2 9 3 7 0x x = b) 2 2 (2 3) 4 3 4 0x x m m + = ( m là tham số) Bài 1.3: H y xác định tham số k để phã ơng trình vô nghiệm? a) 2 3 2 0x x k+ = c) 2 3 2 0x kx+ + = b) 2 2 2 0x kx k + = d) 2 2 4 3 4 2 0 3 x kx k k+ + + = Bài 1.4: H y xác định tham số k để phã ơng trình sau có: hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép: a) 2 20 4 3 1 0x x k + = b) 2 ( 1) 2 2 0k x kx k + = c) 2 2 3 4 0x kx k = Bài 1.5: Cho các hệ số a, b, c thoả m n điều kiện a > c > 0, b > a + c. ã Chứng minh rằng phơng trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt. Bài 1.6: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, chứng minh phơng trình 2 2 2 2 2 2 ( ) 0c x a b c x b+ + = ( x là ẩn số) vô nghiệm. ( HDẫn: Sử dụng BĐT tam giác) Dạng 2: Giải phơng trình bậc hai . 1. Phơng pháp giải: - Đa phơng trình cần giải về dạng: ax 2 + bx + c = 0. - Xác định các hệ số a, b, c của phơng trình. - Tính hoặc . - á p dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn của phơng trình bậc hai để kết luận nghiệm ( Chú ý rút gọn các nghiệm nếu có thể) 2. Các bài tập vận dụng: Bài 2.1: Giải các phơng trình sau: a) 3x 2 -5x-8=0 b) 5x 2 - 3x + 15 = 0 c) x 2 4x + 1 = 0 d) 3x 2 + 7x + 2 = 0 http://violet.vn/nguyenthanh1981 -4- Phan huy Thông Phơng trình bậc hai một ẩn Bài 2.2: Giải các phơng trình sau: a) 2 10 5 5 0 7 49 x x + = b) 2 4 1 0 3 5 12 x x + = c) 2 3 9 0 2 16 x x + = Bài 2.3: Giải các phơng trình sau: a) 2 (5 2) 10 5 2 0x x + + = b) 2 ( 5 2) ( 5 1) 3 5 0x x = c * ) 2 2 0x x + = d * ) 2 (1 2) 2(1 2) 1 3 2 0x x + + + = e) 2 ( 2 1) 2 0x x+ = f) 2 2 (2 6 3) 3 6 0x x + + = Dạng 3: Giải và biện luận phơng trình dạng ax 2 + bx + c = 0 . 1. Phơng pháp giải: * Với a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bậc nhất bx + c = 0. - Nếu b 0 thì phơng trình có một nghiệm duy nhất: c x b = - Nếu b = 0 và c 0 thì phơng trình có vô nghiệm. - Nếu b = 0 và c = 0 thì phơng trình có vô số nghiệm. * Với a 0 : Phơng trình trở thừnh phơng trình bậc hai . Ta có: = b 2 - 4ac ( hay = b 2 ac ) - Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm. - Nếu = 0 thì phơng trình có một nghiệm kép: x 1 = x 2 = - 2 b a ( = - 'b a ) - Nếu > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 ; 2 2 b b x x a a + = = 1,2 ' ( ) b x a = * Kết luận cho tất cả các trờng hợp đã biện luận. 2. Các bài tập vận dụng: Bài 3.1: Giải và biện luận các phơng trình: ( x là ẩn) a) (m 2)x 2 2(m + 1)x + m = 0. b) x 2 + (1 m)x m = 0. c) (m 3)x 2 - 2mx +m 6 = 0. d) (m 3 )x 2 2(3m + 1)x + 9m 2 = 0 e) (3 k)x 2 + 2(k 2)x k + 2 = 0. http://violet.vn/nguyenthanh1981 -5- Phan huy Thông Phơng trình bậc hai một ẩn f) (4 + 3m)x 2 + 2(m + 1)x + ( 1 3 m 2) = 0. g) ( m 1)x 2 2(m + 1)x + m 3 = 0 h) 2x 2 2(2m + 1) x + 2m 2 + m 2 = 0. Bài 3.2: Giải và biện luận phơng trình ( ẩn x) : 3 2 2 2 (3 2 ) 2 1 0x m x mx m + + + = ( HDẫn: Coi m là ẩn, x là tham số ) Dạng 4: Hệ phơng trình chứa hai ẩn x và y gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai. 1. Phơng pháp giải: - Từ phơng trình bậc nhất của hệ, tìm y theo x ( hoặc x theo y ). - Thay biểu thức y theo x tìm đợc ở trên vào phơng trình bậc hai của hệ ta đợc phơng trình bậc hai đối với . - Giải phơng trình tìm x, sau đó thay vào biểu thức của y để tìm y. 2. Các bài tập vận dụng: Bài 4.1: Giải hệ phơng trình: 2 2 5 0 4 x y y x x + = + = Bài 4.2: Cho hệ phơng trình: 2 2 6x y y x a + = + = Xác định a để: a) Hệ vô nghiệm. b) Hệ có nghiệm duy nhất. c) Hệ có hai nghiệm phân biệt. Bài 4.3: Giải các hệ phơng trình: 3 4 1 0 ) 3( ) 9 x y a xy x y + = = + 2 3 2 ) 6 0 x y b xy x y + = + + + = Bài 4.4: Giải và biện luận hệ phơng trình: 2 2 2 2 x y m x y x + = + = Dạng 5: Định tham số để hai phơng trình có nghiệm chung. 1. Phơng pháp giải: - Giả sử x 0 là nghiệm chung của hai phơng trình. Thay x = x 0 vào hai phơng trình ta đợc hệ ph- ơng trình với ẩn là các tham số. - Giải hệ để tìm tham số. http://violet.vn/nguyenthanh1981 -6- Phan huy Thông Phơng trình bậc hai một ẩn -Thử lại với tham số vừa tìm, hai phơng trình có nghiệm chung hay không. 2. Các bài tập vận dụng: Bài 5.1: Cho hai phơng trình : x 2 + x + a = 0 và x 2 + ax + 1 = 0 a) Định a để hai phơng trình trên có nghiệm chung. b) Định a để hai phơng trình tơng đơng. Bài 5.2: Chứng minh rằng nếu hai phơng trình : x 2 + ax + b = 0 và x 2 + cx + d = 0, có nghiệm chung thì: (b d) 2 + (a c)(ad bc) = 0. Bài 5.3: Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: x 2 + mx + 2 = 0 và x 2 + 2x + m = 0 ? Bài 5.4: Xác định m, n để hai phơng trình sau tơng đơng: x 2 (2m + n)x 3m = 0 và x 2 (m + 3n)x 6 = 0 HDẫn: Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình (1); x 3 , x 4 là nghiệm của phơng trình (2). Để hai Phơng trìh tơng đ- ơng thì x 1 = x 3 và x 2 = x 4 hoặc ngợc lại. Nên S 1 = S 2 và P 1 = P 2 . Bài 5.5: Tìm các giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x 2 + (m 8)x + m + 3 = 0 (1) x 2 + (m 2)x + m - 9 = 0 (2) Bài 5.6: Tìm các giá trị của a để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung: a) x 2 + x + a = 0 x 2 + ax + 1 = 0 b) x 2 + ax + 2 = 0 x 2 + 2x + a = 0 c) x 2 + ax + 8 = 0 x 2 + x + a = 0 Bài 5.6: Tìm các giá trị của a để phơng trình sau có bốn nghiệm phân biệt : (x 2 + x + a)( x 2 + ax + 1) = 0. Dạng 6: Phơng trình có hai ẩn số. 1.Phơng pháp giải: Trong một phơng trình có hai ẩn số, ta xem một ẩn là tham số rồi giải phơng trình ấy theo ẩn còn lại. PP này gọi là phơng pháp đặt tham số mới. 2. Các bài tập vận dụng: Bài 6.1: Chứng minh rằng chỉ có một cặp số duy nhất (x, y) thoả m n phã ơng trình: x 2 - 4x + y - 6 y + 13 = 0 Bài 6.2: Giải hệ phơng trình: 3 2 2 2 2 0 x y x xy y y + = + + = Bài 6.3: Giải phơng trình: 4 2 2 2 4 11 4 8 8 40 52 0y y x y xy y x x+ + + + = http://violet.vn/nguyenthanh1981 -7- Phan huy Thông Phơng trình bậc hai một ẩn Bài 6.4: Giải hệ phơng trình: 2 2 2 2 10 5 2 38 6 41 0 3 2 5 17 6 20 0 x y xy x y x y xy x y + + = + + = Bài 6.5: Giải hệ phơng trình: 4 2 2 2 698 81 3 3 4 0 x y x y xy x y + = + + + = Dạng 7: Không giải phơng trình, tính tổng và tích các nghiệm số. 1.Phơng pháp giải: - Tính và chứng tỏ 0 để phơng trình có nghiệm. - á p dụng định lý Vi-ét : 1 2 b S x x a = + = ; 1 2 . c P x x a = = 2. Các bài tập vận dụng: Bài 7.1: Không giải phơng trình, tính tổng và tích các nghiệm của các phơng trình sau: a) 2 2 3 7 0x x+ = b) 2 3 6 8 0x x + = c) 2 3 1 0x x + = d) 2 7 2 7 9 0x x + = Dạng 8: Giải phơng trình bằng cách nhẩm nghiệm. 1.Phơng pháp giải: - á p dụng địnhlý Vi-ét : x 1 + x 2 = - b a ; x 1 .x 2 = c a - Nhẩm : x 1 + x 2 = m + n ; x 1 .x 2 = m.n thì phơng trình có nghiệm là x 1 = m ; x 2 = n. - Nếu a + b + c = 0 thì: x 1 = 1 ; x 2 = c a - Nếu a - b + c = 0 thì: x 1 = -1 ; x 2 = - c a 2. Các bài tập vận dụng: Bài 8.1: Dùng định lý Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phơng trình sau: a) 2 10 16 0x x + = b) 2 15 50 0x x + = c) (m + 1)x 2 + 3mx + 2m 1 = 0 ( m -1) d) (2m 1)x 2 mx m 1 = 0 ( m 1 2 ) Bài 8.2: Phơng trình 3x 2 + 7x + m = 0 có một trong các nghiệm bằng 1. Xác định số m và nghiệm còn lại ? Bài 8.3: a) Phơng trình 0,1x 2 - x + k = 0 có một trong các nghiệm bằng -1. Xác định số k và nghiệm còn lại ? b) Phơng trình 15x 2 + bx - 1 = 0 có một trong các nghiệm bằng 1 3 . Xác định số b và nghiệm còn lại ? http://violet.vn/nguyenthanh1981 -8- Phan huy Thông Phơng trình bậc hai một ẩn Dạng 9: Phân tích ax 2 + bx + c thành nhân tử. Phơng pháp giải: Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thì ax 2 + bx + c = a( x x 1 )(x x 2 ) Dạng 10: Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó. 1.Phơng pháp giải: - Tính tổng hai nghiêm : 1 2 S x x= + và tích hai nghiệm : 1 2 .P x x= - Phơng trình nhận x 1 , x 2 làm nghiệm là: X 2 SX + P = 0. 2. Các bài tập vận dụng: Bài 10.1: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là các cặp số sau: a) 7 và 3 b) 1 2+ và 1 2 Bài 10.2: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là : 1 10 72 và 1 10 6 2+ Bài 10.3: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là : a) 4 15+ và 4 15 b) 9 2 5 và 9 2 5+ c) 2 5 4 3+ và 2 5 4 3 d) 5 3 5 3 + và 5 3 5 3 + Bài 10.4: Gọi m, n là các nghiệm của phơng trình : 2 (1 2) 2 0x x + + = (m<n). Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là: 1 2m + và 1 1 n . Bài 10.5: Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là : 5 3 5 3 + Bài 10.6: Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là : 5 3 5 3 + Dạng 11: Dấu nghiệm số của phơng trình bậc hai. 1.Phơng pháp giải: Cho phơng trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 (a 0 ) : * Phơng trình có hai nghiệm trái dấu P < 0. * Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu 0 0P > http://violet.vn/nguyenthanh1981 -9- Phan huy Thông Phơng trình bậc hai một ẩn * Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt 0 0 0 S P > > > * Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt 0 0 0 S P > < > 2. Các bài tập vận dụng: Bài 11.1: Cho phơng trình : x 2 2(m 1)x + m + 1 = 0 (1) Định m để phơng trình: a) Có hai nghiệm trái dấu. b) Có hao nghiệm dơng phân biệt. c) Có đúng một nghiệm dơng. Bài 11.2: Cho phơng trình : (m 4)x 2 - 2(m 2)x + m 1 = 0. Định m để phơng trình : a) Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng? b) Có hai nghiệm cùng dấu? Bài 11.3: Cho phơng trình : x 2 + 2(m 2)x 2m + 1 = 0. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng ? hai nghiệm trái dấu ? Bài 11.4: Cho phơng trình x 2 mx + m 2 3 = 0. a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt ? b) Tìm m để phơng trình chỉ có một nghiệm dơng ? Bài 11.5: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có hai nghiệm cùng dấu ? Khi đó hai nghiệm mang dấu gì? a) x 2 2mx + (5m 4) = 0 b)mx 2 + mx + 3 = 0. Bài 11.6: Cho phơng trình : mx 2 2(m + 1)x + m + 2 = 0 a) Định m để phơng trình có nghiệm b) Định m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu. Dạng 12: Xác định tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm thoả điều kiện cho trớc. 1.Phơng pháp giải: * Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm : 0 * Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét giải hệ đối với nghiệm x 1 , x 2 rồi thay vào phơng trình thứ ba của hệ để tìm tham số. * Kiểm tra lại m có thoả mãn điều kiện có nghiệm không rồi kết luận. 2. Các bài tập vận dụng: Bài 12.1: Xác định m để phơng trình x 2 + 2x + m = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả m n: 3xã 1 + 2x 2 = 1? http://violet.vn/nguyenthanh1981 -10- [...]... Bài 12.3: Xác định k để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2: a) x2 + 6x + k = 0 b) x2 + kx + 8 = 0 Bài 12.4: Xác định k để phơng trình x2 + 2x + k = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) x12 - x22 = 12 ; b) x12 + x22 = 1 Bài 12.5: Cho phơng trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 3m 1 = 0 a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 =... trình cho x2, ta đợc: a ( x + * Đặt x + 1 1 1 = t ( x + ) 2 = t 2 x 2 + 2 = t 2 2 Phơng trình trở thành: x x x at 2 + bt + c 2a = 0 - 1 1 ) + b( x + ) + c = 0 2 x x (2) Giải phơng trình tìm t, thay vao phơng trình x + Dạng 7: Phơng trình dạng ax 4 + bx 3 + cx 2 bx + a = 0 1 = t để tìm x x (1)( PT bậc 4 có hệ số đối xứng lệch) 1.Phơng pháp giải: http://violet.vn/nguyenthanh1981 -17- . Phơng trình 3x 2 + 7x + m = 0 có một trong các nghiệm bằng 1. Xác định số m và nghiệm còn lại ? Bài 8.3: a) Phơng trình 0,1x 2 - x + k = 0 có một trong các nghiệm bằng -1. Xác định số k và. thức. http://violet.vn/nguyenthanh1981 -2- Phan huy Thông Phơng trình bậc hai một ẩn CC BI TON V PHNG TRèNH BC HAI. 1. Dng ca phng trỡnh: ax 2 + bx + c = 0 (a 0). 2. Gii v bin lun: = b 2 . biệt : (x 2 + x + a)( x 2 + ax + 1) = 0. Dạng 6: Phơng trình có hai ẩn số. 1.Phơng pháp giải: Trong một phơng trình có hai ẩn số, ta xem một ẩn là tham số rồi giải phơng trình ấy theo ẩn còn