Phân tích hệ thanh bê tông cốt thép có xét đến đặc trưng biến dạng của bê tông

http://www.ud.edu.vn/bankh/zipfiles/9_thinh_trinhquang_9.doc PHÂN TÍCH HỆ THANH BÊ TÔNG CỐT THÉP CÓ XÉT ĐẾN ĐẶC TRƯNG BIẾN DẠNG CỦA BÊ TÔNG ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE FRAME STRUCTURE CONSIDERING THE DEFORMATION CHARACTERISTIC OF CONCRETE TRỊNH QUANG THỊNH Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Phân tích hệ thanh bê tông cốt thép có xét đến đặc trưng biến dạng của bê tông: biến dạng dẻo, khe nứt . nhằm đánh giá sự phân bố lại nội lực, để kết quả phân tích chính xác hơn và sử dụng vật liệu hiệu quả hơn. Lập thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và vectơ ứng lực nút của phần tử thanh bê tông cốt thép. Kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích kết cấu bê tông cốt thép trên máy tính điện tử. ABSTRACT Analysis of reinforced – concrete frame structure with consideration to deformation characteristic of concrete: plastic strain, cracks, and others is used to determine the redistribution of stress, to achieve more accurate analysis results and to use materials more effectively. The paper also presents the establishment of algorithm to build matrix of stiffness and node stress vector of reinforced – concrete frame elements, and in combination with the Finite Element Method to analyze reinforced-concrete structures on computer. 1. Mở đầu Biến dạng dẻo và sự có mặt của các khe nứt trong bê tông làm cho sự phân bố nội lực trong các kết cấu bê tông cốt thép khá phức tạp. Các phần mềm để phân tích kết cấu công trình phần nhiều là sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn. Tuy nhiên việc xem xét một cách đầy đủ và chính xác ảnh hưởng của biến dạng phức tạp của bê tông trong việc xác định độ cứng và ứng lực nút của các phần tử mẫu cho phương pháp phần tử hữu hạn còn hạn chế. Bài viết này muốn đề xuất một biện pháp kết hợp các qui tắc tính toán hiện có để giải quyết khó khăn này. 2. Cơ sở lý thuyết Xét dầm chịu uốn với tải trọng tăng dần: lúc đầu chưa bị nứt, toàn bộ tiết diện bê tông chịu ứng suất, dầm có độ cứng lớn. Tải trọng tăng, bê tông có biến dạng dẻo, vết nứt xuất hiện, tại tiết diện nứt mô men b c ’ F a ’ h c ’ h c F a b c h b x a h 0 Hình 1: Tiết diện dầm tại vị trí khe nứt quán tính giảm làm giảm rõ rệt độ cứng của dầm. 2.1. Các đặc trưng hình học và biến dạng của cấu kiện bằng bê tông cốt thép thường sau khi xuất hiện khe nứt * Diện tích miền BT chịu nén qui đổi: F bqđ =(b c ’ - b).h c ’ + n ν .F a ’ + b.x. (1 - 1) * Độ cứng chống uốn của TD: B =         + bqdb b aa a FEFE Zh . 10 ν ψψ (1 - 2) Trong đó: ν là hệ số đàn hồi của bê tông. Ζ 1 khoảng cách từ hợp lực vùng nén đến trọng tâm cốt thép chịu kéo. ψ b : Hệ số xét đến biến dạng không đều của thớ bê tông chịu nén ngoài cùng, (lấy = 0.9 trong các trường hợp bình thường, khi chịu tải trọng rung động lấy = 1). ψ a : Hệ số xét sự làm việc chịu kéo của bê tông; (ψ a ≤ 1) * Độ cứng của thanh khi chịu kéo (nén): EF Cấu kiện chịu kéo lệch tâm có lực dọc N c nằm trong phạm vi giữa các trọng tâm cốt thép F a và F a ’: ; ).( ' a aaa FFE EF ψ + = (1 - 3) Cấu kiện chịu nén lệch tâm: ; ) .( a bqdbaa FEFE EF ψ ν+ = (1 - 4) 2.2. Ma trận độ cứng và vectơ ứng lực nút tương đương của phần tử trong phương pháp phàn tử hữu hạn Tổng quát với phần tử thanh lăng trụ trong bài toán phẳng (hệ thanh phẳng): Gọi q 1 , q 2 là tải trọng phân bố theo phương trục 1, trục 2, m là mô men phân bố. Gọi t 1 , t 2 là nhiệt độ tăng lên ở mặt dưới và mặt trên của phần tử. Các thành phần chuyển vị {V} = {u, v, ϕ} (u: chuyển vị thắng dọc trục 1, v: chuyển vị thắng theo trục 2, ϕ: chuyển vị xoay quanh trục 3) Và nội lực {F} = {N, Q, M.} (qui ước dấu theo hình vẽ bên) - Vectơ chuyển vị nút {δ} ≡ [δ 1 δ 2 δ 6 ] T ≡ [u 1 v 1 ϕ 1 u 2 v 2 ϕ 2 ] T ; - Vectơ ứng lực nút {F} ≡ [F 1 F 2 F 6 ] T ≡ [N 1 Q 1 M 1 N 2 Q 2 M 2 ] T ; - Các quan hệ vi phân giữa chuyển vị và nội lực: 2 1 3 Hình 2: Phần tử thanh phẳng u 1 - N 1 v 1 - Q 1 ϕ 1 - M 1 v 2 - Q 2 ϕ 2 - M 2 u 2 - N 2 N Q M                               dx dM dx dQ dx dN dx d dx dv dx du ϕ =                       − 010000 000000 000000 . 1 00000 000100 00 . 1 000 JE FE x                       M Q N v u ϕ +                       − − − − + m q q l tt tt 2 1 12 21 .2 . 0 2 . α α ; (2 - 1) Hay dx dZ = [A]. {Z} + {B}; (2 - 2) Theo phương pháp phần tử hữu hạn - Mô hình chuyển vị, có được phương trình cơ bản của phần tử hữu hạn: [K] {δ} = {F}; [K] -Ma trận độ cứng của phần tử. {δ} -Vectơ các chuyển vị nút. {F} -Vectơ các lực nút tương đương của phần tử. Với phần tử thanh có các đặc trưng tiết diện không thay đổi, có thể với các phép khai triển tích phân thông thường, hoặc với các tiết diện quen thuộc có thể sử dụng các bảng tra lập sẵn để xác định các phần tử của ma trận độ cứng và vectơ ứng lực nút tương đương của phần tử. 3. Phương pháp giải với cấu kiện bê tông cốt thép Với cấu kiện bê tông cốt thép, do các đặc trưng của tiết diện: độ cứng dọc trục EF, độ cứng chống uốn B (tương đương với EJ) xác định theo (1-3), (1-12) là thay đổi nên chưa thể giải được nghiệm đúng của hệ phương trình trên. Trong trường hợp này, có thể giải theo phương pháp gần đúng Runge-Kutta (bậc 4): Phương trình (2 - 2) được viết lại:                 )( )( )( 2 1 xZ xZ xZ dx d n =                 )( )()( )( )()( )( )()( 21 22221 11211 xaxaxa xaxaxa xaxaxa nnnn n n x                 )( )( )( 2 1 xZ xZ xZ n +                 )( )( )( 2 1 xb xb xb n ; (2 - 3) Nghiệm của hệ phương trình tại x: Z(x) = α(x).Z(0) + β(x); (2 - 4) Với khoảng chia h, tại x+h có: Z(x+h) = α(x+h).Z(0) + β(x+h); (2 - 5) Với các công thức truy hồi, có được sự liên hệ của các giá trị α và β ở 2 bước tích phân x và x+h như sau: ( ) IV iiiiiji KKKKxhx ++++=+ )(2 6 1 )()( '''''' αβ ; ( ) IV ijijijijijij KKKKxhx ++++=+ )(2 6 1 )()( '''''' αα ; Với: ()         += ∑ = n p ippii xaxxbhK 1 ' )().()(. β ;                 +       +++= ∑ = n p ipppii h xaKx h xbhK 1 ''' ) 2 (. 2 1 )() 2 (. β ;                 +       +++= ∑ = n p ipppii h xaKx h xbhK 1 ''''' ) 2 (. 2 1 )() 2 (. β ; ()()         ++++= ∑ = n p ipppi IV i hxaKxhxbhK 1 ''' )(.)()(. β ; Và: () ∑ = = n p pjipij xxahK 1 ' )().(. α ; ∑ =               ++= n p pjpjipij Kx h xahK 1 ''' 2 1 )(). 2 (. α ; ∑ =               ++= n p pjpjipij Kx h xahK 1 ''''' 2 1 )(). 2 (. α ; ( )( ) ∑ = ++= n p pjpjip IV ij KxhxahK 1 ''' )().(. α ; Vậy hàm Z(x) được xác định với mọi điểm nếu biết Z(0) và với các giá trị [α(0)] = [I] và {β(0)} = {0}; Với phần tử (ik), (2 – 4) sẽ là: Z(k) = α(k).Z(i) + β(k); Hay { } {} [ ] [ ] [][] { } {} { } {} K i i K k k F V F V       +             =       2 1 43 21 . β β αα αα ⇒ {V k } = [α 1 ] k .{V i } + [α 2 ] k .{F i } + {β 1 } k ; (2 - 6) {F k } = [α 3 ] k .{V i } + [α 4 ] k .{F i } + {β 2 } k ; (2 - 7) (2 - 6) ⇒ {F i } = [ ] 1 2 − k α .{V k } - [ ] 1 2 − k α .[α 1 ] k .{V i } - [ ] 1 2 − k α .{β 1 } k ; (2 - 7) ⇒{F k }=([α 3 ] k -[α 4 ] k . [ ] 1 2 − k α .[α 1 ] k ).{V i }+[α 4 ] k . [ ] 1 2 − k α .{V k }-[α 4 ] k . [ ] 1 2 − k α .{β 1 } k )+{β 2 } k ; Mặt khác: {F} = [K] {δ} + {F 0 }; u 1 - N 1 v 1 - Q 1 ϕ 1 - M 1 v 2 - Q 2 ϕ 2 - M 2 u 2 - N 2 i k Hay: {} {} [ ][ ] [] [] {} {} { } {} ;. 0 0 , ,,           +             =       − k i F F V V KkK KK F F k i iki kikiik k i Vậy, ma trận độ cứng và vectơ ứng lực nút tương đương của phần tử đang xét: [ ] iik K , = [ ] 1 2 − k α .[α 1 ] k ; [ ] kik K , = - [ ] 1 2 − k α ; { } 0 i F = [ ] 1 2 − k α .{β 1 } k ; [ ] iki K , = [α 3 ] k - [α 4 ] k . [ ] 1 2 − k α .[α 1 ] k ; [ ] kki K , = [α 4 ] k .( [ ] 1 2 − k α ; { } 0 k F = {β 2 } k - [α 4 ] k . [ ] 1 2 − k α .{β 1 } k ; 4. Kết quả và thảo luận Xét dầm có sơ đồ và tiết diện như hình vẽ, Với tiết diện ban đầu xem bê tông là vật liệu đàn hồi, độ cứng của dầm là EJ= 5.10 3 T.m 2 ; Nội lực xác định được như sơ đồ. Xác định độ cứng của dầm bê tông cốt thép theo (1-3), có được sự phân bố lại nội lực như sơ đồ sau: - Theo kết quả phân tích, nếu có xét biến dạng dẻo và nứt trong bê tông thì độ cứng của dầm thay đổi đáng kể. Tại tiết diện có nội lực xấp xỉ giới hạn chịu lực, độ cứng có thể giảm 2-3 lần độ cứng ban đầu. - Giá trị của hệ số đàn hồi của bê tông giảm nhiều khi ứng suất tăng, do đó độ cứng của dầm không những thay đổi nhiều hơn, mà còn khác nhau nhiều giữa các tiết diện có nội lực chênh lệch lớn. Nếu xét đến yếu tố này sự phân bố lại nội lực càng rõ rệt. - Phân tích kết cấu bê tông cốt thép nếu không xét sự phân bố lại nội lực do độ cứng của các cấu kiện thay đổi sẽ làm mất ý nghĩa của những cố gắng chính xác hóa khi tính toán tiết diện bê tông cốt thép. 2φ18 500 200 2φ20 q=1.5T/m 6m 1 3 2 5. Kết luận - Với thuật toán trên, các đặc trưng biến dạng của bê tông là các số liệu rời rạc có được từ thực nghiệm có thể sử dụng để xác định độ cứng của từng tiết diện của cấu kiện tùy theo giá trị nội lực. - Khi phân tích kết cấu bê tông cốt thép nếu xét quan hệ giữa đặc trưng biến dạng và ứng lực trong bê tông, phải xác định đặc trưng biến dạng của bê tông khi chưa biết nội lực. Điều này sẽ làm cho khối lượng tính toán trở nên rất lớn nếu tính theo phương pháp lặp, vì vậy cần tìm một phương pháp tốt hơn để xác định quan hệ này. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ngô Thế Phong (Chủ biên), Kết cấu Bê tông cốt thép (Phần cấu kiện cơ bản), Tính toán cấu kiện Bê tông cốt théptheo trạng thái giới hạn thứ 2 1995: 83-90. [2] Nguyễn Quốc Tuấn, Bài giảng Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn phân tích kết cấu công trình. [3] NguyễnViết Trung, Thiết kế Kết cấu Bê tông cốt thép hiện đại theo tiêu chuẩn ACI, Chương 9: Khả năng khai thác. 1999: 384-405. [4] Arthur H. Nilson, Design of Concrete Structures-Twelfth Edition. Chapter 6 Serviceability 1997: 211-230. . TÓM TẮT Phân tích hệ thanh bê tông cốt thép có xét đến đặc trưng biến dạng của bê tông: biến dạng dẻo, khe nứt... nhằm đánh giá sự phân bố lại nội. Khi phân tích kết cấu bê tông cốt thép nếu xét quan hệ giữa đặc trưng biến dạng và ứng lực trong bê tông, phải xác định đặc trưng biến dạng của bê tông