GV: ĐINH VĂN TRÍ TỔ TOÁN TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NGUYỄN AN NINH ĐỀ THI THƯ ĐẠI HỌC NĂM 2009 – 2010 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) Câu I : ( 2 điểm ) 1) Giải phương trình : 2 3 2 4 77 3 2 0x x+ − − − = . 2)Cho số tự nhiên n ∈ N * , x ∈ R,a ≠ 0 ,b ≠ 0 và a + b ≠ 0 thỏa : 4 4 sin cos 1x x a b a b + = + . Chứng minh rằng : ( ) 2 2 sin cos 2 n n n n n x x a b a b + = + . Câu II : ( 1 điểm ) Tính tích phân 4 6 4 tan 1 x x I dx e p p - = + ò . Câu III : ( 2 điểm ) Cho hàm số 3 2 7 2 3 2 3 x x y x=- - + + ( 1) . 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò ( C ) của hàm số (1) 2) Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng d có phương trình: 5 61 4 24 x y = + để từ đó kẻ đến đồ thò (C) của hàm số (1) ba tiếp tuyến tương ứng với ba tiếp điểm có hoành độ x 1 , x 2 , x 3 thỏa: 1 2 3 0x x x< < < . Câu IV : ( 1 điểm ) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 2 2 2 5 1 3 5 4P x m y x m y é ù é ù = - + - + + + + - ë û ë û ( Trong đó x và y là ẩn số và m là tham số ). Câu V : ( 1 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có cạnh AB = a, cạnh AD = b, góc · 0 60BAD = . Cạnh SA = 4a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho AM = x ( 0 < x < 4a ) .Mặt phẳng (MBC) cắt cạnh SD tại N. Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD ra thành hai phần sao cho thể tích của khối SBCNM bằng 5 4 thể tích của khối BCNMAB. PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) :Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B A.Theo chương trình chuẩn Câu VI.a ( 2 điểm ) 1)Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 1 4 3 : 1 1 1 x z d y − + = − = − và 2 1 3 : 2 2 1 x y d z + − = = − − Viết phương trình tham số của đường thẳng d3 đối xứng với đường thẳng d2 qua đường thẳng d1. 2)Tìm m nguyên để hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 1 2 3 0 6 6 13 0 m x m y m x y x y + + − + + = + + − + = vô nghiệm. Câu VII.a ( 1 điểm) Cho các số thực a,b,c và số phức 1 3 . 2 2 z i= − + . Chứng minh rằng : ( ) ( ) 2 2 0a bz cz a bz cz+ + + + ≥ .Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi nào? B.Theo chương trình Nâng cao. Câu VI.b ( 2 điểm ) 1)Trong không gian Oxyz cho bốn điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 3;1;1 , 1;1; 1 , 1;2;3 , 4; 2;0A B C D− − − và mp(P) có phương trình : 2 3 13 0x y z+ + − = .Tìm tọa độ điểm M nằm trên mp(P) sao cho 2 2 2MA MB MC MD− + − + uuur uuur uuuur uuuur ngắn nhất. 2)Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm ( ) ( ) ( ) 2;1 , 2;4 , 10;6A B C− .Trong tam gáic ABC ,hãy viết phương trình tham số đường phân giác ngoài của góc A. 1 GV: ĐINH VĂN TRÍ Câu VII.b ( 1 điểm ) Giải hệ phương trình : ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 3 ln 2 2 3 3 ln 2 2 3 3 ln 2 2 x x x x y y y y y z z z z z x ì ï + - + - + = ï ï ï ï + - + - + = í ï ï ï ï + - + - + = ï ỵ . ĐÁP ÁN Câu I : ( 2 điểm ) 1)Đặt : ( ) 3 2 2 4 3 và v= x 77 ĐK: v 0u x= − + ≥ Ta có hệ : ( ) ( ) 3 4 2 0 1 80 2 v u u v − − = − = − (I) Thế v = u+2 vào phương trình (2) (2) ⇔ 4 3 2 7 24 32 64 0u u u u− − − − + = ⇔ u = 1 hay u = - 4 (I) 1 3 = ⇔ = u v hay ( ) 4 2 Loại = − = − u v KL : x = 2± 2) Ta có : 4 4 sin cos 1x x a b a b + = + ⇔ ( ) 2 2 2 4 4 sin cos sin cos x x x x a b a b + + = + ⇔ 2 2 sin cosb x a x= Ta có : 2 2 2 2 sin cos sin cos 1x x x x a b a b a b + = = = + + Þ ( ) ( ) ( ) 2 2 sin cos 1 n n n n n x x a b a b = = + Vậy : ( ) 2 2 sin cos 2 n n n n n x x a b a b + = + Câu II :( 1 điểm ) Đặt : x = -t Þ dx = -dt Đổi cân : x= 4 p Þ t= 4 p - ; x= 4 p - Þ t= 4 p I = 4 4 6 6 4 4 tan tan 1 1 t x t x e t e x dt dx e e p p p p - - - = + + ò ò Ta có : I + I = 4 4 6 6 4 4 tan tan 1 1 x x x x e x dx dx e e p p p p - - + + + ò ò Þ 2I = 4 6 4 tan xdx p p - ò = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 KL : 26 30 4 I p = - Câu III : ( 2 điểm ) 1) 3 2 7 2 3 2 3 x x y x=- - + + có tập xác đònh D= R lim x y ®+¥ =- ¥ và lim x y ®- ¥ =+¥ ' 2 2y x x=- - + 2 2 0 1 2x x x hay x- - + = Û = =- Hàm số đồng biến trên khoảng :(-2;1) Hàm số nghòch biến trên khoảng: (- ∞ ;-2), (1; + ∞ ) Điểm cực đại của đồ thò hàm số : 7 1; 2 ỉ ư ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø Điểm cực tiểu của đồ thò hàm số : ( ) 2; 1- - Tọa độ điểm uốn : 1 5 ; 2 4 I ỉ ư ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø Vẽ đồ thò hàm số : 2) ∀ M ∈ d : M(m; 5 61 4 24 m + ) Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M 0 (x0;y 0 ): 3 2 0 0 0 7 2 3 2 3 x x y x ỉ ư ÷ ç ÷ - - - + + ç ÷ ç ÷ ç è ø = ( 2 0 0 2x x- - + )(x – x 0 ) Tiếp tuyến đi quaM ⇔ 3 2 0 0 0 5 61 7 2 4 24 3 2 3 x x m x ỉ ư ÷ ç ÷ + - - - + + ç ÷ ç ÷ ç è ø = ( 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 x y -2 -1 7 2 1 0 GV: ĐINH VĂN TRÍ ( ) ( ) 4 4 2 2 2 2 4 tan tan 1 tan tan 1 tan 1 1x x x x x dx p p - é ù + - + + + - ê ú ë û ò 5 3 4 4 tan tan tan 5 3 x x x x p p - é ù ê ú = - + - ê ú ë û = 26 15 2 p - ( ) 0 2 0 0 1 0 2 2 5 5 3 0 * 3 6 12 2 x m x m x = > ⇔ + − + − = ÷ Để thỏa YCBT ⇔ (*) có hai nghiệm âm phân biệt. ⇔ 2 7 5 0 3 12 5 0 18 3 5 0 2 4 m m m m ì ï ï + - > ï ï ï ï ï ï - > í ï ï ï ï ï - < ï ï ï ỵ 5 1 2 6 5 18 5 6 m hay m m m < − > ⇔ < < KL: Những điểm M nằm trên d phải có hoành độ thỏa : 5 1 5 2 6 18 M M x hay x<- < < Câu IV : ( 1 điểm ) Xét hệ : ( ) ( ) 2 5 1 0 3 5 4 0 x m y x m y ì ï - + - + = ï í ï + + - = ï ỵ ⇔ ( ) ( ) 5 5 5 15 5 5 5 m x m m y ì ï - + =- + ï í ï - + =- ï ỵ (I) TH1 : 1m ¹ MinP = 0 khi 3 1 và y= 1 m - 1 m x m - = - TH2 : m = 1 Đặt : t = -2x – 4y +1 Khi đó : 2 2 13 15 25 13 15 25 25 4 2 4 4 13 13 13 P t t t ỉ ư ÷ ç = + + = + + ³ ÷ ç ÷ ç è ø MinP = 25 13 khi t = - 15 13 khi 28 2 4 0 13 x y+ - = KL : m ≠ 1: MinP = 0 khi 3 1 và y= 1 m - 1 m x m - = - m=1 : MinP = 25 13 khi 7 1 13 2 x k R y k ì = Ỵ ï ï ï í ï = - ï ï ỵ 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 0 0 2x x- - + )(m – x 0 ) ⇔ 3 2 0 0 0 2 1 3 5 0 3 2 4 24 m x m x mx ỉ ư ÷ ç + - - + - = ÷ ç ÷ ç è ø (MBC ) I (SAD) = MN P AD P BC ( N ∈ SD ) 2 0 . 1 2 3. . .sin60 . 3 3 S ABCD a b V AB AD SA= = . 2 . . . 1 3. . 2 3 S ABC S ACD S ABCD a b V V V= = = . . . 4 . . 4 S MBC S ABC V SM SB SC a x V SA SB SC a - = = ( ) 3 4 12 SMBC ab a x V - = 2 . . . . S MNC S ADC V SM SN SC SM V SA SD SC SA ỉ ư ÷ ç = = ÷ ç ÷ ç è ø ( ) 2 3. 4 48 SMNC b a x V - = ( ) ( ) . 3 4 8 48 S BCNM SMBC SMNC b a x a x V V V - - = + = ( ) 3 12 48 BCNMAB b x a x V - = Thỏa YCBT : . 5 4 S BCNM BCNMAB V V= 2 2 9 108 128 0 4a x = (Nhận) 3 32a x = (Loại) 3 x ax a⇔ − + = ⇔ KL : 4a x = 3 Câu VIa 1) ∀ M ∈ d 2 : ( ) 2 2 2 1 2 ;3 ;2M t t t− + − − Dựng mp(P) đi qua M và vuông góc với d1 Ptmp(P) đi qua M và có VTPT ( ) 1;1;1n = − r : 2 4 6 0x y z t− + + + − = H = (P) I d 2 Þ H =hc 1 M d 2 2 2 4 4 4 ;5 ;1 3 3 3 H t t t ỉ ư ÷ ç Þ - - ÷ ç ÷ ç è ø K đối xứng với M qua d 1 Þ H là trung 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3 GV: ĐINH VĂN TRÍ Câu V : ( 1 điểm ) 2)đường thẳng ∆ có phương trình : ( ) ( ) 1 2 3 0m x m y m+ + − + + = và đường tròn (C) có phương trình : 2 2 6 6 13 0x y x y+ + − + = . ( C ) có tâm I(-3;3) và có bán kính R = 5 . Hệ vô có nghiệm ⇔ ∆ và ( C) không có điểm chung ( ) ,⇔ ∆ >d I R 2 6 5 2 2 5 − ⇔ > − + m m m 11 1 9 ⇔ − < <m KL : m = 0 hay m = -1 Câu VIIa ( 1 điểm ) Ta có : ( ) ( ) 2 2 a bz cz a bz cz+ + + + = a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ca = 1 2 (2a 2 + 2b 2 +2 c 2 –2 ab – 2bc – 2ca) = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 a b b c c a − + − + − ≥ 0(ĐPCM) Dấu “ =” xảy ra khi a = b = c Câu VIb ( 2 điểm ) 1)Gọi I thỏa : 2 2 2 0IA IB IC I D− + − + = uur uur uur uur r ( ) 5 ; 6 ; 7 0x y zÛ - - - - - = r Ta tìm được I(5; -6 ; -7 ) Lúc đó : 2 2 2MA MB MC MD− + − + uuur uuur uuuur uuuur =MI 2 2 2MA MB MC MD− + − + uuur uuur uuuur uuuur ngắn nhất ⇔ đoạn MI ngắn nhất khi ( ) I P M hc= Phương trình chính tắc của d qua I và d vuông góc với (P) : 5 6 7 2 3 x y z − + = = + M=(P) I d Þ M(9;0;-5) 2)Đường thẳngAB ,AC lần lượt có các Vectơ đơn vò : 1 4 3 ; 5 5 AB e AB = = ÷ uuur ur uuur , 2 12 5 ; 13 13 AC e AC = = ÷ uuur uur uuur Phương trình đường phân giác ngoài của góc A 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 điểm của đoạn MK Đường thẳng d3 đối xứng với đường thẳng d2 qua đường thẳng d1 2 2 2 3 2 5 5 1 ;7 ; 3 3 3 K t t t d ỉ ư ÷ ç Þ + - - Ỵ ÷ ç ÷ ç è ø KL: ptts của dường thẳng d 3 đối xứng với d 2 qua d 1 có dạng: 1 2 , 7 5 , 5x t y t z t = + = − = − 2)Nghiệm của hệ là số giao điểm của Xét hàm số ( ) ( ) 3 2 3 3 ln 2 2f t t t t t= + - + - + trên R Ta có : ( ) 2 ' 2 2 3 2 0, 2 2 t f x t t R t t = + + > " Ỵ - + Xét hàm số g(t) = t trên R và g ’ (t)=1 >0, ∀ t ∈ R Hàm f(t) và hàm g(t) cùng đồng biến trên R x ≤ y Þ f(x) ≤ f(y) Þ g(y) ≤ g(z) Þ y ≤ z Þ f(y) ≤ f(z) Þ g(z) ≤ g(x) Þ z ≤ x Vậy : x = y = z = t t là nghiệm của phương trình : ( ) 3 2 2 3 ln 2 2 0t t t t+ - + - + = (*) Hàm số h(t) = ( ) 3 2 2 3 ln 2 2t t t t+ - + - + đồng biến trên R (vì có ( ) 2 ' 2 2 1 3 2 2 t h t t t t = + + - + >0, ∀ t ∈ R) và h(1) = 0 (*) có nghiệm duy nhất t= 1 . KL: Hệ có nghiệm duy nhất (1;1;1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4 D B A C S M N GV: ĐINH VĂN TRÍ có Vectơ chỉ phương : 1 2 8 14 ; 65 65 e e − = − ÷ ur uur hay (-4,7) KL : Phương trình tham số của đường phân giác ngoài của góc A là : 2 4 1 7 x t y t = − − = + ( t ∈ R ) Câu VII b ( 1 điểm ) 0,25 0,25 Hết 5 . ( 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 x y -2 -1 7 2 1 0 GV: ĐINH VĂN TRÍ ( ) ( ) 4 4 2 2 2 2 4 tan tan 1 tan tan 1 tan 1 1x x x x x dx p p - é ù + - + + + - ê ú ë û ò 5 3 4 4 tan tan tan 5 3 x x x x p p - é ù ê ú = - + - ê ú ë û = 26 15. 4 4 6 6 4 4 tan tan 1 1 t x t x e t e x dt dx e e p p p p - - - = + + ò ò Ta có : I + I = 4 4 6 6 4 4 tan tan 1 1 x x x x e x dx dx e e p p p p - - + + + ò ò Þ 2I = 4 6 4 tan xdx p p - ò = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 KL. GV: ĐINH VĂN TRÍ TỔ TOÁN TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NGUYỄN AN NINH ĐỀ THI THƯ ĐẠI HỌC NĂM 2009 – 2010 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) Câu I : ( 2 điểm ) 1) Giải phương