2 Bài 1: LUYỆN ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2010 MÔN TOÁN LỚP 12 CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Cho khối chóp S.ABC . Trên ba cạnh SA; SB; SC lần lượt lấy ba điểm A'; B'; C' (không trùng S). Gọi V và V' lần lượt là thể tích khối chóp S.ABC;S.A ' B ' C ' .Chứng minh rằng: V ' = SA ' ⋅ SB ' ⋅ SC ' V SA SB SC 1 Bài 2: ĐS: 2 Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AM, song song với BD chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. a 3 2 a 6 Bài 3: ĐS: a) ; b) 6 6 Cho hình chóp tứ giác đều có các cạnh bằng a: S.ABCD a) Tính thể tích khối chóp. b) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến các mặt của hình chóp. Bài 4: ĐS: V = 16a 3 45 Khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA ⊥ ( ABCD ) ; SA = 2a . Gọi E; F là hình chiếu của A trên SB và SD. I là giao điểm của SC và (AEF). Tính thể tích khối chóp S.AEIF . Bài 5: ĐS: V = 8 3 Cho lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 đáy là tam giác đều. Mặt phẳng ( A 1 BC ) tạo với đáy một góc 30 0 và ΔA 1 BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. 3 5 Bài 6: ĐS: V = 10 Khối lăng trụ ABC.A 1 B 1 C 1 có đáy là tam giác vuông cân, cạnh huyền AB = 2 . Mặt phẳng ( AA 1 B ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , khối lăng trụ. AA 1 = 3 ; ∠A 1 AB nhọn; ∠ ( ( A 1 AC ) ; ( ABC ) ) = 60 0 . Tính thể tích Bài 7: ĐS: b) V = 20 5; V = 10 5 Khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A 1 D bằng 2; độ dài đường chéo mặt bên bằng 5. a) Hạ AK ⊥ A 1 D ( K ∈ A 1 D ) . Chứng minh rằng AK = 2 . b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 Bài 8: (D.2002) ĐS: 6 34 ( cm ) 17 Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm ; AB = 3cm ; BC = 5cm . Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD). Bài 9: (A.2002) ĐS: S = a 10 ( dvdt ) 16 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Bài 10: ĐS: Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC có AB = BC = 2a, góc ABC bằng 120 0 . Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC). 21 Bài 11: ĐS: 7 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông http://kinhhoa.violet.vn 1 góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). http://kinhhoa.violet.vn 2 3 2 57a 3 3a 3 Bài 12: (D.2006) ĐS: a) b) 19 50 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) b) Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Bài 13: ĐS: V = a 3 2 12 Hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh bên SA = SB = SC = a ; ∠ ASB = 120 0 ; ∠ BSC = 60 0 ; ∠ASC = 90 0 . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và tính thể tích hình chóp S.ABC theo a. 4a 3 3 Bài 14: ĐS: ; cos α = 3cos α ⋅ sin 2 α 3 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a. Góc giữa các mặt bên và mặt đáy là α. a) Tính thể tích khối chóp theo a va α. b) Xác định α để thể tích khối chóp nhỏ nhất. Bài 15: (B.2006) ĐS: V = a 3 2 36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a ; AD = a 2 ; SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. Bài 16: (D.2009) ĐS: V = 4a 3 ; d = 2a 5 9 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a ; AA ' = 2a ; A ' C = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C', I là giao điểm của AM và A'C. a) Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). Bài 17: (A.2009) ĐS: V = 3 15 a 3 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a ; CD = a ; góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 9a 3 Bài 18: (B.2009) ĐS: V = 208 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 ; tam giác ABC vuông tại C và ∠ BAC = 60 0 . Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a. Bài 19: ĐS: V = 3a 3 Trong không gian cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SC = a 7 . Góc tạo bởi (ABC) và (SAB) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Bài 20: ĐS: V = a 6 Trong không gian cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, góc ∠ABC = 60 0 . SO vuông góc a 3 với đáy (O là tâm mặt đáy), SO = . M là trung điểm của AD, (P) là mặt phẳng qua BM và song song 2 với SA, cắt SC tại K. Tính thể tích khối chóp K.ABCD 3 Bài 21: ĐS: AH = a 2 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). Tính a 6 khoảng cách từ A đến mp(SBC) theo a, biết SA = . 2 Bài 22: (Chuyên ĐH Vinh 2008) ĐS: V = 2a 3 ; h = 3 5a 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD = a 2; CD = 2a . Cạnh SA vuông góc đáy và SA = 3 2a . Gọi K là trung điểm AB. a) Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SDK) b) Tính thể tích khối chóp C.SDK theo a; Tính khoảng cách từ K đến (SDC). Bài 23: ĐS: V = a 3 6 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAC) vuông góc với đáy, ∠ ASC = 90 0 ; SA tạo với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp. Bài 24: ĐS: V = a 3 3 12 Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA' cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích a 2 3 8 . Tính thể tích khối lăng trụ. a 3 Bài 25: ĐS: V = 16 Hình chóp S.ABC có AB = AC = a; BC = a ; SA = a 3; ∠ SAB = ∠ SAC = 30 0 . 2 Tính thể tích của khối chóp theo a. a 3 a 3 3 Bài 26: ĐS: a) b) 4 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC và khoảng cách a 3 từ G đến mặt bên (SCD) bằng . 6 a) Tính khoảng cách từ tâm của mặt đáy đến mặt bên (SCD). b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 27: ĐS: c) a 36 Cho hình chóp S.ABC có đường cao AB = BC = a; AD = 2a , đáy là tam giác vuông cân P . Gọi B' là trung điểm của SB; C' là chân đường cao hạ từ A xuống SC. a) Tính thể tích khối chóp ABC.A ' B ' C ' . b) Chứng minh rằng A ' ABC . c) Tính thể tích khối chóp S.AB ' C ' a 3 2 a 7 Bài 28: (D.2008) ĐS: a) ; b) 2 7 Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. a) Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' . b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C. Bài 29: (B.2008) ĐS: V = 2 3a 3 ; cos ϕ = 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a; SA = a;SB = a 3 3 5 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; BC. Tính thể tích khối chóp S.BMDN và góc giữa (SM; ND) 3 3 Bài 30: (CĐ.2008) ĐS: a) a 3 ; b) a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang 3 ∠ BAD = ∠ ABC = 90 0 ; AB = BC = a; AD = 2a . SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi M; N lần lượt là trung điểm của SA; SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khối chóp S.BCNM. Bài 31: (A.2008) ĐS: V = a ; cos α = 1 2 4 Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a; AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A '.ABC và cosin của góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C'. Bài 32: (A.2007) ĐS: V = a 3 3 96 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB; BC; CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP. Bài 33: (A.2007 – DB1) ĐS: d = a 5 3 Lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 có AB = a; AC = 2a; AA 1 = 2a 5 và ∠ BAC = 120 0 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC 1 . Chứng minh rằng MB ⊥ MA 1 và tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (A 1 MB). 3 13a Bài 34: (A.2007 – DB2) ĐS: d = 13 Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 . Các tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAC) 2a 3 Bài 35: (B.2007 – DB1) ĐS: V = 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy. Cho AB = a; SA = a 2 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB; SC. Chứng minh SC ⊥ ( AHK ) và tính thể tích khối chóp OAHK. Bài 36: (B.2007 – DB2) ĐS: V = R 3 6 12 Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho ∠ ( SA B , SB C ) = 60 o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh ΔAHK vuông và tính V SABC ? Bài 37: (D.2007 – DB1) ĐS: V = a 3 3 12 Lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 có đáy là tam giác vuông AB = AC = a; AA 1 = a 2 . Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AA 1 và BC 1 . Chứng minh rằng MN là đoạn vuông góc chung của AA 1 và BC 1 . Tính thể tích khối chóp MA 1 BC 1 . Bài 38: (D.2007 – DB2) ĐS: d = a 10 30 Cho lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA 1 . Chứng minh BM ⊥ B 1 C và tính d ( BM;B 1 C ) Bài 39: (B.2007) ĐS: d = a 2 4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa MN và AC (theo a). 3 π Bài 40: (D.2007) ĐS: h = a 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang; ∠ABC = ∠BAD = 90 0 ; AD = 2a ; BA = BC = a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông. b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) . Bài 41: (A2008.DB2) ĐS: V = a 36 Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông. SA = SB = SC = a . Gọi M; N; E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; AC; BC. D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của AD và (SMN). a) Chứng minh rằng AD ⊥ SI . b) Tính theo a thể tích khối tứ diện M.BSI. Bài 42: (A.2006 – DB1) ĐS: V = 3a 3 16 Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có các cạnh AB = AD = a; AA ' = a 3 2 và góc ∠BAD = 60 0 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A'D' và A'B'. Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN. Bài 43: (A.2006 – DB2) ĐS: V = 10 3 a 3 27 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = 2a ; cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60 0 . Trên cạnh SA lấy M sao cho SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM. AM = a 3 , mặt phẳng (BCM) cắt 3 Bài 44: (B.2006 – DB1) ĐS: V = 3a 3 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc ∠ BAD = 60 0 . SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a . Gọi C' là trung điểm SC, mặt phẳng (P) đi qua AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B', D'. Tính thể tích của khối chóp S.AB'C'D'. Bài 45: (B.2006 – DB2) ĐS: tan α = 2 3b 2 − a 2 a a 2 ; V A '.BB ' C ' C = 3b 2 − a 2 6 Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có A ' ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a , cạnh bên AA ' = b . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC). Tính tan α và thể tích khối chóp A ' BB ' C ' C . 2 a 3 b Bài 46: (D.2006 – DB1) ĐS: V = ⋅ 3 a 2 − 16b 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 47: (D.2006 – DB1) ĐS: V 1 = a 3 ; V 2 = 3 2a 3 3 Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC' sao cho: CK = 2a . 3 Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó. Bài 48: ĐS: V = 3 2 π a 3 ( dvtt ) ; S xq = 3a 2 Bài 49: 1 6 2 Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A; B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 45 0 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ. Cho hình hón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai đường sinh. Biết SO = 3a , khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng a, diện tích tam giác SAB bằng 18a 2 . Tính thể tích và diện tích xung quanh của khối nón đã cho. a 2 Bài 50: ĐS: S tp = 4 π a 2 ; V = π a 3 ; V O.O.AB = a 3 3 12 ( dvtt ) Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O và O'. Bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB = 2a . a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ. b) Tính thể tích tứ diện OO'AB. Bài 51: ĐS: V = 7 3r 3 Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích khối chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ. (Hình chóp ngoại tiếp hình cầu nếu hình cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp) Bài 52: Bài 53: Bài 54: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC độ dài cạnh bên bằng a. Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy một góc α. Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình chóp. Cho hình chóp S.ABCD . Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Đáy ABCD là tứ giác nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết SA = h Hình cầu đường kính AB = 2R . Lấy H trên AB sao cho AH = x, ( 0 < x < 2R ) . Mặt phẳng (P) vuông góc với AB tại H cắt mặt cầu theo giao tuyến là hình tròn (C), MNPQ là hình vuông nội tiếp trong hình tròn giao tuyến (C). a) Tính bán kính đường tròn giao tuyến; tính độ dài MN; AC b) Tính thể tích khối đa diện tạo bởi hai hình chóp A.MNPQ vàB.MNPQ. Đáp số: a) r = x ( 2R − x ) ; MN = r 2 = 4R 8R 2 2x ( 2R − x ) ; AC = 4R 3 2Rx b) V = − x 2 + x; V max = , ( x = R ) 3 3 3 4 π a 4 Bài 55: ĐS: S = 3a 2 − b 2 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AC = BD = a ; AD = b . Hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau. a) Chứng minh tam giác ACD vuông. b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bài 56: a Hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, tâm đáy là O; chiều cao SH = . 2 a) CMR tồn tại mặt cầu tâm O tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp. Tính bán kính của mặt cầu. b) (P) là mp // với (ABCD) và cách (ABCD) một khoảng x ( 0 < x < R ) . S td là diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp (bỏ đi phần diện tích nằm trong mặt cầu). Xác định x để S td = π R 2 Đáp số: a) R = ; b) S td = ( 4 + π ) x 2 − 4ax + 8 − π a 2 = π a 2 ⇒ x = 4 − π a 4 8 2 ( 4 + π ) Bài 57: ĐS: S = 4 π R 2 = 29 π a 2 29 29 π a 3 ; V = 16 384 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy và chiều cao cùng bằng a. Gọi E; K lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC. a) Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK. b) Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK. Bài 58: ĐS: S = 24 π a 2 9 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 30 0 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. . nhỏ. (Hình chóp ngoại tiếp hình cầu nếu hình cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp) Bài 52: Bài 53: Bài 54: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC độ dài cạnh bên bằng a. Các mặt bên hợp với. đó. a 3 2 a 6 Bài 3: ĐS: a) ; b) 6 6 Cho hình chóp tứ giác đều có các cạnh bằng a: S.ABCD a) Tính thể tích khối chóp. b) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến các mặt của hình chóp. Bài 4: ĐS: V. trụ. a 3 Bài 25: ĐS: V = 16 Hình chóp S.ABC có AB = AC = a; BC = a ; SA = a 3; ∠ SAB = ∠ SAC = 30 0 . 2 Tính thể tích của khối chóp theo a. a 3 a 3 3 Bài 26: ĐS: a) b) 4 6 Cho hình