Sở GD & ĐT Hưng Yên ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010 LẦN I Trường THPT Trần Hưng Đạo Môn: Toán - Thời gian: 150 phút Đề Bài Bài 1(2 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 2 (| | 1) .(| | 1)y x x= + − 2) Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Bài 2(3 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 2 2 ( 1)( 1)( 2) 6 2 2 3 0 x y x y x y x y − − + − = + − − − = ( ,x y ∈ ¡ ) 2) Giải phương trình sau: 3 3 sin cos cos2 .(2cos sin )x x x x x+ = − , ( với x ∈ ¡ ) 3) Tìm m thực để phương trình sau có hai nghiêm thực phân biệt: 2 1/ 2 1/ 2 ( 1).log ( 2) ( 5)log ( 2) 1 0m x m x m − − − − − + − = Bài 3(1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (AB = BC =a > 0) và các cạnh SA= SB = SC = 3a. Trên cạnh SA, SB lấy điểm M, N sao cho SM = BN = a. Tính thể tích khối chóp SMNC. Bài 4(2 điểm) 1) Tính tích phân sau: 1 2 0 .ln(1 )x x dx + ∫ 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(3; 1) lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt chiều dương của trục Ox, Oy lần lượt tại P, Q sao cho diện tích tam giác OPQ nhỏ nhất. Bài 5(2 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 1 1 : 1 2 ;( ) 1 2 x t d y t t z t = + = + ∈ = + ¡ Đường thẳng d 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y – 1 = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0 1) Chứng minh rằng d 1 , d 2 cắt nhau tại I, viết phương trình mặt phẳng chứa d 1 và d 2 2) Viết phương trình đường thẳng d 3 qua A(2; 3; 1) tạo với hai đường thẳng d 1 và d 2 tam giác cân đỉnh I. Hết Đáp Án vắn tắt Bài 1: 1) khảo sát hàm số : y = x 4 - 2x 2 + 1 ( C) 2) Gọi A(a:0) là điểm trên trục hoành mà từ A kẻ được đến ( C) ba tiếp tuyến Phương trình đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k là d: y = k(x-a) d là tiếp tuyến của ( C) khi hệ pt sau có nghiệm 4 2 3 3 4 2 3 2 1 ( ) 4 4 4 4 2 1 (4 4 )( ) x x k x a x x k x x k x x x x x a − + = − − = ⇔ − = − + = − − Phương trình 2 4 2 3 2 2 2 1 0 2 1 (4 4 )( ) ( 1)( 4 1) 0 4 1 0(*) x x x x x x a x x ax x ax − = − + = − − ⇔ − − + = ⇔ − + = Mà x 2 – 1 = 0 cho ta hai x nhung chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1: y = 0. Vì vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C) thì phương trình (*) phải có 2 nghiếm pb x khác 1 ± KQ: 3 3 2 2 1 1 a a a a < − > ≠ − ≠ hoÆ c Bài 2: 1) kq (3;2) hoặc (2;3) 2) kq 2 ( , , ) 4 1 arctan 2 x k x l k l m x m π π π π π = + = − + ∈ = + ¢ 3) kq 7 ( 3;1) (1; ) 3 m ∈ − ∪ Bài 3: +) Chân đường cao hạ từ đỉnh S là trung điểm của AC +) Kq 3 34 ( ) 54 a dvtt Bài 4: 1) Kq 1 ln 2 2 − 2) Kq 1 6 2 x y + = Bài 5: 1) Hai đường thẳng d 1 và d 2 cắt nhau tại I(1;1;1) và mặt phẳng chứa hai đường thẳng chính là mặt phẳng (P) 2) Gọi B là giao của d 1 và d 3 ( đk: B khác I). C là giao của d 2 vàd 3 (đk: C khác I) Ta có B(1 + t;1 +2 t;1 + 2t), C(1 + t’;1 +2 t’;1 -2 t’) Với đk: . ' 0t t ≠ Từ điều kiện A,B,C thẳng hàng ta đi tìm toạ độ B, C. Từ đó đưa ra phương trình của d 3 Sở GD & ĐT Hưng Yên ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010 LẦN 2 Trường THPT Trần Hưng Đạo Môn: Toán - Thời gian: 180 phút Đề Bài Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: ( ) 3 2 3 1 9 2y x m x x m= − + + + − (1) có đồ thị là (C m ) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1. 2) Xác định m để (C m ) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng 1 2 y x= . Câu II: (2,5 điểm) 1) Giải phương trình: ( ) ( ) 3 sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x+ − − + − − = . 2) Giải bất phương trình : ( ) 2 2 1 2 1 1 log 4 5 log 2 7 x x x + − > ÷ + . 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=x.sin2x, y=2x, x= 2 π . Câu III: (2 điểm) 1) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc là 45 0 . Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho 1 2 AP AH= uuur uuur . gọi K là trung điểm AA’, ( ) α là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’ tại M, N. Tính tỉ số thể tích ' ' ' ABCKMN A B C KMN V V . 2) Giải hệ phương trình sau trong tập số phức: ( ) 2 2 2 2 2 2 6 5 6 0 a a a a a b ab b a a + − = + + + + − = Câu IV: (2,5 điểm) 1) Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy được 5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung? Biết m, n là nghiệm của hệ sau: 2 2 1 3 1 9 19 2 2 720 m m n m n C C A P − + − + + < = 2 ) Cho Elip có phương trình chính tắc 2 2 1 25 9 x y + = (E), viết phương trình đường thẳng song song Oy và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho AB=4. 3) Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d 1 và d 2 biết: 1 2 : 2 3 x t d y t z t = + = + = − 2 1 2 1 : 2 1 5 x y z d − − − = = Câu V: (1®iÓm) Cho a, b, c 0 ≥ và 2 2 2 3a b c+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 2 2 2 1 1 1 a b c P b c a = + + + + + ……………………Hết……………………… ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 Bài 1 1 Khi m = 1 ta có hàm số: 3 2 6 9 1y x x x= − + − • BBT: x - ∞ 1 3 + ∞ y / + 0 - 0 + 3 + ∞ y - ∞ 1 1đ 2 9)1(63' 2 ++−= xmxy Để hàm số có cực đậi, cực tiểu: 09.3)1(9' 2 >−+=∆ m );31()31;( +∞+−∪−−−∞∈⇔ m Ta có ( ) 14)22(29)1(63 3 1 3 1 22 ++−+−++− + −= mxmmxmx m xy Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là 14)22(2 2 ++−+−= mxmmy Vì hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đt xy 2 1 = ta có điều kiện cần là [ ] 1 2 1 .)22(2 2 −=−+− mm −= = ⇔=−+⇔ 3 1 032 2 m m mm Khi m = 1 ⇒ ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là:y = - 2x + 5. Tọa độ trung điểm CĐ và CT là: = ++− = + == + 1 2 10)(2 2 2 2 4 2 2121 21 xxyy xx Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (2; 1) thuộc đường thẳng xy 2 1 = 1 =⇒ m tm . Khi m = -3 ⇒ ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là: y = -2x – 11. 3 −=⇒ m không thỏa mãn. Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài. 1đ Bài 2 1 phương trình đưa về: = = = ⇔ =−+ =− ⇔ =+−−−⇔ )(4cos 1cos 3tan 04cos3cos 0sincos3 0)8cos6cos2)(sincos3( 2 2 loaix x x xx xx xxxx Ζ∈ = += ⇔ k kx kx , 2 3 π π π 1 đ 2 Đk: −> +∞∪−−∞∈ ⇔ >+ >−+ 7 );1()5;( 07 054 2 x x x xx )1()5;7( ∞+∪−−∈⇒ x Từ pt 7 1 log2)54(log 2 2 2 + −>−+⇒ x xx 2 2 2 2 27 log ( 4 5) log ( 7) 5 x x x x − ⇔ + − > + ⇔ < Kết hợp điều kiện: Vậy BPT có nghiệm: ) 5 27 ;7( − −∈x 0.75đ 3 Ta có: x.sin2x = 2x ⇔ x.sin2x – 2x = 0 ⇔ x(sin2x – 2) =0 ⇔ x = 0 Diện tích hình phẳng là: ∫∫ −=−= 2 0 2 0 )22(sin)22sin.( π π dxxxdxxxxS Đặt − − = = ⇒ −= = x x v dxdu dxxdv xu 2 2 2cos )22(sin 44424 222 πππππ −=+−=⇔ S (đvdt) 0.75đ Bài 3 1 Gọi Q, I, J lần lượt là trung điểm B’C’, BB’, CC’ ta có: 2 3a AP = 3aAH =⇒ Vì '' AHA∆ vuông cân tại H. Vậy 3' aHA = Ta có 4 3 2 3 . 2 1 2 aa aS ABC == (đvdt) 4 3 4 3 .3 32 ''' aa aV CBABCA ==⇒ (đ vt t) (1) Vì '' AHA∆ vuông cân ( ) CCBBHKAAHK ''' ⊥⇒⊥⇒ G ọi E = MN ∩ KH ⇒ BM = PE = CN (2) mà AA’ = 22 ' AHHA + = 633 22 aaa =+ 4 6 2 6 a CNPEBM a AK ===⇒=⇒ Ta có thể tích K.MNJI là: 1 . 3 1 1 6 ' 2 4 4 MNJI V S KE a KE KH AA = = = = 2 6 6 . . ( ) 4 4 MNJI a a S MN MI a dvdt= = = 2 3 1 6 6 ( ) 3 4 4 8 KMNJI a a a V dvtt⇒ = = 1đ 45 E K J I A B C C' B' A' P H Q N M 3 3 2 3 ' ' ' 3 1 8 8 3 2 8 8 ABCKMN A B C KMN a a V a a V − ⇒ = = + 2 ĐK: 0 2 ≠+ aa Từ (1) 06)(5)( 222 =−+−+⇔ aaaa =+ −=+ ⇔ 6 1 2 2 aa aa Khi 1 2 −=+ aa thay vào (2) 2 1 23. 2 6 0 1 23. 2 i b b b i b − − = ⇒ − − − = ⇔ − + = ; +− = −− = ⇔=++ 2 31 2 31 01 2 i a i a aa Khi 6 2 =+ aa = −= ⇔ 2 3 a a Thay vào (2) 2 1 5 2 6 6 6 0 1 5 2 b b b b − + = ⇒ + − = ⇔ − − = Vậy hệ pt có nghiệm (a, b) là: +−−− −−−− 2 31 ; 2 231 , 2 31 ; 2 231 iiii −−+− −−+− 2 31 ; 2 231 , 2 31 ; 2 231 iiii ; −− +− −− − +− − 2 51 ;2, 2 51 ;2, 2 51 ;3, 2 51 ;3 Bài 4 1) = <++ − + − 720 2 19 2 9 1 12 3 2 n mn m m P AcC Từ (2): 761!6720)!1( =⇔=−⇔==− nnn Thay n = 7 vào (1) 09920 19990 2 19 2 9 45 2 )1( 2 2 <+−⇔ <++−⇔ <++ − ⇔ mm mmm m mm 119 <<⇔ m vì 10 =⇒Ζ∈ mm Vậy m = 10, n = 7. Vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung, để lấy được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các TH sau: TH1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có: 1575. 2 10 3 7 =CC cách TH2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có: 350. 1 10 4 7 =CC cách TH3: 5 bông hồng nhung có: 21 5 7 =C cách ⇒ có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách. Số cách lấy 4 bông hồng thường %45,31 6188 1946 6188 5 17 ≈=⇒ = P C 2) Gọi ptđt // Oy là: x = a (d) tung độ giao điểm (d) và Elip là: 25 25 25 1 9 1 925 222 22 aay ya − =−=⇔ =+ 2 2 2 25 5 3 25 25 .9 ay a y −±=⇒ − =⇒ Vậy −− − 22 25 5 3 ;,25 5 3 ; aaBaaA −= 2 25 5 6 ;0 aAB ; 2 2 2 10 100 100 125 25 25 25 3 9 9 9 a a a⇔ − = ⇔ − = ⇔ = − = 3 55 ±=⇒ a Vậy phương trình đường thẳng: 3 55 , 3 55 = − = xx 3)đường thẳng d 2 có PTTS là: += += += '51 '2 '21 tz ty tx ⇒ vectơ CP của d 1 và d 2 là: 1 2 (1;1; 1), (2;1;5) d d u u= − = r ⇒ VTPT của mp( α ) là 1 2 . (6; 7; 1) d d n u u α = = − − r r r ⇒ pt mp( α ) có dạng 6x – 7y – z + D = 0 Đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt đi qua 2đ’ M(2; 2; 3) và N(1; 2; 1) ( ,( )) ( ,( )) |12 14 3 | | 6 14 1 | | 5 | | 9 | 7 d M d N D D D D D α α ⇒ = − − + = − − + ⇔ − + = − + ⇔ = Vậy PT mp( α ) là: 3x – y – 4z + 7 0 = Bài 5 Ta có: P + 3 = 2 2 3 2 2 3 2 2 3 111 a a c c c b b b a + + ++ + ++ + 24 1 1212 24 6 2 2 2 2 3 b b a b a P + + + + + =+⇔ 24 1 1212 2 2 2 2 3 c c b c b + + + + + + 24 1 1212 2 2 2 2 3 a a c a c + + + + + + 3 6 3 6 3 6 216 3 216 3 216 3 cba ++≥ 6 222 3 82 9 )( 222 3 22 3 =++≥+⇒ cbaP 2 3 22 3 22 9 22 3 22 9 6 3 =−=−≥⇒ P Để P Min khi a = b = c = 1 . ) α là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’ tại M, N. Tính tỉ số thể tích ' ' ' ABCKMN A B C KMN V V . 2) Giải hệ phương trình sau trong tập số phức: ( ) 2 2 2. Sở GD & ĐT Hưng Yên ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010 LẦN I Trường THPT Trần Hưng Đạo Môn: Toán - Thời gian: 150 phút Đề Bài Bài 1(2 điểm) 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm. ) Cho Elip có phương trình chính tắc 2 2 1 25 9 x y + = (E), viết phương trình đường thẳng song song Oy và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho AB=4. 3) Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai