Sở GD và ĐT Hoà Bình Đề thi đại học năm 2010 Tr ờng thpt công nghiệp hB Môn Toán Khối D đềthi thử Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm). Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 + 3x + 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm trên Ox những điểm từ đó kẻ đợc 3 tiếp tuyến với (C). Câu II. (2,0 điểm) 1. Giải phơng trình lợng giác: 2sin2x cos2x = 7sinx + 2cosx 4 2. Giải hệ phơng trình: = = 2)yx(xy 7yx 33 Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân: I = ( ) 2 3 2 xcos1 xdxcos Câu IV. (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4 cm; AB = 3 cm; BC = 5 cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD). Câu V. (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1x 1x 2 + + trên đoạn [(1; 2]. Phần riêng (3,0 điểm). Thí sinh chỉ đợc làm 1 trong 2 phần (Phần A hoặc phần B). Phần A. Theo chơng trình Chuẩn. Câu VI.a. (2,0 điểm) Cho 2 điểm A(3; 0) và B(0; 4). 1. Viết phơng trình đờng cao của (OAB từ đỉnh O và đờng phân giác trong tại đỉnh A. 2. Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp và đờng tròn nội tiếp (OAB. Câu VII.a. (1,0 điểm) Xếp 24 thí sinh vào 12 bàn trong một phòng thi, mỗi bàn xếp đủ 2 thí sinh. Tính xác suất để hai thí sinh A và B đợc ngồi cùng bàn. Phần B. Theo chơng trình Nâng cao. Câu VI.b. (2,0 điểm) Cho 2 đờng thẳng (d1): à Đvà (d2): à Đ 1. Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2). 2. Tìm toạ độ điểm A đối xứng với điểm B(3; (3; 2) qua đờng thẳng (d1). Câu VII.b. (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n trong phơng trình: Pn.Aà Đ + 72 = 6(Aà Đ + 2Pn) (Aà Đ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử, Pn là số các hoán vị của n phần tử) Hết Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh ; Số báo danh: đáp án và biểu điểm Môn toán - Khối D Câu Nội dung đáp án Điểm Câu I (2,0 1. (1,0 điểm) Khảo sát hàm số: ( Tập xác định: D = ( Sự biến thiên: y' = (3x2 + 3 = (3(x2 ( 1) à Đy = ((; à Đ= +( 0,25 Bảng biến thiên x (( (1 1 +( 0,25 y' ( 0 + 0 ( y +( 0 4 (( Khoảng đồng biến: (((;(1), (1; +() Khoảng nghịch biến: ((1; 1) Cực đại: x = 1; y = 4; Cực tiểu: x = (1; y = 0 0,25 ( Đồ thị 0,25 2. (1,0 điểm) Tìm điểm trên Ox Trên Ox, điểm M có toạ độ (m; 0). Với hệ số góc k, đờng thẳng dM có phơng trình: y = k(x m). Điều kiện tiếp xúc là: =+ =++ k3x3 )mx(k2x3x 2 3 0,25 x 3 + 3x + 2 = (x m)(3x 2 + 3) 2x 3 3mx 2 + 3m + 2 = 0 (x + 1)[2x 2 (3m + 2)x + 3m + 2] = 0 x + 1 = 0 hoặc g(x) = 2x 2 (3m + 2)x + 3m + 2 = 0 0,25 = (3m + 2) 2 8(3m + 2) = 3(3m + 2)(m 2) YCBT Phơng trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 0,25 > 0)1(g 0 ( )( ) + >+ 06m6 02m2m3 1 m < 3 2 hoặc m > 2 0,25 Câu II 1. (1,0 điểm) Giải phơng trình lợng giác: 2sin2x cos2x = 7sinx + 2cosx 4 4sinxcosx 2cosx + 2sin 2 x 7sinx + 3 = 0 2cosx(2sinx 1) + (2sinx 1)(sinx 3) = 0 0,25 (2sinx 1)(2cosx + sinx 3) = 0 sinx = 2 1 hoặc 2cosx + sinx 3 = 0 0,25 Đánh giá đợc phơng trình 2cosx + sinx 3 = 0 vô nghiệm. 0,25 Kết quả: x = 6 + k2, x = 6 5 + k2 0,25 2. (1,0 điểm) Giải hệ phơng trình: PT = =++ )2(2)yx(xy )1(7)xyyx)(yx( 22 0,25 2 x -2 -1 1 2 y 1 2 3 4 O (2,0 điểm) Ta thấy xy = 0 không thoả mãn hệ phơng trình nên từ (2) ta có: x y = xy 2 Thay vào (1), ta thu đợc: xy 2 (x 2 + y 2 + xy) = 7 2(x 2 + y 2 + xy) = 7xy 2(x 2 + y 2 + xy) 7xy = 0 (2x y)(x 2y) = 0 0,25 y = 2x hoặc x = 2y Với y = 2x, ta thu đợc: x 3 = 1 x = 1 y = 2 0,25 Với x = 2y, ta thu đợc: y 3 = 1 y = 1 x = 2 Kết quả: (x; y) = (1; 2) hoặc (x; y) = (2; 1). 0,25 Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: Đặt tan 2 x = t dx = 2 t1 dt2 + ; x = 3 t = 3 1 ; x = 2 t = 1 0,25 cosx = 2 2 t1 t1 + 1 cosx = 2 2 t1 t2 + ( ) 2 xcos1 xdxcos = dt t t1 . 2 1 4 2 0,25 I = 1 3 1 4 2 dt t t1 2 1 = 1 3 1 24 dt t 1 t 1 2 1 = 1 3 1 3 t 1 t3 1 2 1 + 0,25 = 2 1 ( 3 1 + 1) 2 1 ( 3 1 .3 3 + 3 = 2 1 . 3 2 = 3 1 0,25 Câu IV (1,0 điểm) Tính khoảng cách Từ giả thiết suy ra ABC tại A, do đó AB AC. Mặt khác AD (ABC) AD AB và AD AC Vậy AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. 0,25 Gọi AE là đờng cao của ABC; AH là đờng cao của ADE thì AH chính là khoảng cách cần tính. Trong ABC vuông, ta có: 2 AE 1 = 2 AB 1 + 2 AC 1 0,25 Trong ADE vuông, ta có: 2 AH 1 = 2 AD 1 + 2 AE 1 2 AH 1 = 2 AD 1 + 2 AB 1 + 2 AC 1 0,25 Thay AC = AD = 4cm; AB = 3cm vào ta tính đợc: AH = 17 346 cm 0,25 Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Tập xác định: D = Trong đó [1; 2] 0,25 3 A B C E D H Ta có: y' = 32 )1x( x1 + ; y' = 0 x = 1 0,25 Trong đó: y(1) = 0; y(1) = 2 ; y(2) = 5 3 . 0,25 Kết quả: ]2;1[ max y = y(1) = 2 và ]2;1[ min y = y(1) = 0 0,25 1. (1,0 điểm) Viết phơng trình đờng cao: Ta có AB = (3; 4) là vectơ pháp tuyến của đờng cao từ đỉnh O. Phơng trình đờng cao từ đỉnh O là 3x 4y = 0 0,25 Phơng trình cạnh AB là 4x + 3y 12 = 0 và phơng trình cạnh AO là y = 0 0,25 Phơng trình đờng phân giác đợc xác định: 4x + 3y 12 = 5y 2x y 6 = 0 hoặc x + 2y 3 = 0 0,25 Xác định đờng phân giác trong tại đỉnh A là: có x + 2y 3 = 0 0,25 2. (1,0 điểm) Viết phơng trình đờng tròn: Trung điểm AB là I có toạ độ ( 2 3 ; 2) chính là tâm đờng tròn ngoại tiếp OAB. 0,25 Bán kính đờng tròn ngoại tiếp OAB là R = 2 AB = 2 5 Phơng trình đờng tròn ngoại tiếp là: (x 2 3 ) 2 + (y 2) 2 = 4 25 0,25 Phân giác trong tại đỉnh O có phơng trình y = x Tâm J của đờng tròn nội tiếp đợc xác định: =+ = 03y2x xy x = y = 1 0,25 Ta thu đợc bán kính đờng tròn nội tiếp là r = 1 phơng trình đờng tròn nội tiếp OAB là: (x 1) 2 + (y 1) 2 = 1 0,25 Câu VII.a (1,0 điểm) Tính xác suất: Phép thử T: Xếp 24 học sinh vào phòng thi có 12 bàn, mỗi bàn 2 thí sinh || = C 2 24 .C 2 22 .C 2 20 .C 2 18 C 2 4 .C 2 2 0,25 Biến cố X: Hai thí sinh A và B ngồi cùng bàn | X | = 12. C 2 22 .C 2 20 .C 2 18 C 2 4 .C 2 2 0,5 P(X) = 2 24 C 12 = 276 12 = 23 1 0,25 Câu VI.b (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Tính khoảng cách Ta có (d 1 ) đi qua M 1 (2; 0; 1) và nhận 1 u = (1; 1; 2) là vectơ chỉ phơng; (d 2 ) đi qua M 2 (1; 2; 0) và nhận 2 u = (2; 1; 1) là vec tơ chỉ phơng. 0,25 Với [ 1 u , 2 u ] = (3; 3; 3), xét mặt phẳng (P) chứa (d 2 ) và song song với (d 1 ) (P)M 2 (1; 2; 0) và có thể chọn vectơ pháp tuyến là (3; 3; 3) hoặc (1; 1; 1) 0,25 Ta thu đợc phơng trình mặt phẳng (P): x y + z + 3 = 0 0,25 Khi đó khoảng cách (d 1 , d 2 ) = khoảng cách (M 1 , (P)) = 3 34 3 4 111 3102 222 == ++ + 0,25 2. (1,0 điểm) Tìm điểm đối xứng: Xét mặt phẳng (Q) chứa B và vuông góc với (d 1 ) thì vectơ pháp tuyến của (Q) là (1; 1; 2) phơng trình mặt phẳng (Q) là: x y 2z 2 = 0 0,25 4 Gọi H (d 1 ) (Q) ta thu đợc t = 3 1 Toạ độ H là ( 3 5 ; 3 1 ; 3 1 ) 0,25 Ta thấy A, B đối xứng nhau qua (d 1 ) H là trung điểm AB OA + OB = 2 OH OA = 2 OH OB 0,25 x A = 2x H x B = 3 10 3 = 3 1 , y A = 2y H y B = 3 2 + 3 = 3 11 , z A = 2z H z B = 3 2 2 = 3 8 . Kết quả tọa độ A là: ( 3 1 ; 3 11 ; 3 8 ) 0,25 Câu VII.b Tìm số tự nhiên n: Ta có P n .A 2 n + 72 = 6(A 2 n + 2P n ) n!.n(n 1) + 72 = 6[n(n 1) + 2.n!] n!.n(n 1) + 6.12 6n(n 1) 12.n! = 0 0,5 n!(n 2 n 12) 6(n 2 n 12) = 0 (n! 6)(n + 3)(n 4) = 0 0,25 n! 6 = 0 = 0 hoặc n 4 = 0 n = 3, n = 4. 0,25 Chú ý: Mọi lời giải khác, nếu đúng vẫn chấm điểm tối đa. Hết Đáp án này có 4 trang. 5 . Sở GD và ĐT Hoà Bình Đề thi đại học năm 2010 Tr ờng thpt công nghiệp hB Môn Toán Khối D đ thi thử Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Phần. (1,0 điểm) Khảo sát hàm số: ( Tập xác định: D = ( Sự biến thi n: y' = (3x2 + 3 = (3(x2 ( 1) à Đy = ((; à Đ= +( 0,25 Bảng biến thi n x (( (1 1 +( 0,25 y' ( 0 + 0 ( y +( 0 4 (( Khoảng. xy 2 Thay vào (1), ta thu đợc: xy 2 (x 2 + y 2 + xy) = 7 2(x 2 + y 2 + xy) = 7xy 2(x 2 + y 2 + xy) 7xy = 0 (2x y)(x 2y) = 0 0,25 y = 2x hoặc x = 2y Với y = 2x, ta thu đợc: x 3 = 1