§Ò thi häc sinh giái cÊp trêng n¨m häc 2009-2010 M«n: to¸n Líp 7 Thêi gian: 120 phót ĐỀ BÀI Bài 1(4 điểm) a/ Tính: A= 3 3 3 1 1 1 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 7 11 13 4 6 8 − + − + + − + − + b/ Cho 3 số x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện: z zyx y yxz x xzy −+ = −+ = −+ Hãy tính giá trị biểu thức: B = 1 1 1 x y z y z x + + + ÷ ÷ ÷ . Bài 2 (4điểm) a/ Tìm x,y,z biết: 2 1 2 0 2 3 x y x xz− + + + + = b/ CMR: Với mọi n nguyên dương thì 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − chia hết cho 10. Bài 3 (4 điểm) Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy. Để đánh máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4 phút, người thứ 3 cần 6 phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong. Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. Chứng minh rằng: a/ AC=EB và AC // BE b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho : AI=EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng. c/ Từ E kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC). Biết góc HBE bằng 50 0 ; góc MEB bằng 25 0 , tính các góc HEM và BME ? Bài 5(2điểm): Tìm x, y ∈ N biết: ( ) 2 2 36 8 2010y x− = − Híng dÉn chÊm Bµi ý Nội dung Điểm 1 4 ®iÓm a 8 5 6 5 4 5 4 1 3 1 2 1 13 5 11 5 7 5 13 3 11 3 4 3 +− +− + +− +− + +− +− + +− +− 4 1 3 1 2 1 2 5 4 1 3 1 2 1 13 1 11 1 7 1 5 13 1 11 1 4 1 3 = 13117 1295 13114 1353 xx x xx x + 5 2 = 1295 13117 13114 1353 x xx x xx x + 5 2 = 5 2 172 189 + = 5172 21725189 x xx + = 860 1289 2 b Ta có: y z x z x y x y z x y z + − + − + − = = 1 1 1 y z z x x y x y z + + + ⇒ − = − = − ( ) 2 2 x y z y z z x x y x y z x y z + + + + + ⇒ = = = = + + 1 1 1 ⇒ = + + + ÷ ÷ ÷ x y z B y z x . . x y y z z x y z x + + + = . . 2.2.2 8 x y z x y z z y x + + + = = = Vậy B=8 0,5 0,5 0,5 0,5 2 4 điểm a 2 1 2 0 2 3 x y x xz− + + + + = Áp dụng tính chất A ≥ 0 ( ) 2 1 1 0 0 2 2 2 2 0 0 3 3 0 0 x x y y x x z x xz − = − = ⇒ + = ⇒ + = + = + = 1 2 2 3 1 2 x y z x = ⇒ = − = − = − Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2 0,25 1,5 0,25 b Ta có: 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − = 2 2 (3 3 ) (2 2 ) n n n n+ + + − + ( ) ( ) 2 2 3 3 1 2 2 1 n n = + − + 3 .10 2 .5= − n n = 10.(3 n – 2 n-1 ) Vì 10.(3 n – 2 n-1 ) chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương Suy ra điều phải chứng minh. 0,75 0,5 0,5 0,25 3 4điểm Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được theo thứ tự là x,y,z. Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3 người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6. Do đó ta có: 1 1 1 : : : : 12:15:10 5 4 6 x y z = = . Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 555 15 12 15 10 12 15 10 37 x y z x y z+ + = = = = = + + 180; 225; 150x y z⇒ = = = . Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần 0,5 1,0 0,75 0,75 0,75 0,25 lượt là: 180, 225, 150 . 4 6 điểm a b c (2 điểm) Xét AMC∆ và EMB∆ có : AM = EM (gt ) góc · AMC bằng góc · EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC ∆ = EMB∆ (c.g.c ) ⇒ AC = EB Vì AMC∆ = EMB∆ => Góc MAC bằng góc MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . (2 điểm) Xét AMI∆ và EMK∆ có : AM = EM (gt ) · MAI = · MEK ( vì AMC EMB∆ = ∆ ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK∆ = ∆ ( c.g.c ) Suy ra · AMI = · EMK Mà · AMI + · IME = 180 o ( tính chất hai góc kề bù ) ⇒ · EMK + · IME = 180 o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( µ H = 90 o ) có · HBE = 50 o · HBE⇒ = 90 o - · HBE = 90 o - 50 o =40 o (1.0đ) · HEM⇒ = · HEB - · MEB = 40 o - 25 o = 15 o · BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM∆ Nên · BME = · HEM + · MHE = 15 o + 90 o = 105 o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 0,75 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 5 Ta có: ( ) 2 2 36 8 2010y x− = − ( ) 2 2 8 2010 36y x⇒ + − = . Vì 2 0y ≥ ( ) 2 2 36 8 2010 36 ( 2010) 8 x x⇒ − ≤ ⇒ − ≤ Vì 2 0 ( 2010)x≤ − và x N∈ , ( ) 2 2010x − là số chính phương nên 0,25 0,25 0,5 K H E M B A C I 2 điểm 2 ( 2010) 4x⇒ − = hoặc 2 ( 2010) 1x − = hoặc 2 ( 2010) 0x − = . + Với 2 2012 ( 2010) 4 2010 2 2008 x x x x = − = ⇒ − = ⇒ = 2 2 4 2( ) y y y loai = ⇒ = ⇒ = − + Với 2 2 ( 2010) 1 36 8 28x y− = ⇒ = − = (loại) + Với 2 ( 2010) 0 2010x x− = ⇒ = và 2 6 36 6 ( ) y y y loai = = ⇔ = − Vậy ( , ) (2012;2); (2008;2); (2010;6).x y = 0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ý : Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa. . ®iÓm a 8 5 6 5 4 5 4 1 3 1 2 1 13 5 11 5 7 5 13 3 11 3 4 3 +− +− + +− +− + +− +− + +− +− 4 1 3 1 2 1 2 5 4 1 3 1 2 1 13 1 11 1 7 1 5 13 1 11 1 4 1 3 = 131 17 1295 13114 1353 xx x xx x + 5 2 = 1295 131 17 13114 1353 x xx x xx x + 5 2 = 5 2 172 189 + = 5 172 2 172 5189 x xx + = 860 1289 2 b Ta có: y z x z x y x y z x y z + − + −. có: 555 15 12 15 10 12 15 10 37 x y z x y z+ + = = = = = + + 180; 225; 150x y z⇒ = = = . Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần 0,5 1,0 0 ,75 0 ,75 0 ,75 0,25 lượt là: 180,. §Ò thi häc sinh giái cÊp trêng n¨m häc 2009-2010 M«n: to¸n Líp 7 Thêi gian: 120 phót ĐỀ BÀI Bài 1(4 điểm) a/ Tính: A= 3 3 3 1 1 1 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 7 11 13 4 6 8 − + −