SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI DIỄN TẬP TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2010 ĐỒNG THÁP Mơn thi: TỐN - Giáo dục trung học phổ thơng ĐỀ THI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản hướng dẫn gồm 05 trang I. Hướng dẫn chung 1) Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm khơng làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất trong tồn Hội đồng chấm thi. 3) Sau khi cộng điểm tồn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5, lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm). II. Đáp án và thang điểm CÂU Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM I. PHẦN CHUNG 7.0 Câu 1 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 2 3 4= − − +y x x . 2.0 1. Tập xác định: D = ¡ 2. Sự biến thiên: a) Giới hạn: x lim y →−∞ = +∞ và x lim y →+∞ = −∞ b) Bảng biến thiên: • 2 y' 3x 6x= − − 2 x 2 y' 0 3x 6x 0 x 0 = − = ⇔ − − = ⇔ = x - ∞ -2 0 + ∞ y' − 0 + 0 − y + ∞ 4 0 - ∞ + Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ; 2−∞ − và ( ) 0;+∞ , đồng biến trên khoảng ( ) 2;0− . + Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 = ; giá trị cực đại của hàm số là y(0) 4= . + Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 2= − ; giá trị cực tiểu của hàm số là y( 2) 0− = . 0.25 0.25 0.25 0.75 1 3. Đồ thị: + Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm ( ) 0;4 . + Giao điểm của đồ thị với trục hoành là các điểm ( ) ( ) 2;0 ; 1;0− . + Đồ thị đi qua điểm ( ) 1;2− . -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y y=m m y=-x - x + 0.5 2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 2 3 4 0+ + − =x x m (1) 1.0 • Ta có : 3 2 3 2 3 4 0 3 4+ + − = ⇔ = − − +x x m m x x . • Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2 3 4= − − +y x x và đường thẳng y m= . • Dựa vào đồ thị, ta suy ra kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình (1) như sau: + m 0 m 4< ∨ > : Phương trình (1) có 1 nghiệm. + 0 m 4 < < : Phương trình (1) có 3 nghiệm. + m 0 m 4 = = : Phương trình (1) có 2 nghiệm. 0.25 0.25 0.5 Câu 2 1 Giải phương trình 2 3 3 log 8log 3 0− + =x x (1) 1.0 Điều kiện: x 0> • Khi đó: 2 2 3 3 3 3 log 8log 3 0 log 4log 3 0− + = ⇔ − + =x x x x (2) • Đặt 3 t log x= , phương trình (2) trở thành: 2 t 1 t 4t 3 0 t 3 = − + = ⇔ = • Với t 1= thì 3 log x 1 x 3= ⇔ = Với t 3= thì 3 log x 3 x 27= ⇔ = • Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là { } S 3;27= . 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Tính tích phân I = 3 2 1 ln+ ∫ e x x dx x 1.0 2 • Ta có: 3 2 2 1 1 1 ln 1 ln + = = + ∫ ∫ ∫ e e e x x I dx xdx xdx x x • e e 2 2 1 1 x e 1 xdx 2 2 2 = = − ∫ • Đặt 2 1 u ln x du dx x 1 1 dv dx v x x = = ⇒ = = − Do đó: e e e e 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ln xdx ln x dx 1 1 x x x e x e e e = − + = − + − = − − + = − ∫ ∫ • Vậy 2 e 2 1 I 2 e 2 = − + . 0.25 0.25 0.25 0.25 3 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 3 2 2 ( ) 4 5 + = − x f x e x x trên đoạn 1 3 ; 2 2 . 1.0 • Trên đoạn 1 3 D ; 2 2 = ta có: ( ) ( ) ( ) 3x 2 2 3x 2 3x 2 2 y' 3e . 4x 5x 8x 5 .e e . 12x 7x 5 + + + = − + − = − − • 2 x 1 D 5 y' 0 12x 7x 5 0 x D 12 = ∈ = ⇔ − − = ⇔ = − ∉ • So sánh ba giá trị: ( ) 7 5 13 1 3 f e 2 2 f 1 e 3 3 f 3 2 2 = − ÷ = − = ÷ • Ta suy ra được: 13 x D 3 Max f (x) e 2 ∈ = và 5 x D min f (x) e ∈ = − . 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 3 1.0 3 • Do SA (ABC)⊥ nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC). Suy ra ( ) ( ) · 0 SC;(ABC) SC;AC SCA 60= = = . • Xét hai tam giác vuông SAC và ABC ta suy ra được: 0 SA AC.t an60 a 3 AC a 2 AB BC 2 2 = = = = = • Do G là trọng tâm tam giác SAB nên: ( ) ( ) 1 1 a 3 d G;AB d S;AB SA 3 3 3 = = = • Vậy thể tích khối chóp G.ABC là: ( ) ( ) 3 2 ABC 1 1 1 a 3 V S .d G;ABC . AB .d G;AB 3 3 2 36 ∆ = = = . 0.25 0.25 0.25 0.25 II. PHẦN RIÊNG 3.0 Câu 4a 1 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng (d). Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d). 1.0 • Đường thẳng (d) đi qua ( ) 0 M 1; 1;0− và có VTCP là: ( ) a 2; 1;2= − r • Do mặt phẳng (P) đi qua điểm ( ) A 1; 2; 5− − và vuông góc với (d) nên VTPT của (P) là ( ) n a 2; 1;2= = − r r • Suy ra phương trình của mặt phẳng (P): ( ) ( ) ( ) 2 x 1 1 y 2 2 z 5 0 2x y 2z 6 0− − + + + = ⇔ − + + = • Tọa độ giao điểm H của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) là nghiệm của hệ phương trình: ( ) 2x y 2z 6 x 1 x 2y 1 y 0 H 1;0; 2 2y z 2 z 2 − + = − = − + = − ⇔ = ⇒ − − + = − = − . 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d) và đi qua hai điểm A và O. 1.0 • Phương trình tham số của (d): ( ) x 1 2t y 1 t t z 2t = + = − − ∈ = ¡ . Do tâm I của mặt cầu 4 (S) thuộc (d) nên ( ) I 1 2t; 1 t;2t+ − − • Do mặt cầu (S) đi qua hai điểm A, O nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 IO IA IO IA 1 2t 1 t 2t 2t 1 t 2t 5 1 4t 4t 1 2t t 4t 4t 1 2t t 4t 20t 25 t 2 = ⇔ = ⇔ + + − − + = + − + + ⇔ + + + + + + = + − + + + + ⇔ = − • Suy ra mặt cầu (S) có tâm ( ) I 3;1; 4− − , bán kính R IO 9 1 16 26= = + + = • Vậy phương trình của (S) là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x 3 y 1 z 4 26+ + − + + = . 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 5a Giải phương trình 2 ( 2) 2( 2) 5 0+ + + + =z z trên tập số phức. 1.0 • Ta có: 2 2 ( 2) 2( 2) 5 0 6 13 0+ + + + = ⇔ + + =z z z z (1) • Phương trình (1) có: ( ) 2 ' 9 13 4 2i∆ = − = − = • Do đó phương trình (1) có hai nghiệm là: 1 z 3 2i= − − và 1 z 3 2i= − + . 0.25 0.25 0.5 Câu 4b 1 Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng d 1.0 • Mặt cầu (S) có tâm ( ) I 4; 3;2− , bán kính R 16 9 4 15 14= + + − = • Do đường thẳng (d) đi qua điểm ( ) 0 M 2; 2;0− − và có VTCT ( ) a 3;2; 1= − r nên ( ) 0 M I;a d I,(d) a = uuuur r r • ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 2 6 6 1 M I 6; 1;2 M I;a ; ; 3;12;15 a 3;2; 1 2 1 1 3 3 2 − − = − ⇒ = = − ÷ = − − − uuuur uuuur r r • Do đó: ( ) 378 378 d I,(d) 27 3 3 14 14 = = = = . 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông góc với (d). 1.0 • Do mặt phẳng (P) vuông góc (d) nên VTPT của (P) là ( ) n a 3;2; 1= = − r r • Phương trình mặt phẳng (P) vuông góc (d) có dạng: 3x 2y z D 0+ − + = • Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên: 4 D D 10 d(I,(P)) R 14 4 D 14 D 18 14 + = = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = − • Vậy có hai mặt phẳng thỏa đề bài là: 3x 2y z 10 0+ − + = và 3x 2y z 18 0+ − − = . 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 5b Giải phương trình ( ) 2 z 4 2i z 7 4i 0− − + − = trên tập số phức. 1.0 • Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 2 i 7 4i 3 4i 7 4i 4 2i∆ = − − − = − − + = − = • Do đó phương trình có hai nghiệm là: 1 z 2 i 2i 2 3i= − − = − và 2 z 2 i 2i 2 i= − + = + . 0.5 0.5 Hết 5 . SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI DIỄN TẬP TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2010 ĐỒNG THÁP Mơn thi: TỐN - Giáo dục trung học phổ thơng ĐỀ THI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản hướng dẫn gồm 05 trang I trong tồn Hội đồng chấm thi. 3) Sau khi cộng điểm tồn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5, lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm). II. Đáp án và thang điểm CÂU Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM I. PHẦN. sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 2 3 4= − − +y x x . 2.0 1. Tập xác định: D = ¡ 2. Sự biến thi n: a) Giới hạn: x lim y →−∞ = +∞ và x lim y →+∞ = −∞ b) Bảng biến thi n: • 2 y'