Chuyên đề phương trình

Trường : THPT chuyên Lê Quý Đôn Tổ : 1 Lớp : 10 Toán Họ và tên: Nguyễn Trung Hiếu CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH A.Phương trình vô tỉ: I.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. 1.Phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ : Giải phương trình 111525215 22 +−=−− xxxx Giải: ĐK: 011152 2 ≥+− xx Đặt txx =+− 11152 2 ta có 06 2 =−+ tt Tìm t sau đó suy ra x ( chú ý đối chiếu với điều kiện nghiệm đúng ) 2.Phương pháp đưa về hệ phương trình: Thường được dùng để giải pgương trình vô tỉ có dạng kdcxbax =+±+ Ví dụ: Giải phương trình: 4123 =+++ xx Đặt 3+= xa ; 12 += xb Khi đó ta có hệ:    =− =+ 52 4 22 ba ba Giải và tìm a, b rồi suy ra x 3.Phương pháp bất đẳng thức: Ví dụ : Giải phương trình: y yy 6 2 3 14 3 .4 2 ++=+ Giải: Theo bất đẳng thức Cô si ta có : 2 6 6 y y + ≤ Do đó: 60 3 )6( 424 3 .4 22 =⇒≤ − ⇔+≤+ y y y y 4.Phương pháp lượng giác: Giải: ĐK : 1≥x Đặt ax cos= và biến đổi đơn giản ta có: ( ) 0 2 sin1.1cos2 =       +− a a suy ra a và từ đó suy ra x 5.Phương pháp nhân liên hợp: Ví dụ: Giải phương trình: 4 3 2 1 116 −=− xx Giải: Phương trình tương đương với: 2 1 2 1 1 2 1 .1 2 1 . 4 1 2 . 2 1 .161 2 1 8 1 .16 4 2 4 3 =⇒−=         +−         +−       ++       −⇔−−=       − xxxx x xxxx II.MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ: Bài 1:Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 6336 12.1.12.1121.1 −+−+=−++ xxxxxx Giải: ĐK: 2 1 ≥x Đặt xa = 12 −= xb Phương trình đã cho trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) 112 333333 1.11.1 3 23 2 3 23 2 3 23 2 =⇔−=⇔=⇔= =+≥       +++       ++= +=+⇔ ++=++ xxxbaVTVP VPbaab baabba VT baabba baabba Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1=x Bài 2:Giải phương trình: ( ) ( ) 121.12. 4 =−+−+ xxxxx Giải: ĐK: 0 2 1 ≥≥ x Đặt ax = 4 bx =− 4 21 Phương trình trở thành: ( ) 1 224 =++ baaba ( ) 44 22 4 2 2 ba ba aVT +≤ + +≤ (do ( ) 44 2222 2 ; 2 ba baba ab +≤ ++ ≤ ) ) Hay ( ) mtxxxVPVT / 3 1 21 =⇔−=⇔= Vậy phương trình có nghiêm duy nhất 3 1 =x Bài 3:Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 12.9212.122 −=+−−+ xxxxxx Giải: Cách 1: Đặt bxxa =−= 12; với 0, ≥ba Phương trình đã cho trở thành: ( ) ( ) ababba 92.2 =++ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: ( ) ( ) abbbabaa 9. ≥++++ Đẳng thức xảy ra khi: 112 =⇒−=⇔= xxxba Vậy 1=x là nghiệm của phương trình. Cách 2: ĐK: 2 1 ≥x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VPxxxx xxxxxxxxxxVT =−−≥ ≥−++−+−+=−+−+= 3 3 12 12.9 12.1212122.122 Mà ( ) mtxxxVPVT \112 =⇔−=⇔= Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: 1 = x Cách 3: ( ) * 3 2 . 3 2 . 3 2       +       +       + ≤ mppnnm mnp (Chứng minh bằng bất đẳng thức Cô-si) Áp dụng bất đẳng thức ( ) * ta có: VPVT xxxx xxxx =⇔         −+         +− ≤− 3 122 . 3 212 12 Bài 4: Giải phương trình: 3232 44 =−+ xx Giải:ĐK: 0 2 3 ≥≥ x 444 23 xxxVT −++= ( ) ( ) ( ) ( ) 3 323.111.111.111 44444444444 ≤⇒ =−++++++++≤ VT xxxVT mà 13 =⇔= xVT Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: 1=x Bài 5:Giải phương trình: 13626 2 +−=++− xxxx Giải:ĐK: 62 ≤≤− x Áp dung bất đẳng thức Bu-nha-a-cốp-xky ta có: ( ) ( ) ( ) 426.1126 22 =++−+=++− xxxx mà ( ) 443136 2 2 ≥++=+− xxx Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: ( )      = − = + ⇔      =++ =++− 3 6 1 2 1 443 426 2 x xx x xx Hệ phương trình trên vô nghiệm nên phương trình vô nghiệm. Bài 6:Giải phương trình: 513413 −+−=+ xxx ĐK: 3 1 −≥x ( ) ( ) 43213 43213 2 +++−−=−⇔ ++−−=+⇔ xxx xxxPT Đặt 1332 +=+− xy ĐK 2 3 ≤y Khi đó ta có hệ ( ) ( ) ( ) ( )      +=+− ++=+− ⇔      +=+− +++−−=+− 1332 1232 1332 43232 2 2 2 2 xy yxx xy xxy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    −= = ⇔=−+−⇔ −−=−+−⇔−−=−−−⇒ xy yx yxyx yxyxyxyxyx 252 0522. .23.423232 22 *Với yx = thay vào ( ) 1 ta có: 08154 2 =+− xx Kết hợp với ĐK 8 9715 − =⇒ x *Với xy 252 −= Thay vào ( ) 1 ta được: 03114 2 =+− xx Kết hợp với ĐK 8 7311− =⇒ x Bài 7:Giải phương trình: 7340452 22 =+−+++ xxxx Giải: Phương trình đã cho tương đương với: ( ) ( ) 7336241 22 =+−+++ xx Gọi ( ) ( ) ( ) 6;2;2;1;0; BAxM −− ( ) ( ) 73 362 41 7383 2 2 22 =≥+ +−= ++= =+=⇒ ABMBMA xMB xMA AB Đẳng thức xảy ra ( ) ( )          ≤ −= −= ⇔      ≤ −=− −=−− ⇔    ≤ = ⇔ 0 4 1 3 1 0 62 21 0 k x TMk k k xkx k BkMAM   Vậy 4 1 −=x là nghiệm của phương trình. Bài 8:Giải phương trình: ( )( ) ( ) 3 33 3 161212121234 xxxxxx =−+++−+ Giải: Áp dụng hằng đẳng thức quen thuộc: ( ) ( ) baabbaba +++=+ 3 33 3 Từ đó ta được phương trình ban đầu tương đương: ( ) 333 3 3 33 161212161212 xxxxxx =++−⇒=++− Thế vào phương trình ban đầu ta dễ dàng giải được 2 1 ;0 −== xx Bài 9: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 22.1. xxxxx =++− Tập xác định: 2≤x hoặc 0=x hoặc 1≥x *Với 0 = x phương trình có nghiệm đúng. *Với 1 ≥ x ( ) 1 x 8 9 221 ≥=⇔=++−⇔ TMxxxxPT *Với 2 −≤ x ( ) -2 x 8 9 221 ≤=⇔−=−−+−⇔ KTMxxxxPT Đáp số: 8 9 ;0 == xx Bài 10:Giải phương trình. 112 3 −−=− xx Giải: Cách 1:Đặt 101 2 +=⇒≥−= txxt Và phương trình trở thành ( ) 10;2;10 t 3;1;011 3 2 ===⇔≥===⇔−=− xxxTMttttt Cách 2:ĐK: 1≥x Lập phương 2 vế ta có. ( ) 3 11314 −−−−=−− xxx Đặt ( ) 01 ≥=− ttx nên 1 2 −= xt ta có: 034 23 =−+− ttt vậy 3;1;0 === ttt Xét 0 = t thì 1 = x Xét 3=t thì 10=x Xét 1 = t thì 2 = x Cách 3:ĐK 1≥x Đặt ux =− 3 2 vx =−1 Từ đó ta có : ( ) 0211 1 1 23 2 3 33 =−+⇔=−+⇒    =+ −= uuuuu vu vu ( ) ( ) ( )      = = = ⇔      −= = = ⇔ TMx TMx TMx u u u 10 1 2 2 1 0 Vậy phương trình có 3 nghiệm: 10;2;1 === xxx Bài 11:Giải phương trình. 11414 2 =−+− xx Giải: ĐK: 2 1 014 014 2 ≥⇔    ≥− ≥− x x x Với 10121414 2 1 2 =+−=−+−⇒= xxx Với 10121414 2 1 2 =+−>−+−⇒> xxx ( Trái với giả thiết ) Do đó phương trình có nghiệm duy nhất 2 1 =x Bài 12:Giải phương trình: ( ) Rxxxx ∈=+−+− 01312 2 Đặt ( ) 2 1 0t ; 12 2 + =⇒≥−= t xxt Phương trình trở thành: ( ) ( ) 012.1014 2 2 24 =−+−⇔=−− ttttt    −= = ⇔ 12 1 t t (Do 0 ≥ t ) Với 12 −=t ta có: 22 −=x Với 1=t ta có: 1=x Vậy phương trình có 2 nghiệm : 1 x; 22 =−=x Bài 12:Giải phương trình: 12910291 2 =−+−+−+− xxxx Giải:ĐK: 19 ≥≥ x Đặt ( ) 0t 91 ≥=−+− txx Nên 91028 22 −+−=− xxt Phương trình trở thành: 020128 22 =−+⇒=−+ tttt Ta được: 5;4 −== tt (loại) Với 4 = t ta có 02510 2 =−+− xx Vậy 5 = x Bài 13:Giải phương trình: 55 2 =++ xx Giải: Cách 1: ĐK ( ) 05 ≥−≥ yx Đặt 55 2 +=⇒+= xyxy       +− = − = ⇔                ±− = −≥      ± = ≤≤− ⇔           =−+ −≥    =−− ≤≤− ⇔                     =−+ += ≥ −≥        =−− −= ≥ −≥ ⇔             =+− =+ =+ ≥ −≥ ⇔        ++− =+ ≥ −≥ ⇔        =− =+ ≥ −≥ ⇔ 2 171 2 211 2 171 1 2 211 05 04 1 05 05 04 1 0 5 05 0 5 01 0 5 0 5 5 0 5 5 5 0 5 2 2 2 2 2 22 2 2 2 x x x x x x xx x xx x xx xy y x xx xy y x yx yx yx y x yxyx yx y x xy yx y x Vậy phương trình có 2 nghiệm: 2 211− =x ; 2 171+− =x Bài 14:Giải phương trình: ( ) 12 2 2 2 = + + x x x Đặt tx tan2=       −∈ 2 ; 2 ππ t Nhận xét:       ∈⇒> 2 ;00 π tx (1) trở thành: 1sin2tan2 cos 2 tan22 tan2 =+⇔=+ tt t t t ( ) ( ) 13 324112 2sin 2sin112 2sin 2cos12 cossin2 sin2.2 tan2 132sin 4 ;0 312sin 4 ;0 2sin222sin 4 ;0 cossin212sin 2 1 0sincos sincos2sin 2 2 coscossin2sin 22 2 2 −       +−− = −− =⇔ − ===      −=       ∈ ⇔      ±−=       ∈ ⇔      −=       ∈ ⇔      −= ≥− ⇔ −=⇔=+⇔ t t x t t tt t tx t t t t tt t ttt tt ttttttt π π π B.Chuyên đề phương trình chứa dấu giá trị tuệt đối I.Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Nếu phương trình không thể đưa về các dạng cơ bản sau: BA = hay BA = Ta có thể sử dụng các phương pháp sau đây: 1. Giải bằng định nghĩa. Xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối, sau đó khử dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa (để đơn giản hơn trong quá trình thực hiện, ta cũng có thể dùng bảng xét dấu):    <− ≥ = 0 0 AKhiA AKhiA A VD1: Giải phương trình ( ) 1 411 =−++ xx Giải: Nếu x<-1 thì: ( ) 24111 −=⇔=+−−−⇔ xxx Nếu -1<x<1 thì: ( ) ( ) vnxxx 204111 =⇔=+−+⇔ Nếu x>1 thì: ( ) 24111 =⇔=−++⇔ xxx Kết luận: { } 2;2−=S VD2: Giải và biện luận phương trình 0123 =+−+ aaxx Giải: [...]... ;0  4  Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5 4 II.Bài tập ứng dụng: Bài tập ứng dụng phương pháp dùng đồ thị Bài 1: Tìm a để phương trình sau có 4 nghiệm Giải: 2 2 Ta có: ( *) ⇔ f ( x ) = 2 x − 5 x + 4 − x + 5 x − a = 0 Lập bảng sau đây: f (1) = f ( 4 ) = 4 − a Ta có: 43  5  43 f = −a ⇔ 4< a < 4 2 4 Bài 2: Xác định m để phương trình sau có bốn nghiệm khác nhau Giải: Phương trình viết... Ta có: 43  5  43 f = −a ⇔ 4< a < 4 2 4 Bài 2: Xác định m để phương trình sau có bốn nghiệm khác nhau Giải: Phương trình viết thành: Dễ thấy rằng nghiệm của phương trình trên cũng chính là phương trình hoành độ giao điểm của: Vậy, phương trình có 4 nghiệm khi: 4 < a < 43 4  x ≥ −5  x ≥ −5  x ≥ −5 y ≥ 0 y ≥ 0 y ≥ 0     ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ x 2 + y = 5 x + y = 5 x + y = 5  x+ y =0 y 2 − 5 =... 3 .Phương pháp đặt ẩn số phụ: VD: Định m để phương trình sau có nghiệm x 2 − 2mx − 2m x − m + m 2 + 2m + 3 = 0 ( *) Giải: Đặt t = x − m t ≥ 0 Ta có:  2 2 2 t = x − 2mx + m Do đó: ( *) ⇔ t 2 − 2mt + 2m + 3 = 0 ( * *) (*) có nhgiệm (**) có nghiệm không âm 2m + 3 ≤ 0  P ≤ 0  2 3   ∆ ' ≥ 0  m − 2 m + 3 ≥ 0 ⇔  m ≤ −  ⇔  ⇔  2 S > 0  2 m + 3 > 0   m ≥ 3  2 m > 0  P > 0   4 .Phương. .. (**) có nghiệm không âm 2m + 3 ≤ 0  P ≤ 0  2 3   ∆ ' ≥ 0  m − 2 m + 3 ≥ 0 ⇔  m ≤ −  ⇔  ⇔  2 S > 0  2 m + 3 > 0   m ≥ 3  2 m > 0  P > 0   4 .Phương pháp toạ độ: Ví dụ: Giải phương trình x 2 − 4 x + 5 − x 2 − 10 x + 50 = 5 Giải: ( *) ⇔ ( x − 2) 2 + 12 − ( x − 5) 2 + 5 2 = 5 (1) Trên hệ trục tọa độ Oxy, xét các điểm Khi đó: (1) ⇔ MA − MB = AB ( 2) Với một bộ ba điểm ta luôn có... . Trường : THPT chuyên Lê Quý Đôn Tổ : 1 Lớp : 10 Toán Họ và tên: Nguyễn Trung Hiếu CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH A .Phương trình vô tỉ: I.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. 1 .Phương pháp đặt. để phương trình sau có bốn nghiệm khác nhau Giải: Phương trình viết thành: Dễ thấy rằng nghiệm của phương trình trên cũng chính là phương trình hoành độ giao điểm của: Vậy, phương trình. 2 −≤ x ( ) -2 x 8 9 221 ≤=⇔−=−−+−⇔ KTMxxxxPT Đáp số: 8 9 ;0 == xx Bài 10: Giải phương trình. 112 3 −−=− xx Giải: Cách 1:Đặt 101 2 +=⇒≥−= txxt Và phương trình trở thành ( ) 10; 2 ;10 t 3;1;011 3 2 ===⇔≥===⇔−=−