THI TH I HC, CAO NG NM 2010 Mụn thi : TON Thi gian lm bi : 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt 9 A. PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH: ( 7 im) CõuI: ( 2im) Cho hàm số y = 4x 3 + mx 2 3x (1) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=0. 2. Gọi x 1 và x 2 là hai điểm cực trị của hàm số (1).Tìm m để x 1 = - 4x 2 Cõu II: (2im) 1. Giải hệ phơng trình : 2 0 1 4 1 2 x y xy x y = + = 2. Giải phơng trình : 3 1 sin(2 ) 2 1 tgx x tgx = + Cõu III: (1im) Tính tích phân: = + 2 2 0 1 cos2x I dx 2 sin(x ) 2 4 Cõu IV: (1im)Cho hình chóp SABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông SA=SB=SC = a .Gọi M,N,E lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC . D là điểm đối xứng của S qua E, I là giao điểm của đờng thẳng AD với mặt phẳng (SMN) . Chứng minh rằng AD SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI. Cõu V: (1im)Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 Chng minh rng : 2 2 2 3( ) 4 13a b c abc+ + + B. PHN T CHN: Thí sinh chọn một trong hai phần I. Theo chng trỡnh chun: ( 3 im) Cõu VIa: (2im) 1. Trong mặt phẳng toạ độ cho đờng tròn (C): 2 2 12 4 36 0x y x y+ + = . Viết phơng trình đờng tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ và tiếp xúc ngoài với (C). 2. Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x - y - z - 3 = 0. Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222 MCMBMA ++ Cõu VIIa: (1im) Tìm số phức z, nếu 2 0z z+ = . II. Theo chng trỡnh nõng cao: ( 3 im) Cõu VIb: (2im) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (D) : x-3y-4=0 và đờng tròn (C): x 2 + y 2 4y = 0. Tìm M thuộc (D) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng nhau qua A(3;1). 2. Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho hai đờng thẳng 1 1 3 4 : , : 3 2 1 3 3 x t x y z d y t z t = + = = = = và mp(P) : 3 2 0x y z + + = .Viết phơng trình hình chiếu của lên mp(P) theo phơng d Cõu VIIb: (1im) Giải PT: 3 2 1 3 2 2 8 2 2 log (4 4 4) x x x x + + = + Hết Hớng dẫn môn toán - Điểm toàn bài không làm tròn. - Học sinh làm các khác nếu đúng vẫn đợc điểm tối đa. - Nếu học sinh làm cả hai phần trong phàn tự chọn thì không tính điểm phần tự chọn. - Thí sinh dự thi khối B, D không phải làm câu V; thang điểm dành cho câu I.1 và câu III là 1,5 điểm. Câu Nội dung Điểm I.1 Khảo sát hàm số 1,00 1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên: 1. m = 0 , y = 4x 3 3x - TX: D = R - Gii hn: lim , lim x x y y + = + = 0,25 - y = 12x 2 3 ; y = 0 x = 1 2 - Bng bin thiờn : - y = 24x , y = 0 x = 0 , th cú im un O(0;0) - th: 0.5 I.2 . Tỡm m hm s cú hai cc tr ti x 1 v x 2 tha x 1 = - 4x 2 1,00 2. TX: D = R - y = 12x 2 + 2mx 3 Ta cú: = m 2 + 36 > 0 vi mi m, vy luụn cú cc tr 0,50 Ta cú: 1 2 1 2 1 2 4 6 1 4 x x m x x x x = + = = 9 2 m = 0,5 II.1 Giải hệ phơng trình đại số 1,00 1. 2 0 (1) 1 4 1 2 (2) x y xy x y = + = iu kin: 1 1 4 x y 0,25 T (1) 2 0 x x y y = x = 4y Nghim ca h (2; 1 2 ) 0,75 II.2 2. Giải phơng trình lơng giác 3 1 sin(2 ) 2 1 tgx x tgx = + 1,00 Điều kiện: tan 1 4 cos 0 2 x m x x x m + + 0,25 Phơng trình đã cho tơng đơng với 0,25 0,25 + = + = k 6 x (loại) k 6 x , (k )Z . Vậy phơng trình có nghiệm + = k 6 x , (k )Z 0,25 III Tính tích phân 1,00 Đặt sin cos (cos sin )t x x dt x x dx= = + Đổi cận 0 1x t= = 1 2 x t = = 0,25 ( ) 1 2 1 2 t I dt t = + 0,25 ( ) 1 1 2 1 1 2 1 2 ( ln 2) 2 2 2 I dt t t t t ữ = = + ữ + + + 0,25 Vậy 4 ln3 3 I = 0,25 IV 1,00 Trong (ABC) AE ∩ MN = J ⇒ SJ = (SMN) ∩ (ASD) Trong (ASD) SJ ∩ AD = I ⇒ I = AD ∩ (SMN) Ba tam giác SAB,SAC,SBC là các tam giác vuông cân bằng nhau ⇒ SA,SB,SC đôi một vuông góc và ∆ ABC là tam giác đều cạnh 2a BSCD là hình vuông cạnh a 0.25 ( ) BD SB BD SAB BD SM BD SA ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Lại có SM ⊥ AD nên SM ⊥ (ABD) ⇒ SM ⊥ AD (1) ( ) BC SD BC SAD BC AD BC SA ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ 0,25 Mà MN// BC ⇒ MN ⊥ AD (2) Từ (1) và (2) ⇒ AD ⊥ (SMN) ⇒ AD ⊥ SI (đpcm) 0,25 Trong (SBD) kẻ IH // BD (H ∈ AB) ⇒ IH ⊥ (SAB) 2 2 2 2 2 2 . 1 3 3 IH AI AI AD SA a BD AD AD SA SD a = = = = = + ⇒ IH = a/3 S SMB = 1/2 . S SAB = 2 4 a , 0,25 V MBSI = 2 3 1 1 . . . 3 3 3 4 36 SMB a a a IH S = = 0,25 V .Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bang 3 Chứng minh rằng : 2 2 2 3( ) 4 13a b c abc+ + + ≥ 1,00 ( ) 2 2 2 2 3 2( )a b c a b c a b c ab bc ca+ + = ⇒ + + = + + − + + (1) cã d¹ng [ ] 3 9 2( ) 4 13 27 6 ( ) 2 (3 2 ) 13ab bc ca abc a b c bc a− + + + ≥ ⇔ − + + − ≥ 27 6 (3 ) 2(2 3) 13a a a bc⇔ − − + − ≥ .Vai trß a,b,c b×nh ®¼ng nªn kh«ng gi¶m tæng qu¸t Gi¶ sö a b c≤ ≤ mµ 3 1 2 3 0a b c a a+ + = ⇒ ≤ ⇒ − p . Do ®ã 3 2 2 2 2 3 27 27 6 (3 ) 2(2 3) 27 6 18 2(2 3)( ) 2 2 b c a a a a a bc a a a + − + − − + − ≥ + − + − = 0,50 XÐt ( ] 3 2 ( ) 2 3 27, 0;1f a a a a= − + ∈ 0,25 LËp b¶ng biÕn thiªn suy ra ket qu¶ 0,25 J H I D E N M S C B A VIa.1 . Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): 2 2 12 4 36 0x y x y+ − − + = . Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và tiếp xúc ngoài với (C). 1,00 Viết lại đường tròn (C): 2 2 ( 6) ( 2) 4.x y− + − = Vậy (C) là đường tròn tâm I(6 ; 2) và bán kính R = 2. Gọi đường tròn cần tìm có tâm I 1 (a ; b) và bán kính R 1 : 2 2 2 1 ( ) ( )x a x b R − + − = Do đường tròn cần tìm tiếp xúc với hai trục tọa độ nên ta có: 1 .a b R= = 0,25 Trường hợp 1: a = b, 1 R a= .Vì đường tròn cần tìm tiếp xúc ngoài với (C) nên ta có: 2 2 2 2 1 1 2 ( 6) ( 2) 2 2 16 40 4 4 16 36 4 (1) II R R a a a a a a a a a a = + ⇔ − + − = + ⇔ − + = + + ⇔ − + = * Nếu a > 0 thì (1) 2 2 20 36 0 18 a a a a = ⇔ − + = ⇔ = Trường hợp này có hai đường tròn là: (C 1 ): 2 2 ( 2) ( 2) 4x y− + − = và (C 2 ): 2 2 ( 18) ( 18) 324.x y− + − = * Nếu a < 0 thì (1) 2 12 36 0 6.a a a⇔ − + = ⇔ = Kết hợp điều kiện a > 0 thì không có giá trị nào của a thỏa mãn. 0,25 Trường hợp 2: a = - b, 1 R a= . Lúc này làm tương tự như trên ta có 2 2 2 2 1 1 2 ( 6) ( 2) 2 2 8 40 4 4 8 36 4 (2) II R R a a a a a a a a a a = + ⇔ − + − − = + ⇔ − + = + + ⇔ − + = 0,25 Giải phương trình (2) ta tìm được a = 6. Vậy đường tròn thứ ba phải tìm là: (C 3 ): 2 2 ( 6) ( 6) 36.x y− + − = 0,25 VIa.2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt 1,00 Tacã ( ) ( ) ( ) 222 222 GCMGGBMGGAMGMCMBMAF +++++=++= 22222222 GCGBGAMG3)GCGBGA(MG2GCGBGAMG3 +++=++++++= 0,25 F nhá nhÊt ⇔ MG 2 nhá nhÊt ⇔ M lµ h×nh chiÕu cña G lªn (P) 0,25 ⇔ 33 19 111 333/83/7 ))P(,G(dMG = ++ −−− == 0,25 3 64 9 104 9 32 9 56 GCGBGA 222 =++=++ VËy F nhá nhÊt b»ng 9 553 3 64 33 19 .3 2 =+ khi M lµ h×nh chiÕu cña G lªn (P) 0,25 VII.a §Æt z = x + yi, khi ®ã ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ( ) 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 (1 ) 0 1 0 (1 ) 0 z x yi x y x y x y xyi x y y x y x y y xy x x x x y y y y y x x z + = ⇔ + + + = ⇔ − + + + = = − + = − + + = ⇔ ⇔ = = + = = = = − = = ⇔ ⇔ = + = 0 (do 1 0) 0 0, 0 0, 1 0, 1 0, 0 x x y x y x y x y y x = + > = = = = = ⇔ = = − = = 1,00 C©u 6b Ta cã1.M ∈ (D) ⇒ M(3b+4;b) ⇒ N(2 – 3b;2 – b) 0,25 N ∈ (C) ⇒ (2 – 3b) 2 + (2 – b) 2 – 4(2 – b) = 0 ⇒ b = 0;b = 6/5 0,5 Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) , M’(38/5;6/5) và N’(-8/5; 4/5) 0,25 VIb.1 ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn 1,00 Ta cã 4x 2 – 4x+4 = (2x-1) 2 + 3 ≥ 3 ⇔ log 3 (4x 2 -4x+4) ≥ 1, ⇒ VP ≤ 8 0,25 Mặt khác theo BĐT Cô-si, ta có: VT 8 0,25 (19) 3 2 1 3 2 2 2 2 8 8 8 log (4 4 4) x x x x + + = = + 0,25 giải hệ ta có nghiệm của PT là x = 1 2 0,25 VIb.2 Tìm giá trị nhỏ nhất 1,00 += ++= += +=+ + + + 1yxe 1yxe 1yxe )1x(2ee yx yx yx yxyx Đặt u = x + y , v = x - y ta có hệ = += += += )2(uvee )1(1ue 1ve 1ue vu v u v 0,25 - Nếu u > v thì (2) có vế trái dơng, vế phải âm nên (2) vô nghiệm - Tơng tự nếu u < v thì (2) vô nghiệm, nên (2) vu = 0,25 Thế vào (1) ta có e u = u+1 (3) . Xét f(u) = e u - u- 1 , f'(u) = e u - 1 Bảng biến thiên: u - 0 + f'(u) - 0 + f(u) 0 Theo bảng biến thiên ta có f(u) = 0 0u = . 0,25 Do đó (3) có 1 nghiệm u = 0 = = = =+ = 0y 0x 0yx 0yx 0v Vậy hệ phơng trình đã cho có một nghiệm (0; 0) 0,25 . ) 222 222 GCMGGBMGGAMGMCMBMAF ++ ++ + =++ = 22222222 GCGBGAMG3)GCGBGA(MG2GCGBGAMG3 ++ + =++ ++ + += 0,25 F nhá nhÊt ⇔ MG 2 nhá nhÊt ⇔ M lµ h×nh chiÕu cña G lªn (P) 0,25 ⇔ 33 19 111 333/83/7 ))P(,G(dMG = ++ −−− == 0,25 3 64 9 104 9 32 9 56 GCGBGA 222 =++ =++ VËy. 13a b c abc+ + + ≥ 1,00 ( ) 2 2 2 2 3 2( )a b c a b c a b c ab bc ca+ + = ⇒ + + = + + − + + (1) cã d¹ng [ ] 3 9 2( ) 4 13 27 6 ( ) 2 (3 2 ) 13ab bc ca abc a b c bc a− + + + ≥ ⇔ − + + − ≥ 27 6. 1 2 0,25 VIb.2 Tìm giá trị nhỏ nhất 1,00 += ++ = += += + + + + 1yxe 1yxe 1yxe )1x(2ee yx yx yx yxyx Đặt u = x + y , v = x - y ta có hệ = += += += )2(uvee )1(1ue 1ve 1ue vu v u v 0,25 -