. ).( // OCMOCA MOCOCMMtaicanCMO lesoMOCOCAACOM = = = chuyên đề bồi toán 9 số 3 một số bài toán thuận và đảo I/Bài toán1: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến với đờng tròn. Từ điểm M trên đờng tròn (#Avà B) kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt hai tiếp tuyến kia theo thứ tự tại C và D. Chứng minh rằng : a, Góc COD vuông. b, CD = AC + BD. H ớng dẫn a, Theo t/c tiếp tuyến ta có : OC và OD là hai tia phân giác của hai góc kề bù MOA và góc MOB => OC và OD vuông góc với nhau. hay góc COD vuông tại O. b,-Theo t/c tiếp tuyến ta có : AC = CM và MD = BD. - Mà : CD = CM + MD => CD = AC + BD. Bài toán đảo: Cho đờng tròn (O), đờng kính AB. Một góc vuông quay xung quanh O luôn cắt tiếp tuyến tại A và B của đờng tròn tại C và D. Chứng minh CD là tiếp tuyến của đờng tròn (O). H ớng dẫn -Gọi M là trung điểm của CD, Ta có OM là đờng trung bình của hình thang vuông ABDC, do đó : OM // AC . - Kẻ OH vuông góc CD tại H -Tam giác vuông CAO và CHO bằng nhau theo trờng hợp cạnh huyền góc nhọn => OH = OA, mà H nằm trên đờng tròn suy ra : CD là tiếp tuyến của (O). Bài toán đảo : Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB. Một đờng thẳng bất kỳ luôn cắt hai tiếp tuyến tại A và B của đờng tròn O tại C và D thoả mãn CD = AC + BD. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đờng tròn tâm O. H ớng dẫn . O A B D C M AA B O D C M H - Gọi M là trung điểm của CD, Thì OM là đờng trung bình của hình thang vuông ABDC, do đó : OM = (AC+BD): 2 ; => OM = CD : 2. - Xét tam giác COD có OM là đờng trung tuyến ứng cạnh CD, mà OM = CD:2 => tam giác COD vuông tại, Từ dây theo bài toán đảo 1 thì CD là tiếp tuyến của đờng tròn (O). Thay đổi bài toán trên ta có bài toán sau: Bài toán: Cho đoạn thẳng AB. Một đờng thẳng bất kỳ luôn cắt hai đờng thẳng vuông góc với đoạn thẳng AB tại A và B lần lợt ở C và D sao cho CD = AC + BD. Chứng minh rằng : CD là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính AB. II/Bài toán 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) tại A , B , C . Chứng minh rằng : A , B , C đối xứng với H qua BC, AC, AB. H ớng dẫn Ta có : CBHCAH = (góc có cạnh tơng ứng vuông góc) => A C = B C ( chắn hai góc bằng nhau). Từ đó suy ra : , BACCAH = . Do đó tam giác HAB có AC vừa là đờng cao, vừa là phân giác góc A => tam giác HAB cân tại A => B và H đối xứng qua AC. Tơng tự thì A , C cũng đối xứng H qua BC và AB. Bài toán đảo : Cho tam giác ABC với H là trực tâm. Gọi A , B , C lần lợt đối xứng qua BC, AC, AB. Chứng minh rằng : A , B , C thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. H ớng dẫn(hình vẽ trên) Ta có : CBHCAH = (góc có cạnh tơng ứng vuông góc). Mặt khác | AHB cân (do AC vừa là đờng cao, vừa là phân giác) => , BACCAH = . Suy ra: CBHBAC | = => Tứ giác AB CB cùng thuộc một đờng tròn vì có hai đỉnh A và B cùng nhìn B C dới một góc bằng nhau( quỹ tích cung chứa góc). *, Chứng minh tơng tự ta có các tứ giác : ABA C; AC BC nội tiếp. *, Cả ba tứ giác trên có ba điểm chung A, B, C nên cùng thuộc một đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (còn tiếp ) A C M D B O A B C H A B