®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải các phương trình sau: a) x - 294 x - 296 x - 298 x - 300 + + + = 4 1700 1698 1696 1694 b) 1 1 1 1 + + = 2 2 2 18 x + 9x + 20 x +11x + 30 x +13x + 42 Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau: a) m(m-6)x + m = -8x + m 2 – 2 b) (m 2)x 3 2m 1 x 1 − + = − + c) (2m 1)x m x m x 1 + − = + − d) (3m 2)x 5 3 x m − − = − − e) ( ) 2 m x 3x 2m 1 x 2− = − − f) 2m 5 m 5 0 x 2 + + − = − g) 2x m x m 1 1 x 1 x + + − − = − h) x 1 x 1 0 x m 2 x m 2 + − − = + + − + i) 2 m 3m 4m 3 1 2 2 x m x m m x − + + = − + − Bài 3: Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn phương trình: 41x23x =++− Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: |x| + |1-x| = m HD: Điều kiện cần và đủ. Bài 5: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 3|x| + 2ax = 3a - 1 Bài 6: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt 4 2 2 x x 2mx m 0− + − = HD: ( ) 2 x x m 0 (1) 2 4 x x m 0 2 x x m 0 (2) + − = − − = ⇔ − + = Ycbt ⇔ (1)& (2) mỗi pt có 2 nghiệm phân biệt nhưng không có n o chung 2 n o phân biệt …. G/s có nghiệm x o chung thì 2 x x m 0 o o x 0 m 0 o 2 x x m 0 o o + − = ⇒ = ⇒ = − + = Bài 7: Biện luận số nghiệm của phương trình: |x - 2| + |x - 1| + |x| = m Bài 8: Giải các phương trình sau: |2 - |2 - x|| = 1 Bài 9: Tìm a để phương trình |2x 2 – 3x - 2| = 5a – 8x - 2x 2 có nghiệm duy nhất Bài 10: Cho phương trình: (1+ m 2 )x 2 – 2mx + 1 – m 2 = 0 a) CMR với mọi m > 1 phương trình luôn luôn có nghiệm. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m. HD: ( ) ( ) 1xxxx 2 21 2 21 =++ Bài 11: Cho phương trình: ( ) 01mx1m2x 2 =+−+− Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x 2 mà không phụ thuộc vào m. Bài 12: Giả sử phương trình ax 2 + bx + c = 0 có đúng một nghiệm dương là x 1 . CMR phương trình cx 2 + bx + a = 0 cũng có đúng một nghiệm dương gọi là x 2 .CMR x 1 + x 2 2≥ Bài 13: Cho hai phương trình: 01axx;0axx 22 =++=++ a) Với giá trị nào của a thì hai phương trình có nghiệm chung? b) Với giá trị nào của a thì hai phương trình tương đương? 1 ®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh HD: a)Gọi x o là nghiệm chung 2 x x a 0 x 1 o o o 2 a 1 x ax 1 0 o o + + = = ⇒ ⇒ = + + = Như vậy n o chung nếu có thì bằng 1.Thay x o = 1 vào pt => a = -2. Khi đó hai PT: 2 2 x x 2 0; x 2x 1 0+ − = − + = a = 1 hai PTVN. b)Hai PT tương đương nếu mọi nghiệm của PT này là nghiệm của PT kia (loại theo ý a)) hoặc cùng vô nghiệm. Bài 14: Cho phương trình: mx 2 – 2(m + 1)x + 2m – 1 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Khi phương trình có 2 n o x 1 & x 2 . Hãy tìm Min, Max của biểu thức P = 2 2 2 2 x x x x 2x x 1 2 1 2 1 2 + + + Bài 15: Tìm Min, Max của hàm số y = x 1 2 x x 1 + + + Bài 16: Cho hàm số y = 2 x px q 2 x 1 + + + .Tìm p; q để Maxy = 9; Miny = -1. Bài 17: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 x 3x 2 2m x x− + − = + − Bài 18: Giải và biện luận phương trình: 2 x 1 x m− − = Bài 19: Giải các phương trình vô tỷ sau: a) 2 2 x 3x 3 x 3x 6 3− + + − + = b) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1+ − − + + − − = c) 1 1 1 1 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 x + + = + + + + + + + + d) (x - 1)(x + 2) + 2(x - 1) x 2 8 x 1 + = − Bài 20: Cho phương trình: x 2 + 4x – m = 0. Xác định m để phương trình: a) Có nghiệm thuộc khoảng (-3; 1). b) Có đúng một nghiệm thuộc (-3; 1). c) Có hai nghiệm phân biệt thuộc (-3; 1). Bài 21: Cho phương trình: x 2 – 6x – 7 – m = 0. Xác định m để phương trình: a) Có nghiệm thuộc D = ( ) ( ) +∞∪∞− ;70; b) Có đúng một nghiệm thuộc D. c) Có hai nghiệm phân biệt thuộc D. Bài 22:Cho phương trình ( ) 2 m 1 x 2mx m 4 0− − + − = . Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập với tham số m. Bài 23: Cho phương trình bậc hai: ( ) 2 x m 1 x 5m 6 0+ − + − = Xác định giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức: 4x 3x 1 1 2 + = Bài 24: Cho hai phương trình bậc hai: 2 2 x p x q 0; x p x q 0 1 1 2 2 + + = + + = CMR nếu hệ thức sau đây thỏa mãn thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm: ( ) p p 2 q q 1 2 1 2 = + . 2 ®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh BẤT ĐẲNG THỨC I. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: Bài 1:Cho a + b + c ≠ 0. CMR: cba cba 333 ++ ++ ≥ cba abc3 ++ . Hd: 3 a + 3 b + 3 c – 3abc = 3 )ba( + + 3 c – 3ab(a + b) – 3abc = (a + b + c)( 2 a + 2 b + 2 c – ab – bc – ca). Bài 2: CMR ∀ a ∈ R thì 3(1 + 2 a + 4 a ) ≥ 22 )aa1( ++ . Hd: 3(1 + 2 a + 4 a ) – 22 )aa1( ++ = 3[ 22 )a1( + – 2 a ] – 22 )aa1( ++ = 3(1 + 2 a + a)(1 + 2 a – a) – 22 )aa1( ++ Bài 3: CMR nếu a, b R∈ nếu a + b ≥ 2 thì 3 a + 3 b ≤ 4 a + 4 b . Hd: [ 4 a + 4 b – ( 3 a + 3 b )] – [(a + b) – 2] = 3 a (a – 1) + 3 b (b – 1) – (a + b – 2) = [ 3 a (a – 1) – (a – 1)] + [ 3 b (b – 1) – (b – 1)] = 2 )1a( − ( 2 a + a + 1) + 2 )1b( − ( 2 b + b + 1) ≥ 0. Bài 4: Cho a, b, c > 0. CMR: 3 a b + 3 b c + 3 c a ≥ 2 a bc + 2 b ca + 2 c ab. Bài 5: Cho a, b, c, d > 0. CMR: db 1 ca 1 1 + + + ≥ b 1 a 1 1 + + d 1 c 1 1 + Bài 6: Cho a, b > 0. CMR: a) Nếu ab ≥ 1 thì a1 1 + + b1 1 + ≥ ab1 2 + . b) Nếu ab < 1 thì a1 1 + + b1 1 + ≤ ab1 2 + . Bài 7: Cho a > c, b > c, c > 0. CMR: )ca(c − + )cb(c − ≤ ab Bài 8: Cho a + b ≥ 2. CMR: 3 a + 3 b ≥ 2 a + 2 b . Hd: 3 a + 3 b = (a + b)( 2 a – ab + 2 b ) ≥ 2( 2 a – ab + 2 b ) Bài 9: a) ∀ a, b, c, d, e. CMR: ( ) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e+ + + + ≥ + + + b) ∀ a, b, c. CMR: 2 2 2 a 4b 3c 14 2a 12b 6c+ + + ≥ + + Hd: Chuyển vế phân tích thành tổng các bình phương. Bài 10: Cho a, b, c, d > 0. CMR: a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b < + + + < + + + + + + + + II.BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN Bài 1: CMR: nếu a ≥ 0, b ≥ 0 thì 3 3 a + 7 3 b ≥ 9a 2 b . Hd: Ad BĐT cho 3 số dương 3 3 a , 4 3 b , 3 3 b Bài 2: Cho a, b ≥ 0. CMR: 3 3 a + 17 3 b ≥ 18a 2 b Bài 3: Cho a, b, c > 0. CMR: (1 + b5 a )(1 + c5 b )(1 + a5 c ) ≥ 125 216 Bài 4: Cho a, b, c ≠ 0. CMR: 2 2 b a + 2 2 c b + 2 2 a c ≥ b a + c b + a c . Hd: 2 2 b a + 1 ≥ 2 b a Bài 5: Cho a, b, c > 0. CMR: 3 b a + 3 c b + 3 a c ≥ b a + c b + a c Bài 6: Cho a, b, c > 0. CMR: cb a + + ac b + + ba c + ≥ 2 3 Bài 7: Cho a, b > 0. CMR: ba 1 + + b1 a + + a1 b + ≥ 2 3 Hd: Cộng các phân số với 1, qui đồng. 3 ®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh Bài 8: Cho a, b, c > 0. CMR: 2 a b c+ + 2 b c a+ + 2 c a b+ ≥ a b c 2 + + Hd: ( 2 a b c+ + a) + ( 2 b c a+ + b) + ( 2 c a b+ + c)… Bài 9: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. CMR: 3 1 a (b c)+ + 3 1 b (a c)+ + 3 1 c (a b)+ ≥ 2 3 Hd: Đặt 1 1 1 x; y ; z a b c = = = . BĐT trở về bài 8 Bài 10: Cho a > 0 , b>0, c>0 và a + b + c = 3.CM: 4a 1 4b 1 4c 1 3 5+ + + + + ≤ Bài 11: Cho a>1 và b>1 . CMR : a b 1 b a 1 ab− + − ≤ Bài 12: Cho a > 0 , b > 0, c 0> và a + b + c = 1. CMR: a b b c c a 6+ + + + + ≤ Bài 13: Cho a > 0 , b >0, c > 0 CMR : 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + + Hd: Ad BĐT : 3 2 a abc 2a bc+ ≥ Bài 14: Cho a, b, c > 0 thỏa: 1a 1 + + 1b 1 + + 1c 1 + ≥ 2. CMR: abc ≤ 1 8 Hd: 1a 1 + ≥ (1- 1b 1 + ) + (1- 1c 1 + ) ≥ b b 1+ + c c 1+ ≥ 2 bc (b 1)(c 1)+ + . Tương tự, rồi nhân vế với vế… Bài 15: Cho a, b, c, d > 0 thỏa: 1a 1 + + 1b 1 + + 1c 1 + + 1d 1 + ≥ 3. CMR: abcd ≤ 81 1 Tổng quát: Cho i a ≥ 0, i = 1, 2, , n, n ≥ 3, thỏa 1 a1 1 + + + n a1 1 + ≥ n – 1.CMR: 1 a n a ≤ n )1n( 1 − . Bài 16: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR: 1 1 1 1 1 1 64 a b c + + + ≥ ÷ ÷ ÷ Hd: a + 1 = a + (a + b + c) 4 2 4 a bc≥ Tổng quát: Cho 1 2 n 1 2 n a ,a , ,a 0; a a a 1> + + + = . CMR: ( ) n 1 2 n 1 1 1 1 1 1 n 1 a a a + + + ≥ + ÷ ÷ ÷ Bài 17: Cho a, b, c, d > 0 . CMR: 2 2 2 2 5 5 5 5 3 3 3 3 a b c d 1 1 1 1 b c d a a b c d + + + ≥ + + + . Hd: 2 2 2 5 5 5 3 3 3 a a a 1 1 1 5 b b b a a b + + + + ≥ Bài 18: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. CMR: 1cb a ++ + 1ac b ++ + 1ba c ++ + (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≤ 1. Hd: ycbt ⇔ VT ≤ a b c a+ + + b b c a+ + + c b c a+ + ⇔ (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≤ 1 b c a+ + ( a(1 a) b c 1 − + + + ( ) b 1 b c a 1 − + + + ( ) c 1 c a b 1 − + + ) ⇔ (1 – a)(1 – b)(1 – c)(a+b+c) ≤ ( a(1 a) b c 1 − + + + ( ) b 1 b c a 1 − + + + ( ) c 1 c a b 1 − + + ) Ad BĐT: (1 – a)(1 – b)(a+b+1) 1≤ => ( ) c 1 c a b 1 − + + ≥ (1 – a)(1 – b)(1-c)c. Tương tự, phân tích …. Bài 19: Cho 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1. CMR: a b c d 1+ + + + b c a d 1+ + + + c a b d 1+ + + + d a b c 1+ + + + (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1-d) ≤ 1. Bài 20: Cho yz x-1 xz y 2 xy z 3 1 1 1 x 1,y 2,z 3. CMR : 1 xyz 2 2 3 + − + − ≥ ≥ ≥ ≤ + + ÷ 4 ®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh III. ỨNG DỤNG CỦA BĐT TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN: Bài 1: Tìm GTLN : a) y = 2 x 1 x− e) y = 3 4 4x x− b) y = x 1 x − f) y = ( ) ( ) 3 4 1 x 1 x− + với 0 x 1≤ ≤ c) y = 2 1 1 x x + − với 0<x < 1 Hd:y = 3 + 2x 1 x 1 x x − + − g) y = (3-x)(4-y)(2x + 3y), d) y = 2x + 2 1 x với x > 0 với x [ ] [ ] 0;3 ;y 0;4∈ ∈ Bài 2: Tìm GTNN của y a) Cho a > 0, y = 1 a a + b) Cho a, b 0 1 ; S ab a b 1 ab > = + + ≤ c) Cho a, b,c 0 1 1 1 ; S a b c 3 a b c a b c 2 > = + + + + + + + ≤ d)Cho 2 2 2 a, b,c 0 1 1 1 ; S a b c 3 a b c a b c 2 > = + + + + + + + ≤ Bài 3: Áp dụng BĐT: 1 1 4 ;x, y 0 x y x y + ≥ > + . Dấu “=” x y ⇔ = 1. Với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, p: nửa chu vi a) ap 1 − + bp 1 − + cp 1 − ≥ 2( a 1 + b 1 + c 1 ) b) ap a − + bp b − + cp c − ≥ 6 2. Cho x, y > 0 & x +y 1≤ . Tìm GTNN y = 2 2 1 1 4xy xy x y + + + Hd: y = 2 2 1 1 1 1 4xy 2xy 4xy 4xy x y + + + + + ( ) 2 1 2 x y ≥ + + + 1 4xy 3. Cho x, y, z > 0 & x +y +z=1. Tìm GTNN y = 2 2 2 1 1 1 1 xy zy xz x y z + + + + + Bài 4: BĐT về các cạnh trong tam giác a)CMR: 2 a + 2 b + 2 c < 2(ab + bc + ca). Hd: 2 )ba( − < 2 c b) CMR: 3 a + 3 b + 3 c > a 2 )cb( − + b 2 )ac( − + c 2 )ba( − . Hd: Áp dụng kq ý a) c) CMR: (a + b – c)(a – b + c)(b + c – a) < abc d)CMR: 2 a b(a – b) + 2 b c(b – c) + 2 c a(c – a) ≥ 0 Hd: Đặt x = 2 acb −+ ; y = 2 bca −+ ; z = 2 cba −+ e) CMR: a b b c c a a c c b b a −−−++ < 1. VT= ca ac bc cb ab ba 222222 − + − + − = abc 1 )ac(b)cb(a)ba(c 222222 −+−+− = abc 1 (a – b)(b – c)(c – a) < abc abc f)Nếu a ≤ b ≤ c thì 2 )cba( ++ < 9bc g) bc p a− + ac p b− + ab p c− ≥ 4p Hd: Đặt x = a + b – c , y = b + c – a , z = c + a – b . Ycbt ( ) yz xz xy x y z x y x ⇔ + + ≥ + + h)CMR: 2 a + 2 b + 2 c ≥ 4 3 S + 2 )ba( − + 2 )cb( − + 2 )ac( − Hd: 2 a – 2 )cb( − + 2 b – 2 )ac( − + 2 c – 2 )ba( − ≥ 4 3 S 5 ®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh 4(p – c)(p – b) + 4(p – a)(p – c) + 4(p – b)(p – a) ≥ 4 3 S (p – c)(p – b) + (p – a)(p – c) + (p – b)(p – a) ≥ )cp)(bp)(ap)](cp()bp()ap[(3 −−−−+−+− (*) Đặt p – a = x; p – b = y; p – c = z (x, y, z > 0) (*) ⇔ 2 )zxyzxy( ++ ≥ 3xyz(x + y + z) IV.BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA 1) CMR: ∀ a, b ∈ R: 3( 2 a + 2 b + 1) ≥ 2 )1ba( ++ . 2) Cho a + b = 2. CMR 4 a + 4 b ≥ 2. 3) Cho x, y, z ∈ R, xy + yz + zx = 4. CMR: 4 x + 4 y + 4 z ≥ 3 16 Hd: 3( 4 x + 4 y + 4 z ) ≥ ( ) 2 2 2 2 x y z+ + ( ) 2 xy + yz + zx ≥ 4) Cho 2x + y ≥ 2. CMR: 2 2 x + 2 y ≥ 4 3 5) Giả sử phương trình 2 x + ax + b = 0 có nghiệm 0 x . CMR: 2 0 x ≤ 1 + 2 a + 2 b Hd: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 2 2 0 0 0 0 a b x 1 x ax b a b x 1 2 + + + = + ≤ + + ≤ ÷ 6) Nếu phương trình 4 x + a 3 x + b 2 x + ax + 1 = 0 có nghiệm thì: 5( 2 a + 2 b ) ≥ 4. 7) CM nếu 0 x là nghiệm PT: 3 x + a 2 x + bx + c = 0 thì: 2 0 x < 1 + 2 a + 2 b + 2 c 8) Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca = abc. CMR: ab b2a 22 + + bc c2b 22 + + ac a2c 22 + ≥ 3 Hd: Đặt x = a 1 , y = b 1 , z = c 1 ⇒ x + y + z = 1.ycbt: 22 yx2 + + 22 zy2 + + 22 xz2 + ≥ 3 ( 2 x + 2 x + 2 y )( 2 1 + 2 1 + 2 1 ) ≥ 2 )yxx( ++ hay 22 yx2 + ≥ 3 1 (2x + y) (vì x, y > 0) 9) Với a, b, c > 0, 2 a 2 b + 2 b 2 c + 2 c 2 a ≥ 2 a 2 b 2 c CMR: )ba(c ba 223 22 + + )cb(a cb 223 22 + + )ac(b ac 223 22 + ≥ 2 3 10) CMR: a1 a 2 − + b1 b 2 − + ba 1 + + a + b ≥ 2 5 , trong đó a, b > 0, a + b < 1. 11) Cho x ≥ y ≥ z. CMR: z yx 2 + x zy 2 + y xz 2 ≥ 2 x + 2 y + 2 z Hd: ( z yx 2 + x zy 2 + y xz 2 )( 2 x z y + 2 y x z + 2 z y x ) ≥ ( 2 x + 2 y + 2 z ) 2 Mà T = z yx 2 + x zy 2 + y xz 2 - ( 2 x z y + 2 y x z + 2 z y x ) = ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 x y y z z x x z y x z y xyz + + − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x y y z x z xy yz xz 0 xyz − − − + + ≥ 12) Cho a, b, c > 0; abc = ab + bc + ca . CMR: c3b2a 1 ++ + cb3a2 1 ++ + cb2a3 1 ++ < 16 3 13) CMR: 222 8 )ba( a + + 222 8 )cb( b + + 222 8 )ac( c + ≥ 12 1 14) Tìm GTLN của: 6 ®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh a) 2 2y x x= + − ; b) T = 2a + 3b với a, b thỏa mãn 2 2 2 3 5a b+ ≤ c) y = x 1 5 x− + − d) y = 2x 1 5 3x− + − 15) Cho x, y, z thỏa 2 2 2 1x y z+ + = . Tìm GTLN của P = x + y + z + xy + yz + zx. 16) Cho ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1x y z− + − + − = . Tìm GTLN của T = 2 3 8 .x y z+ + − Hd: T = 2 3 8x y z+ + − = 1.( 1) 2.( 2) 3.( 1)x y z− + − + − 17) Cho a, b > 0 thỏa 2 2 4a b+ = . Tìm GTLN của T = 2 ab a b+ + . Hd: gt ⇔ 2ab = (a + b) 2 – 4 = (a + b -2) (a + b + 2) => 2T = a + b -2 ≤ 2 2 2(a b )+ -2 18) Cho các số thực x, y, z thỏa 2 2 2 2 0 1 x y x t x y z t + + + = + + + = . Tìm Min, Max Q = xy + yz + zt + tx Hd: Q = (xy + yz + zt + tx ) 2 2 2 2 x y z t≤ + + + => MaxQ = 1 khi x = y = t = z = 1 2 Mà Q = (x + z )(y + t) = - (y + t) 2 0≤ => MinQ = 0 … 19) CMR: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b c d a c b d+ + + ≥ + + + (Hệ quả Bunhia) 20) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. CMR: x y z 3 x 1 y 1 z 1 4 + + ≤ + + + Hd: x y z 1 1 1 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 + + = − + + ÷ + + + + + + 21) Tìm GTLN của hàm số: a) y = ( ) 2 x 93 95 x+ − b) y = ( ) 2 x 1997 1999 x+ − Hd: a) Tìm GTLN nên chỉ xét x 0; 95 ∈ . y = ( ) 2 x 93 95 x+ − ( ) 2 x 93 93 1. 95 x= + − 2 2 2 x 93 95 x x 94 93 95 x 94 2 + + − ≤ + − ≤ ÷ 22) Cho x, y > 0 & 2 3 6. Tìm GTNN: A x y x y + = = + Hd: ( ) 2 2 3 ( )(x y) 2 3 x y + + ≥ + 23) Cho a, b, c > 0 & ax + by = c. Tìm GTNN của A = 2 2 x y a b + Hd: (a 3 + b 3 )( 2 2 x y a b + ) ≥ ( ax + by) 2 24) Cho x, y, z > 0 & a b c 1 x y z + + = . Tìm GTNN của A = xyz; B = x + y + z; C = 2 2 2 x y z+ + 25) Tìm GTNN của hàm số y = cb a + + ac b + + ba c + + b c a + + c a b + + a b c + HD: cb a + + ac b + + ba c + 3 2 ≥ & b c a + + c a b + + a b c + = b c c a a b 6 a a b b c c + + + + + ≥ 26) Cho 3 số x, y, z > 0 & x(x - 1) + y(y -1) + z (z -1) 4 3 ≤ . CMR: x + y + z 4≤ Hd: x(x - 1) + y(y -1) + z (z -1) 4 3 ≤ 2 2 2 1 1 1 25 x y z 2 2 2 12 ⇔ − + − + − ≤ ÷ ÷ ÷ . Ad Bunhia… 27) CMR: a, b,c∀ ; 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c 2 3 6 2 3 6 + + ≤ + + ÷ 28) G/s A 4 x + B 3 x + C 2 x + Bx + A = 0 (A ≠ 0) có nghiệm. CMR: 2 B + 2 )A2C( − > 3 2 A 7 ®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh Hd:A 4 0 x + B 3 0 x + C 2 0 x + B 0 x + A = 0 ⇔ A( 2 0 x + 2 0 x 1 ) + B( 0 x + 0 x 1 ) + C = 0. (1) Đặt 0 x + 0 x 1 = X, đk X ≥ 2. (1) ⇔ A( 2 X – 2) + BX + C = 0 => A 2 X + BX + C – 2A = 0 ⇒ – 2 X = A B X + A A2C − ; VT 2 ≤ − + 2 2 2 2 A )A2C( A B ( 2 X + 1) ⇒ 4 X ≤ 2 22 A )A2C(B −+ ( 2 X + 1) ⇒ 2 22 A )A2C(B −+ ≥ 1X X 2 4 + > 1X 1X 2 4 + − = 2 X – 1 > 3 ⇒ 2 B + 2 )A2C( − > 3 2 A T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt Bài 1: Cho x, y,z 1> . Tìm GTNN của ( ) y z x log x log y log z T x y z x y z y x z = + + + + ÷ + + + Bài 2: Cho 0 x 2 π < < . Tìm GTNN của y = 1 1 cosx sinx + Bài 3: Tìm GTNN của n n 2 2 1 1 y 1 1 sin x cos x = + + + ÷ ÷ Bài 4: Tìm GTLN và GTNN: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 f (x) sin x y cos x-y sin x y cos x+y = + + − Bài 5: Tìm GTNN của 2 2 cos x sin x y 4 4 = + Bài 6: Cho ABC ∆ , tìm GTLN của A B C B A C y tg tg 1 tg tg 1 tg tg 1 2 2 2 2 2 2 = + + + + + HD: Bunhia Bài 7: Tìm GTLN & GTNN của ( ) sinx+siny sin z cosx.cosy.cosz y 1+sinx.siny + = HD: Ad Bunhia cho tử số BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: GBPT a) 5 1 0 3x 1 x 1 + > + + b) 3 2 x 2 2x 3 < + + c) 2 2 x 1 x 0 x x 2 x 1 + − < + − − d) 2 x 2 8 x 1 x 1 x 1 − > − + − e) 2 2 x 2 x 5x 6 x 3x 2 ≥ + + + + f) |x- 2| > |x - 1| -3 h) 2 2 2 x 7 x 10 1 0 x 6x 7 x 13x 30 x 5x 14 + − + + < + − − + − − g) 3x 1 1 1 5x − < − i) | 5 - 4x | ≥ 2x – 1 k) |x 2 – 2x + 8| >2x Bài 2: Giải và biện luận: a) 2(m-1)x + m(1-x) > 2m + 3 b) m 2 – 4m + 3mx < m 2 x + 21 c) a a 0 x a x a + < − + d) 2 2 2 x 1 x a x a a x − < + − − e) 2 a x 18 x 3 x 3 x 9 + > − + − f) 2(m 2 - 1)x < (3x +1)m +2 g) m( x- m ) 0 ≥ h) x ab x ac x bc a b c a b a c b c − − − + + ≤ + + + + + i) bx + b < a – ax k) ax + b 2 > bx + a 2 HD: h) Phân tích ( ) 1 1 1 1 1 1 .x ab bc ac a c b c a b a c b c a b + + ≤ + + + + ÷ ÷ + + + + + + Bài 3: GBPT 8 ®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh a) x 4 1 − ≥ x + 2 1 b) 2 x 1 x + + 2 x 1 x − ≥ x 2 c) 1x43x −++ + 1x68x −−+ > 1 d) 14x5x 2 −+ > x – 5 e) x x411 2 −− < 3 HD: Xét TH x > 0 & x <0 f) 3x + – 1x − < 2x − g) ( ) 2 2 x293 x2 +− < 21 + x h) 2 )3x( − (5x + 2)(2 – x)(1 – 3x) ≥ 0. i) ( ) ( ) ( ) x 2 . x 3 x 4 0+ + + < k) ( ) ( ) 2 x 1 x 2 0− − ≥ Bài 4: Với giá trị nào của a thì hệ sau có đây nghiệm: <+ <+− 04ax 06x5x 2 Bài 5: Tìm m để hệ bất phương trình <+− ≤− 0)mx)(xm( 01x 2 2 (I) vô nghiệm HD: (m – 2 x )(x + m) < 0 (*) có nghiệm trong [– 1; 1] . - Xét m < 0: (*) ⇔ x + m > 0 ⇔ x > – m khi đó (*) có nghiệm trong [– 1; 1] ⇔ < <− 0m 1m ⇔ – 1 < m < 0. - Xét m = 0: (*) ⇔ – 3 x < 0 ⇔ x < 0 , có nghiệm trong [– 1; 1]. - Xét 0 < m < 1 (*) ⇔ (x + m)(x + m )(x – m ) > 0 => ∃ nghiệm m < x ≤ – 1. - Xét m = 1: (*) ⇔ ( ) 2 x1+ (1 – x) < 0 vô nghiệm trong [– 1; 1]. - Xét m > 1: Trong [– 1: 1] thì m – 2 x > 0, m + x > 0 ⇒ (*) vô nghiệm. Bài 6: Tìm m để HBPT sau có nghiệm: ≥++++− <−−+ 06m5mx)5m2(x 0m6x)m32(x 22 222 HD: +≥ +≤ <<− ⇔ 3mx 2mx m3x2 2 Bài 7: Giải và biện luận các bất phương trình sau: a) mx2 − ≥ x b) 3x2 2 + < x – m c) mx − – m2x − > m3x − Bài 8: Xét dấu các biểu thức sau: a) f(x) = ( ) 2 mx 2 m 2 x m 3− − + − b) f(x) = ( ) ( ) 2 m 1 x 2 m x 1− + − − c) f(x) = ( ) 2 12x 2 a 3 x a+ + + Bài 9: Cho tam thức: f(x) = ( ) ( ) 2 m 1 x 2 m 1 x 3m 3+ − − + − a) Xác định m để ( ) f x 0 x R≥ ∀ ∈ b) Xác định m để ( ) f x 0 x R< ∀ ∈ Bài 10: Tìm m để bất phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 m 1 x 2 m 1 x 3 m 2 0− − + + − < luôn luôn vô nghiệm Bài 11: Với giá trị nào của m thì biểu thức sau luôn xác định x R∀ ∈ ( ) ( ) ( ) 2 f x m 1 x 2 m 1 x 3m 6= + − − + + PHƯƠNG TRÌNH-BPT VÔ TỈ 9 ®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh Bài 1: a) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 x 3x 2 2m x x− + − = + − b) Giải & biện luận: 2 x 1 x m− − = Bài 2: GPT: a) 2 2 x 3x 3 x 3x 6 3− + + − + = b) ( ) ( ) ( ) x 1 x 3 x 1 4 x 3 3 x 3 + − + + − = − − c) ( ) 2 2 x 3 10 x x x 12+ − = − − d) 2 3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2− + − = − + − + e) 2 2 x x 11 31+ + = f) ( ) ( ) 2 x 5 2 x 3 x 3x+ − = + g) ( ) ( ) 2 x 1 2 x 1 2x 2x+ − = + − h) ( ) ( ) 1 x 8 x 1 x 8 x 3+ + − + + − = i) 2 2 x 17 x x. 17 x 9+ − + − = j) x x 1 x 4 x 9 0− + − + + + = k) 1 1 1 1 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 x + + = + + + + + + + + (Nhân liên hợp) l) 2 2 2 x x 4 x x 1 2x 2x 9+ + + + + = + + (Đặt ẩn phụ) Bài 3: GPT: a) 3 2 x 1 x 1− = − − b) 3 3 x 34 x 3 1+ − − = c) 3 3 2 2 3 2 x x 2 x x 4+ + + − − = d) 4 4 x 1 18 x 3− + − = e) 4 4 x x− + = HD: Đặt y = x 4+ . Đưa về hệ PT đối xứng loại II f) ( ) 3 3 3 3 x. 35 x x 35 x 30− + − = HD: Đặt 3 3 y 35 x= − Đưa về hệ PT đối xứng loại II g) 2 2 x 2 x− = − h) 2 2 x 4 x 2 3x 4 x+ − = + − HD: Đặt y = 2 4 x− i) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 3 3x 1 3x 1 9x 1 1+ + − + − = j) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 3 x 8 x 8 x 64 4− + + + − = k) ( ) ( ) ( ) 4 6 x x 2 2 1 6 x x 2− + − = − − − Bài 4:Tìm a để phương trình sau có nghiệm: a) 1 x 1 x a− + + = b) 3 3 1 x 1 x a− + + = HD: b) Đặt ẩn phụ u, v ta có: 3 3 u v 2 u v a + = + = ( ) 2 2 a u v uv 2 u v a + − = ⇔ + = TH: a = 0; TH: a 0≠ 2 u v a 1 2 uv a 3 a + = = − ÷ Đk: 2 S 4P≥ Bài 5: GPT: a) ( ) ( ) 2 x x 1 x x 2 2 x− + + = b) 2 2 2 x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4− + + − + = − + Bài 6: GPT: 10 [...]... 100 00 c©y, ®Õn mïa tíi níc b¸c ph¶i dïng hai m¸y b¬m M¸y 1 trong 1giê tíi ®ỵc 50 c©y vµ ph¶i tèn 2,2 lÝt nhiªn liƯu M¸y 2 trong 1giê tíi ®ỵc 60 c©y vµ ph¶i tèn 2 lÝt nhiªn liƯu Hái trong mét ngµy ph¶i cho sư dơng mçi m¸y trong thêi gian bao l©u ®Ĩ ttiÕt kiƯm ®ỵc tỉng chi phÝ mµ vÉn ®¶m b¶o tíi ®ỵc hÕt vên cµ phª trong vßng 10 ngµy? BiÕt r»ng trong mét ngµy m¸y 1 ch¹y tèi ®a 15 giê, m¸y 2 ch¹y tèi ®a 9... lµm viƯc trong 2h Mn s¶n xt ra s¶n phÈm lo¹i B ph¶i cÇn 40kg nguyªn liƯu vµ lµm viƯc trong thêi gian lµ 1h Trong mét ngµy xÝ nghiƯp lµm viƯc 11h vµ chØ mua ®ỵc 240 kg nguyªn liƯu Hái trong mét ngµy ph¶i s¶n xt mçi lo¹i bao nhiªu s¶n phÈm ®Ĩ cã lỵi nhn cao nhÊt, biÕt r»ng mçi s¶n phÈm lo¹i A lêi 100 ngh×n ®ång, mçi s¶n phÈm lo¹i B lêi 120ngh×n ®ång 1.6: Vên trång c©y cµ phª cđa b¸c Thu cã 100 00 c©y,... CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1: Chứng minh a / sin10o.sin 50o.sin 70 o = d / sin 20o.sin 40 o.sin 80 o = 1 8 3 8 1 o o o e / cos 20 cos 40 cos80 = 8 b / cos10 o.cos 50 o.cos 70 o = 3 8 c / tan10o.tan 50o.tan 70 o = f / tan 20o.tan 40o.tan 80 o = 3 Bài 2: Chứng minh 1 8 - 2sin 70 o =1 b / tan 30 o + tan 40 o + tan 50 o + tan 60 o = cos 20 o 2sin10o 3 p 2p 5p p 8 7p c / tan + tan + tan + tan = sin... ngêi ta thu ®ỵc sè liƯu sau; 10; 5; 7; 15; 2; 15; 6; 3; 10; 12; 14; 18; 8; 3; 9 a T×m sè trung b×nh vµ sè trung vÞ b TÝnh ph¬ng sai vµ ®é lƯch chn 2.2: KÕt qu¶ ®iĨm thi cđa häc sinh ViƯt Nam trong hai k× thi olympic to¸n qc tÕ IMO 2003 JAPAN vµ IMO 2004 Hellas nh sau: §iĨm sè (2003) 42 42 26 23 21 18 §iĨm sè (2004) 37 36 35 35 27 26 a T×m ®iĨm trung b×nh cđa mçi häc sinh trong tõng n¨m 2003, 2004 b T×m... sai vµ ®é lƯch chn So s¸nh c¸c kÕt qu¶ cđa 2 n¨m 2003,2004 vµ nªu nhËn xÐt vỊ ®é ph©n t¸n cđa c¸c con ®iĨm 2.3: §iỊu tra 42 häc sinh cđa mét líp 10 vỊ sè giê tù häc ë nhµ, ngêi ta cã b¶ng tỉng sè sau: Líp ( sè giê tù häc) TÇn sè [1;2) 8 20 ®Ị c¬ng to¸n 10 _ [2;3) [3;4) [4;5) [5;6) ngun thÞ hång thªu 10 12 9 3 N=42 trùc b×nh a T×m sè trung b×nh b T×m mèt; sè trung vÞ thc ®o¹n nµo c T×m ph¬ng... − 1 = 1 c) d) x −1+ 2 x − 2 − x −1 − 2 x − 2 = 1 x + 8 + 2 x + 7 + x +1− x + 7 = 4 Bài 9:(Ad BĐT, TGT,…) *Bunhia: 1) 3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 14 = 4 − 2x − x 2 2) x − 2 + 4 − x = x 2 − 6x + 11 3) x − 4 + 6 − x = x 2 − 10x + 27 6 4) 2x − 1 + 19 − 2x = 2 − x + 10x − 24 1 1 5) x + 2 − x 2 + + 2 − 2 = 4 x x 4 4 6) x + 1− x + x + 1− x = 2 + 4 8 * CauChy: 1) x − x2 −1 + x + x2 −1 = 2 2) 2 3) ( 7x − 4... 1 22 cotgx cos x − = sin x cos x tgx Loại 6: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Bài 1: Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau : 9/ sinA + sinB A B C cos cos 2 2 2 A B C cosC = 1 + 4sin sin sin 2 2 2 sin2C = 4sinA.sinB.sinC cos2C = -1 - 4cosA.cosB.cosC ( tiếp theo Loại 5- Trang 8) sin 2 C = 2 ( 1 +cosA.cosB.cosC) + sinC 10 / cosA + cosB + 11/ sin2A + sin2B + 12/ cos2A + cos2B + 13/... a / tan A.tan B.tan 2 a / sin 4A + sin 4B + sin 4C = 0 b / cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 c / 19 sin A = 2sin C cos B ®Ị c¬ng to¸n 10 _ ngun thÞ hång thªu trùc b×nh Ơn tập tổng hợp C©u 1: 1.1:Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh sau: 2 3 5 a) b) x −23x + 10 ≤ 2 c) 2 x − 1 + 1 = − x + 2 > −2 x + 1 3 x − 2 x −4 d) x − 3 < x + 1 − 4 e) x 2 − 1 ≥ ( x − 1)( x + 2) 1.2: Gi¶i hƯ bÊt ph¬ng tr×nh... 6 4 x 4 + 4x + m = 16 ⇒ f (x) = − x − 4x + 16 , lập bảng biến thiên Bài 9: Cho BPT: −4 ( 4 − x) ( 2 + x) ≤ x 2 − 2x + a − 18 Tìm a để BPT có nghiệm ∀x ∈ [ −2, 4] 2 HD: BPT ⇔ g(t) = t − 4t + 10 − a ≤ 0; t = Bài 10: Tìm m để BPT ( 3+ x) ( 7 − x) ( 4 − x) ( 2 + x) ≤ x 2 − 4x + m có nghiệm đúng ∀x ∈ [ −3, 7 ] Bài 11: Tìm m để BPT mx − x − 3 ≤ m + 1 có nghiệm HD: t = x − 3 ≥ 0; → t ∈ [ 0,3] ( ) BPT ⇔ m... Tính sin x, cos x 12 π sin x = và 0 〈 x 〈 Tính tgx 13 2 13 π tgx = và 0 〈 x 〈 Tính sin x 5 2 17 4 Cho sin x = 5 Cho 6 Cho 7 Cho 8 Cho ®Ị c¬ng to¸n 10 _ ngun thÞ hång thªu 9 Cho tgx = −2, và x là góc của một tam giác Tính sin x, cos x 8 0 0 10 Cho cos x = − , với 90 〈 x 〈 180 Tính sin x, tgx 17 2 0 0 11 Cho sin x = ; và 0 〈 x 〈 90 Tính cos x, cot gx 3 12 Cho tgx = 2 và 00 〈 x 〈 900 Tính . việc trong 2h. Muốn sản xuất ra sản phẩm loại B phải cần 40kg nguyên liệu và làm việc trong thời gian là 1h. Trong một ngày xí nghiệp làm việc 11h và chỉ mua đợc 240 kg nguyên liệu. Hỏi trong. GIÁC Bài 1: Chứng minh o o o o o o o o o o o o o o o o o o 1 3 3 a / sin10 .sin50 .sin 70 b/ cos10 .cos50 .cos 70 c / tan10 .tan50 .tan 70 8 8 3 3 1 d / sin 20 .sin 40 .sin80 e / cos 20 .cos40. tgx = Loi 6: H THC LNG TRONG TAM GIC Bi 1: Trong tam giỏc ABC.Hóy chng minh v hc thuc cỏc kt qu sau : A B C 9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos 2 2 2 A B C 10/ cosA + cosB + cosC = 1