Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối docx

Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối... BẤT PHƯƠNG TRÌNHCÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Trần Văn Toàn, Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai.. Ngày 7 tháng 1 năm 20

Bất phương trình chứa dấu

giá trị tuyệt đối

BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Trần Văn Toàn, Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh,

Biên Hoà, Đồng Nai.

Ngày 7 tháng 1 năm 2009

Tóm tắt nội dungBất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối được học trong chương trình Toán Trunghọc phổ thông Tuy nhiên, trong chương trình hiện hành, cũng chỉ đưa ra một vài bài toánnhỏ mà phương pháp giải chủ yếu là dùng định nghĩa về giá trị tuyệt đối hoặc xét dấu củabiểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối để sao cho bất phương trình đang xét không cònchứa dấu giá trị tuyệt đối nữa Lấy ý tưởng chính từ một bài viết trong [1], tôi viết đề tàinày với mục đích là đưa thêm một cách giải nữa, chủ yếu là tránh việc xét dấu biểu thứcbên trong dấu giá trị tuyệt đối, mà công việc xét dấu này đôi khi thật sự không đơn giản

• Nếu a < 0, các bất phương trình |f (x)| 6 a và −a 6 f(x) 6 a đều vô nghiệm

• Trường hợp bất phương trình |f (x)| > a chứng minh tương tự

2 Bây giờ, ta xét các bất phương trình |f (x)|6 g(x) và −g(x) 6 f (x) 6 g(x)

Gọi D là tập xác định của bất phương trình |f(x)| 6 g(x) (Khi đó, D cũng là tập xác địnhcủa bất phương trình −g(x)6 f (x) 6 g(x))

Giả sử có số x0 ∈D thoả bất phương trình |f(x)| 6 g(x), tức là

|f (x0)| 6 g(x0) (1.1)

Ta chỉ xét trường hợp g(x0) > 0.

• Nếu f (x0) > 0, thì |f (x0)| = f (x0) và bất phương trình (1.1) trở thành

f (x0) 6 g(x0) (1.2)Mặt khác, vì f (x0) > 0 và g(x0) > 0, nên

−g(x0) 6 f (x0) 6 g(x0)

(Cũng có thể nhận xét rằng, nếu |f (x0)| 6 g(x0), g(x0 > 0, thì −g(x0) 6 f (x0) 6g(x0).)

• Trái lại, nếu có x0 thoả −g(x0) 6 f (x0) 6 g(x0), ta cũng có |f (x0)| < g(x0)

⇔ −1 < x < 0 hoặc x > −1 +

√57

4 .o

Ở ví dụ trên, việc xét dấu của các biểu thức x3− 7x − 3 và x3+ x2+ 3 là rất khó

1 − |x|

1 + |x|

> 1

2.Lời giải Ta có

Ví dụ 1.7 Tìm tập giá trị của biểu thức x + a, biết rằng

|2x + 4 − 2a| + |x − 2 + a| 6 3 (1.6)Lời giải Đặt y = |x + a|, bất phương trình (1.6) cho trở thành

|y − 2| + 2|y − 2a + 2| 6 3 (1.7)Bất phương trình (1.7) tương đương với

Ví dụ 1.8 Giải bất phương trình

||x2− 3x − 7| + 2x − 1| < x2− 8x − 5 (1.9)Lời giải



2x2 − 9x − 13 > 03x − 1 > 0

x > 13 +

√2574

x > 9 +

√854

x < 1

3

⇔ x < 13 −

√257

4 .

o

Ví dụ 1.9 Giải bất phương trình |x2− |x2− 3x − 5| − 5| < x + 1

Giải tương tương tự, nghiệm bất phương trình trên là 1 +

√19

2 < x <

2 +√16

2 6 x 6 2

oXin đưa ra một số các kết quả sau:

Chú ý, trong bất phương trình (1.11) có chứa hai dấu giá trị tuyệt đối và ta có thể đưa (1.11)

về dạng |f1| 6 f2 Ta thấy, ứng mỗi dấu giá trị tuyệt đối, thì dấu biểu thức bên trong của nó cóhai trường hợp là (+) và (−) (ta không xét biểu thức bên trong dấu giá trị tuyện đối luôn dươnghoặc luôn âm) Do đó, với bất phương trình dạng (1.11), để thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta xétcác khả năng sau: (+ +), (+ −), (− +) và (− −) Ở đây, kí hiệu (+ +) để chỉ dấu của f và g đềudương

Ví dụ 1.14 Tìm quan hệ giữa f, g, h, k biết |f | + |g| + |h| < k

|f1| + |f2| + |f3| + · · · + |fn| < ftương đương với hệ gồm 2n bất phương trình

Ví dụ 1.15 Giải bất phương trình

|3x + 2| + |2x − 3| < 11 (1.12)Lời giải Để ý bất phương trình có dạng |f | < g

2x2− 10x − 18 < 0,4x2+ 10x + 18 > 0,4x2− 4x − 8 < 0,4x2− 6x − 22 < 0,

6 .

o

Ví dụ 1.17 Tìm quan hệ giữa f, g, h, biết

|f | + |g| > h (1.14)Bằng cách chứng minh tương tự như Ví dụ 1.13, ta có kết quả sau:

Ví dụ 1.19 Tìm quan hệ giữa f, g, h, biết

|f | − |g| < h (1.15)Lời giải Bằng cách chứng minh tương tự như Ví dụ 1.13, ta có kết quả sau:

x > 4 +

√702

x > 132







x < 72

4 −√58

2 < x <

4 +√582

2 < x <

72

x > 132

o

Ví dụ 1.22 [1] Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số p:

3|x − p| + 5|x − 3p| + 4x + 6p + 12 6 0 (1.18)

⇔ p 6 −1 ⇒ p − 2 < −9p − 6Kết luận

• Nếu p 6 −1, thì bất phương trình (1.18) có nghiệm là 6p + 3 6 x 6 p − 2;

• Nếu p > −1 bất phương trình (1.18) vô nghiệm

o

Ví dụ 1.23 Giải và biện luận bất phương trình theo tham số

|2x + 21p| − 2.|2x − 21p| < x − 21p (1.19)Lời giải Bất phương trình (1.19) tương đương với hệ

Ví dụ 1.24 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho bất phương trình

x2− |x − a| − |x − 1| + 3 > 0 (1.20)đúng với mọi x ∈ R

Lời giải Bất phương trình (1.20) có dạng |f |6 g

x2+ (m + 1)x − m − 1 > 0,3x2− (m − 1)x − m + 1 > 0.Bất phương trình (1.21) đúng với mọi x thuộc R khi và chỉ khi mỗi bất phương trình của hệtrên đúng với mọi x thuộc R Điều này xảy ra khi và chỉ khi

Hệ bất phương trình trên vô nghiệm Vậy không có giá trị của m thoả yêu cầu đề bài o

Ví dụ 1.26 Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x2+ 2x − 1 + |x − a| (1.22)lớn hơn 2

Lời giải Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm a để x2 + 2x − 1 + |x − a| > 2, ∀x ∈ R.

Lời giải Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm a để y = x2+ |x − a| + |x − 1| > 2, ∀x ∈ R

ở phía trên của đường thẳng y = 1 − ax Từ đó ta có đáp số 1 < a < 4 + 2√

m < 74

Hệ trên vô nghiệm Vậy không tồn tại m thoả yêu cầu đề bài o

1.1 Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

Đáp số m > 5 1.4 Tìm m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x2− 5x + 4| + mx lớn hơn 1

Đáp số 1 < m < 5 + 2√

3 1.5 Tìm m sao cho với mọi x ∈ R, ta có x2− 2mx + 2|x − m| + 2 > 0

Đáp số −√

2 < m < √

2 1.6 Tìm m sao cho với mọi x ∈ R, ta có x2+ (m + 1)2+ 2|x − m + 1| 6 3

Đáp số −16 m 6

√2

2 . 1.7 Tìm tham số m để f (x) = (x − 2)2+ 2|x − m| > 3 với mọi x ∈ R

Như vậy, với các điều kiện a > 0, f (x) > 0, g(x) > 0, thì dấu của hiệu logaf (x) − logag(x) là dấucủa tích (a − 1)[f (x) − g(x)].

Để chỉ dấu của logaf (x) − logag(x) là dấu của tích (a − 1)[f (x) − g(x)], tôi kí hiệu

9 logau ↔ (a − 1)(u − 1), (a, u > 0);

10 logau − v ↔ (a − 1)(u − av), (a, u > 0)

Ví dụ 2.1 Giải bất phương trình

(|x − 2| − 4 − x2) |x + 4| −√

x2− x − 2
(|1 − x| − 4) (|3 + x| − |x − 5|) > 0. (2.1)Lời giải Bất phương trình (2.1) tương đương với

Ví dụ 2.3 Giải bất phương trình

√

−x2+ 7x − 6

|x2− 6x + 5| − |x2− 2x − 3| 6 0 (2.3)Lời giải Ta có

(2.3) ⇔

√

−x2+ 7x − 6(x2− 6x + 5)2− (x2− 2x − 3)2 6 0

⇔

√

−x2+ 7x − 6(2x2− 8x + 2)(8 − 4x) 6 0







−x2+ 7x − 6 > 02x2− 8x + 2)(8 − 4x) < 0

Lời giải Bất phương trình xác định khi x6 2 và x 6= 0

Bất phương trình (2.4) tương đương với

Nhân hai vế bất phương trình (2.6) với √

2 − x + |3 − 2x|, ta được bất phương trình tươngđương

Ví dụ 2.5 Giải bất phương trình √

x2− 5 − 3

|x + 4| − 7 > 1 (2.7)Lời giải Điều kiện để (2.7) có nghĩa là

Ví dụ 2.6 Giải bất phương trình log−4x2 +12x−8|4x − 5| > 0

Lời giải Bất phương trình đã cho tương đương với

4 < x <

3

2.Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S =

1;54



∪ 5

4;

32



Ví dụ 2.8 Giải bất phương trình |x2− 1|log2|x 2 −3x+1| > 1.

Lời giải Nhận xét x = ±1 không là nghiệm của bất phương trình

2 ,(|x2− 1|2− 1).(|x2− 3x + 1|2− 1) > 0

2 ,

x2(x2− 2)(x2− 3x + 2)(x2 − 3x) > 0.Giải hệ trên, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là

S = (−∞; −√

2) ∪

0;3 −

√52



∪ 3 −

√5

2x2− 3x + 1 >

1log1/3(x + 1). (2.9)

Lời giải (2.9) ⇔ 1

log3√2x2− 3x + 1 <

1log3(x + 1) ⇔ log3(x + 1) − log3

√2x2− 3x + 1log3√

x + 13

6 log√|2x+3|

x + 13

Lời giải Điều kiện để (2.10) xác định là x 6= 0, x 6= 1, x 6= −1, x 6= −2, x 6= −1

3.

(−x2+ 2x + 3)(x2+ 2x + 3)(x + 1)(x − 1)(2x + 4)(2x + 2) 6 0.

Giải hệ trên ta được tập nghiệm của bất phương trình (2.10) là

5

 log5(x + 2) > 0 (2.13)hay

log5(2 − x) −

log5 2x + 3

5

 log5(x + 2) > 0 (2.14)

• Nếu log5(2 − x) > 0 ⇔ x < 1, (2.14) tương đương với

log25(2 − x) −

log25 2x + 3

5

 log5(x + 2) > 0

Hay

log5(2 − x) + log5 2x + 3

5

 log5(2 − x) − log5 2x + 3

5



− 1



5(2 − x)2x + 3 − 1

5

 log5(x + 2) < 0

... data-page="8">

Chú ý, bất phương trình (1.11) có chứa hai dấu giá trị tuyệt đối ta đưa (1.11)

về dạng |f1| f2 Ta thấy, ứng dấu giá trị tuyệt đối, dấu biểu thức bên... thức bên dấu giá trị tuyện đối dươnghoặc âm) Do đó, với bất phương trình dạng (1.11), để thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta xétcác khả sau: (+ +), (+ −), (− +) (− −) Ở đây, kí hiệu (+ +) để dấu f... 0 .Bất phương trình (1.21) với x thuộc R bất phương trình hệtrên với x thuộc R Điều xảy

Hệ bất phương trình vơ nghiệm Vậy khơng có giá trị m thoả yêu cầu đề o

Ví dụ 1.26 Tìm tất giá