http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 31 ( ) () ∫∫∫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ +=== F c x c xy x x F dF bGJ SQ y EJ M dzudFdzdFudzdU 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . (a) với: x F JdFy = ∫ 2 và nếu ta ký hiệu: () () η = ∫ F c c x x dF b S J F 2 2 2 (b) ta được: dz GF Q dz EJ M dU y x x 22 2 2 η += (c) Do đó, thế năng biến dạng đàn hồi trong cả thanh với chiều dài L là: ∫∫ += L o L o y x x dz GF Q dz EJ M U 22 2 2 η (7.37) Với thanh có độ cứng thay đổi từng đoạn hay luật biến thiên của M x và Q y thay đổi từng đoạn thanh, công thức trên có thể rút gọn lại: ∑∑ ∫∫ == += n i n i L y L x x ii dz GF Q dz EJ M U 11 0 2 0 2 22 η (7.38) trong đó: L i - chiều dài mỗi đoạn thanh, n - số đoạn thanh η − hệ số điều chỉnh sự phân bố không đều của ứng suất tiếp. Bằng cách áp dụng công thức tính η ta có thể tính được hệ số này đối với một số tiết diện thông thường - Mặt cắt ngang hình chữ nhật: η = 1,2 - Mặt cắt ngang hình tròn: 9 / 10=η - Mặt cắt ngang chữ Ι: lòng F F / = η trong đó: F - là diện tích toàn bộ mặt cắt. F lòng là diện tích phần lòng (phần bản bụng) của chữ Ι. 7.7 DẦM CHỐNG UỐN ĐỀU Trong trường hợp dầm có mặt cắt ngang không đổi, ta đã chọn kích thước của theo mặt cắt có mô men uốn lớn nhất. Cách sử dụng vật liệu như vậy chưa hợp lý vì khi ứng suất tại những điểm nguy hiểm trên mặt cắt có mô men uốn P A P/2 P/2 z l/2 l/2 Pl/4 H. 7.29 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 32 lớn nhất đạt đến trò số ứng suất cho phép thì ứng suất tại những điểm nguy hiểm trên các mặt cắt khác còn nhỏ hơn rất nhiều so với ứng suất cho phép. Như vậy ta chưa sử dụng hết khả năng chòu lực của vật liệu ở các mặt cắt khác. Để tiết kiệm được vật liệu ta phải tìm hình dáng hợp lý của dầm sao cho ứng suất tại những điểm nguy hiểm trên mọi mặt cắt ngang đều cùng đạt đến giá trò ứng suất cho phép. Dầm có hình dáng như vậy gọi là dầm chống uốn đều. Ta xét vài thí dụ cụ thể sau đây. Giả sử, ta có dầm chòu lực như trên hình vẽ (H.7.29), mô men uốn M x và lực cắt Q y trên mặt cắt 1-1 nào đó cách gối tựa A bên trái một khoảng cách có trò số là: 2 2 x y p M z p Q = = Giả thiết mặt cắt ngang có hình dáng là một hình tròn. Như vậy trò số ứng suất pháp lớn nhất trên mặt cắt được tính với công thức: max 3 . 0,1 x x M P z Wd σ == Với điều kiện ứng suất cực đại trên mọi mặt cắt cùng đạt tới trò số ứng suất cho phép [σ], ta tìm được luật biến thiên của đường kính d theo biến số z như sau: [] 3 . 0,1 p z d σ = (a) Như vậy hình dáng của thanh phải có dạng đường nét đứt như trên hình vẽ (H. 7.30). Ta thấy tại hai đầu mút, mặt cắt có diện tích bằng không, điều đó hoàn toàn phù hợp với điều kiện biến thiên của mô men uốn, vì tại đó mô men uốn bằng không. Song, như vậy không thoả mản điều kiện bền của lực cắt Q y . Quả vậy, trên mọi mặt cắt của dầm ta đều có một trò số lực cắt 2 y P Q = và lực cắt đó sinh ra ứng suất tiếp lớn nhất max 4 3 y Q F τ = . Vì thế diện tích của mặt cắt cần phải đủ để chòu cắt. Do đó phải chọn đường kính với điều kiện: H. 7.30 d 1 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 33 [] max 4 3 y Q F τ τ =≤ ⇔ đường kính có trò số bé nhất cũng phải là: [] 2 1 4 3. y Q dd τ π == (b) Vì điều kiện chế tạo, rất khó gia công để thanh có thể có hình dáng đường cong được biểu diễn theo biểu thức (a), nên trong thực tế người ta thường làm các trục hình bậc, nghóa là đường kính của các mặt cắt thay đổi từng đoạn một, gần sát với đường chống uốn đều (H. 7.31). Các lò xo có sơ đồ chòu lực như (H.7.31), thường được ghép bởi các lá thép như (H.7.32). Các lá thép được ghép theo hình dáng của dầm chống uốn đều, hình dáng đó làm lò xo có trọng lượng nhỏ và chuyển vò lớn. Loại lò xo này thường dùng làm díp của các trục bánh xe. Đối với dầm có sơ đồ chòu lực như (H.7.33), nếu chiều cao của dầm không đổi thì dầm chống uốn đều có hình dáng như trên (H. 7.34). Mặt cắt ở đầu tự do có diện tích khác không vì dầm còn chòu lực cắt. Diện tích đó được xác đònh tuỳ theo trò số của lực cắt. H. 7.33 H. 7. 3 4 H. 7. 3 1 H. 7. 3 2 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 34 BÀI TẬP CHƯƠNG 7 7.1 Xác đònh chiều dài nhòp lớn nhất cho dầm tựa đơn có mặt cắt ngang hình chữ nhật (140 mm × 240 mm) chòu tác dụng của tải phân bố đều cường độ q = 6,5 kN/m nếu ứng suất cho phép là 8,2 MPa (trọng lượng của dầm đã kể trong q. Trả lời: 3,68 m 7.2 Một dầm thép mặt cắt ngang hình chữ I tựa đơn và có hai đầu mút thừa như trên H.7.2. Dầm chòu tác dụng của lực phân bố đều cường độ q = 10 kN/m ở mỗi đầu mút thừa. Giả sử mặt cắt ngang chữ Ι có số hiệu 16 có mômen chống uốn (hay suất tiết diện) là 109 cm 3 . Xác đònh ứng suất pháp cực đại trong dầm do uốn, σ max do q. q = 10 kN/m q = 10 kN/m 2 m 4 m 2 m H 7.2 7.3 Một dầm bằng gỗ ABC có mặt cắt ngang hình vuông cạnh b, tựa đơn tại A và B chòu tải trọng phân bố đều q = 1,5 kN/m trên phần mút thừa BC (H.7.3). Tính cạnh của hình vuông b, giả sử chiều dài nhòp L = 2,5 m và ứng suất cho phép [σ] = 12 MPa. Hãy kể đến trọng lượng riêng của dầm biết rằng trọng lượng riêng của gỗ là γ = 5,5 kN/m 3 . q = 1,5 kN/m L = 2,5 m L = 2,5 m A B C b b H. 7.3 7.4 Một máng nước có mặt cắt ngang như H.7.4. Máng đặt lên hai cột cách nhau 6 m. Vật liệu làm máng có trọng lượng riêng γ = 18 kN/m 3 . Hỏi khi chứa đầy nước thì ứng suất pháp và ứng suất tiếp cực đại là bao nhiêu? 16 12 4 4 4 H. 7.4 http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 1 Chương 8 CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN 8.1 KHÁI NIỆM CHUNG Khi tính một dầm chòu uốn ngang phẳng, ngoài điều kiện bền còn phải chú ý đến điều kiện cứng. Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng của dầm. Dưới tác dụng của các ngoại lực, trục dầm bò uốn cong, trục cong này được gọi là đường đàn hồi của dầm (H.8.1). Xét một điểm K nào đó trên trục dầm trước khi biến dạng. Sau khi biến dạng, điểm K sẽ di chuyển đến vò trí mới K’. Khoảng cách KK’ được gọi là chuyển vò thẳng của điểm K. Chuyển vò này có thể phân làm hai thành phần: Thành phần v vuông góc với trục dầm (song song với trục y) gọi là chuyển vò đứng hay độ võng của điểm K. Thành phần u song song với trục dầm (song song với trục z) gọi là chuyển vò ngang của điểm K. Ngoài ra , sau khi trục dầm biến dạng, mặt cắt ngang ở K bò xoay đi một góc ϕ , ta gọi góc xoay này là chuyển vò góc (hay là góc xoay ) của mặt cắt ngang ở điểm K. Có thể thấy rằng, góc xoay ϕ chính bằng góc giữa trục chưa biến dạng của dầm và tiếp tuyến ở điểm K của đường đàn hồi (H.8.1). K K’ z y ϕ ϕ Đường đàn hồi P P u H .7.1 v ≡ y(z) K K ’ z y ϕ ϕ Đường đàn hồi P P z H.7.2 http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 2 Ba đại lượng u, v, ϕ là ba thành phần chuyển vò của mặt cắt ngang ở điểm K. Trong điều kiện biến dạng của dầm là bé thì thành phần chuyển vò ngang u là một đại lượng vô cùng bé bậc hai so với v, do đó có thể bỏ qua chuyển vò u và xem KK’ là bằng v, nghóa là vò trí K’ sau khi biến dạng nằm trên đường vuông góc với trục dầm trước biến dạng (H.8.2). Góc xoay ϕ có thể lấy gần đúng: dz dv tg =ϕ≈ϕ . Nếu chọn trục dầm là z, trục y vuông góc với trục dầm, thì chuyển vò v chính là tung độ y của điểm K’. Tung độ y cũng chính là độ võng của điểm K. Ta thấy rõ nếu K có hoành độ z so với gốc nào đó thì các chuyển vò y, ϕ cũng là những hàm số của z và phương trình đàn hồi là: y(z) = v(z) Phương trình của góc xoay sẽ là: () () zy dz dy dz dv z '===ϕ hay, phương trình của góc xoay là đạo hàm của phương trình đường đàn hồi. Quy ước dương của chuyển vò: - Độ võng y dương nếu hướng xuống. - Góc xoay ϕ dương nếu mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ. Điều kiện cứng: Trong kỹ thuật, khi tính toán dầm chòu uốn, người ta thường khống chế độ võng lớn nhất của dầm không được vượt qua một giới hạn nhất đònh để đảm bảo yêu cầu về sự làm việc, mỹ quan của công trình , điều kiện này được gọi là điều kiện cứng. Nếu gọi f là độ võng lớn nhất của dầm thì điều kiện cứng thường chọn là: 1000 1 300 1 ÷= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ L f trong đó: L - là chiều dài nhòp dầm. Tùy loại công trình mà người ta quy đònh cụ thể trò số của [] Lf . http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 3 8.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI Xét 1 điểm bất kỳ K trên trục dầm. Trong chương 7 (công thức 7.1) ta đã lập được mối liên hệ giữa độ cong của trục dầm tại K sau biến dạng với mômen uốn nội lực M x tại K là: x x EJ M = ρ 1 (a) Mặt khác, vì đường đàn hồi được biểu diễn bởi phương trình hàm số y(z) trong hệ trục (yz) nên độ cong của đồ thò biểu diễn của hàm số ở 1 điểm K có hoành độ z được tính theo công thức: () 2 3 2 1 1 y y ′ + ′′ = ρ (b) (a) và (b) ⇒ () x x EJ M y y = + ′′ 2 3 2 '1 (c) Đó là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi, tuy nhiên phải chọn sao cho hai vế của phương trình trên đều thỏa mãn. Khảo sát một đoạn dầm bò uốn cong trong hai trường hợp như H.8.3. Trong cả 2 trường hợp mômen uốn M x và đạo hàm bậc hai y” luôn luôn trái dấu, cho nên phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng: () x x EI M y y −= + 2 3 2 '1 '' Với giả thiết chuyển vò là bé (độ võng và góc xoay bé), có thể bỏ qua (y’) 2 so với 1 và khi đó phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng gần đúng như sau: z y M x > 0 y” < 0 M x M x y M x < 0 y” > 0 M x M x H .8. 3 . số tiết diện thông thường - Mặt cắt ngang hình chữ nhật: η = 1,2 - Mặt cắt ngang hình tròn: 9 / 10=η - Mặt cắt ngang chữ Ι: lòng F F / = η trong đó: F - là diện tích toàn bộ mặt cắt ∑∑ ∫∫ == += n i n i L y L x x ii dz GF Q dz EJ M U 11 0 2 0 2 22 η (7.38) trong đó: L i - chiều dài mỗi đoạn thanh, n - số đoạn thanh η − hệ số điều chỉnh sự phân bố không đều của ứng suất tiếp là đạo hàm của phương trình đường đàn hồi. Quy ước dương của chuyển vò: - Độ võng y dương nếu hướng xuống. - Góc xoay ϕ dương nếu mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ. Điều kiện cứng: