SỞ GD& ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2009 - 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: TOÁN CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 5,0 1a 2,0 Pt có hai nghiệm x 1 , x 2 khi và chỉ khi 6 12 0 2m m ′ ∆ = + ≥ ⇔ ≥ − (1) 0,5 Theo Viet: 1 2 2 1 2 2( 3) . 3 x x m x x m + = − + = − 0,25 Theo bài ra: 2 1 2 1 2 1 1 2 . 2( 3) 2( 3) 2 2 x x x x m m+ − = ⇔ − + − − = 0,5 2 1 4 4 1 0 2 m m m⇔ + + = ⇔ = − 0,5 Đối chiếu điều kiện (1), 1 2 m = − thoả mãn 0,25 1b 3,0 Pt có hai nghiệm khi 2m ≥ − . Khi đó: 2 2 1 2 1 2 5( ) 2 10( 3) 2( 3) 2 10 24P x x x x m m m m= + − = − + − − = − − − 0,5 Xét hàm số 2 ( ) 2 10 24f m m m= − − − với 2m ≥ − 0,5 Ta có bảng biến thiên: m 5 2 − -2 ( )f m -12 −∞ 1,5 0,5 Trang 1/ 4 Dựa vào BBT, ta có Max P = −12 khi m = −2 2 4,0 Đặt 4 7 4 1x y+ = + , đk: 1 4 1 0 4 y y+ ≥ ⇔ ≥ − 0,5 Ta được hệ pt: ( ) ( ) 2 2 4 1 4 7 (1) 4 1 4 7 (2) x y y x + = + + = + 0,5 ( ) ( ) 4 4 3 0 4 3 4 x y x y x y y x ⇒ − + + = = ⇔ − − = 0,5 Nếu x = y, thay vào hệ ta được pt: ( ) 2 2 2 4 1 4 7 16 4 6 0 8 2 3 0 3 4 1 2 y y y y y y y y + = + ⇔ + − = ⇔ + − = = − ⇔ = 3 4 y = − loại do không thoả mãn điều kiện 1 2 y = thoả mãn. Với 1 2 y = ta có 1 2 x = 1,0 Nếu 4 3 4 y x − − = , thay vào hệ ta được pt: ( ) 2 2 4 3 4 1 4. 7 16 12 3 0 4 6 84 16 6 84 16 y y y y y y − − + = + ⇔ + − = − − = ⇔ − + = 6 84 16 y − − = loại do không thoả mãn điều kiện 6 84 16 y − + = thoả mãn. Với 6 84 16 y − + = , ta có 6 84 16 x − − = . 1,0 Vậy pt có hai nghiệm là 1 2 x = v à 6 84 16 x − − = . 0,5 Trang 2/ 4 3 4,0 ( ) 3 2 0 3 2 0 5 2 0 5 (1) 2 PA PB PA PA AB PA AB AB AP + = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = uuur uuur uuur uuur uuur r r uuur uuur r uuur uuur 1,0 ( ) 2 0 2 0QA QC QA QA AC− = ⇔ − + = uuur uuur uuur uuur uuur r r 2 0 1 (2) 2 QA AC AC AQ − − = ⇔ = uuur uuur r uuur uuur 1,0 Gọi M là trung điểm của BC, ta có: ( ) ( ) 2 1 5 1 3 3 6 6 1 6 1 6 AG AM AB AC AP AQ AG AP AQ AP PG PQ = = + = + ⇔ − = − ⇔ = uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Vậy P, Q, G thẳng hàng (đpcm). 2,0 4 4,0 = > ⇒ = uuur uuur Gäi 0 BM k BM k MC MC 0,5 ( ) ( ) ⇔ − = − uuur uuur uuur uuur AM AB k AC AM 0,5 ( ) ( ) ⇔ + = + + ⇔ = + uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 1 k AM AB k AC AB k AC AM k 0,5 Trang 3/ 4 A B C M + ⇒ = + ⇒ = + uuur uuur uuur uuur uuur uuur . . . . . MC AB BM AC AM MC BM a AM MC AB BM AC 1,0 ⇒ = + + = + + uuur uuur uuur uuur 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . 2 . . . . . 2 . . . a AM MC AB BM AC MC BM AB AC b BM c CM AB AC BM CM 1,0 Mặt khác : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 .AB AC AC AB AC AB b c a = + − − = + − uuur uuur uuur uuur uuur uuur Suy ra đpcm. 0,5 5 3.0 Đặt 2010 2010 2010 , , a b c x y z b c c a a b + + + = = = − − − ta cần c/m 2 2 2 2x y z+ + ≥ 0,5 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1x y z x y z+ + + = − − − 1 (1) xy yz zx⇒ + + = − 1,0 Mặt khác: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0x y z xy yz zx x y z+ + + + + = + + ≥ ( ) 2 2 2 2 (2)x y z xy yz zx⇔ + + ≥ − + + 1,0 Từ (1) và (2) suy ra 2 2 2 2x y z+ + ≥ hay đpcm. 0,5 Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Trang 4/ 4 . có hai nghiệm khi 2m ≥ − . Khi đó: 2 2 1 2 1 2 5( ) 2 10( 3) 2( 3) 2 10 24P x x x x m m m m= + − = − + − − = − − − 0,5 Xét hàm số 2 ( ) 2 10 24f m m m= − − − với 2m ≥ − 0,5 Ta có bảng biến. a = + − − = + − uuur uuur uuur uuur uuur uuur Suy ra đpcm. 0,5 5 3.0 Đặt 2 010 2 010 2 010 , , a b c x y z b c c a a b + + + = = = − − − ta cần c/m 2 2 2 2x y z+ + ≥ 0,5 Ta có:. SỞ GD& ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2009 - 2 010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: TOÁN