KT hk 2 lop 10 TS4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2009 – 2010 TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4 MÔN TOÁN LỚP 10 Thời gian làm bài: 90 phút Phần I (7 điểm): Dành cho tất cả học sinh Câu 1. (2 điểm) 1. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 3 4 0x mx m− + + = 2. Giải phương trình: 2 2 2 5 2x x x+ = + + Câu 2. (2 điểm) 1. Cho bảng phân bố tần số của một mẫu số liệu như sau: i x 0 2 3 5 6 7 9 10 i n 1 1 4 2 1 2 2 3 N=16 Hãy tìm kích thước, số trung bình, số trung vị, mốt của mẫu số liệu nói trên. 2. Cho hai số thực ,x y thoả mãn: 0, 0x y> > ; 1x y+ < . Chứng minh rằng: 2 2 1 5 1 1 2 x y x y x y x y + + + + ≥ − − + . Câu 3. (3 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm ( ) 1;2I − và hai đường thẳng 1 : 3 0x y∆ + − = ; 2 1 : 4 x t y t = − +  ∆  = +  . 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc với 2 ∆ . 2. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác có hai cạnh lần lượt nằm trên hai đường thẳng 1 ∆ , 2 ∆ , cạnh còn lại nhận I làm trung điểm. 3. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 2 ∆ sao cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc tới đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 4 4C x y+ + − = . Phần II (3 điểm): Mỗi học sinh chỉ được chọn một trong hai câu 4a hoặc 4b Câu 4a. Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn 1. Giải bất phương trình: 2 4 3 2 5x x x− + − < − 2. Chứng minh đẳng thức sau với giả thiết biểu thức luôn có nghĩa: 1 cos2 1 cos4 . cot cos2 sin4 x x x x x + + = 3. Viết phương trình chính tắc của elip biết trục nhỏ bằng 4, tiêu cự 2 5 . Câu 4b. Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao 1. Giải bất phương trình: 2 3 5 2x x x+ − − > − 2. Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 0 0 3 cos sin 30 cos 60 4 x x x− + + = 3. Viết phương trình chính tắc của hypebol biết trục thực bằng 6, tiêu cự 2 13 . Hết ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM KIỂM TRA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2009 – 2010 Môn Toán Câu Nội dung Điểm Câu 1 1. (1 điểm) Để PT có nghiệm thì 2 3 4 0m m ′ ∆ = − − ≥ 1 4 m m ≤ −  ⇔  ≥  1.0 2. (1 điểm) Nếu 2x ≥ − phương trình trở thành: 2 2 2 5 2+ = + +x x x 2 0 ( ) 2 4 0 2 ( ) =  ⇔ + = ⇔  = −  x tm x x x tm Nếu 2< −x phương trình trở thành: 2 (2 ) 2 5 2− + = + +x x x 2 1 ( ) 3 2 0 2 ( ) = −  ⇔ + + = ⇔  = −  x loai x x x loai 0,5 0,5 Câu 2 1. (1 điểm) Mỗi đáp án đúng cho 0.25 điểm kích thước: N = 16; số trung bình: 92 5.75 16 x = = số trung vị: 5.5 e m = ; mốt: 3 1.0 2. (1 điểm) Ta có: 2 2 1 5 (1) 1 1 2 x y x y x y x y + + + + ≥ − − + ( ) ( ) ( ) 1 1 1 9 1 1 2 1 1 1 1 1 9 (2) 1 1 x y x y x y x y x y x y ⇔ + + ≥ − − +     ⇔ − + − + + + + ≥  ÷   − − +   Rõ ràng (2) là BĐT đúng nên (1) đúng. Dấu bằng xảy ra khi 1 3 x y= = 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 3 1. (1 điểm) Đường thẳng d đi qua điểm ( ) 1;2I − nhận vectơ chỉ phương ( ) 2 1;1u ∆ uuur làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 1 0x y+ − = . 1.0 2. (1 điểm) Toạ độ điểm A là nghiệm hệ phương trình: ( ) 3 0 1 1;4 4 x y x t A y t + − =   = − + ⇔ −   = +  Gọi ( ) ( ) 1 2 ;3 ; 1 ;4 B B B x x C t t− ∈∆ − + + ∈∆ . Vì ( ) 1;2I − là trung điểm của BC nên ta có: 1 1 1 2 3 4 2 2 2 B B B x t x x t t − +  = −  =   ⇔   − + + = −   =   Vậy toạ độ các đỉnh của tam giác là: ( ) ( ) ( ) 1;4 ; 1;2 ; 3;2A B C− − 0.25 0.25 0.25 0.25 3. (1 điểm) - Đường tròn ( )C có tâm ( ) 1,4I − , bán kính 2R = Gọi ( ) 2 1 ;4M t t− + + ∈∆ ; A, B là các tiếp điểm. Từ giả thiết ta có tứ giác IAMB là hình vuông Suy ra: 2 2 2 4 2IM t t= ⇔ = ⇔ = ± KL: Có hai điểm cần tìm ( ) 1,6M và ( ) 3,2M − 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 4a 1. (1 điểm) Ta có: 2 4 3 2 5x x x− + − < − ( ) 2 2 2 2 4 3 0 1 3 5 24 28 0 4 3 2 5 1 3 1 2 14 14 2 3 5 5 x x x x x x x x x x x x x  − + − ≥ ≤ ≤   ⇔ ⇔   − + > − + − < −    ≤ ≤ ≤ <     ⇔ ⇔   > ∨ < < ≤    0.5 0.5 2. (1 điểm) Ta có: 1 cos2 1 cos4 . cos2 sin4 x x VT x x + + = 2 1 cos2 2cos 2 . cos2 2sin2 cos2 = + x x x x x 1 cos2 sin 2 + = x x 2 2cos 2sin cos = x x x cotx=VP= 0.25 0.25 0.25 0.25 3. (1 điểm) - Gọi PTCT của elip là 2 2 2 2 1+ = x y a b với 2 2 2 = −b a c - Vì độ dài trục nhỏ bằng 6 nên ta có 2b = 4 hay b= 2. - Vì tiêu cự 2c = 2 5 hay c = 5 suy ra 2 2 2 9= + =a b c . - Vậy PTCT của (E) là: 2 2 1 9 4 x y + = 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 4b 1. (1 điểm) Điều kiện : 5 2 2 − ≤ ≤x BPT ®· cho t¬ng ®¬ng víi : 2 5 2 3x x x+ > − + − ⇔ x+2> 8-3x + 2 ( ) ( ) 2 8 3 2 5 2 3+ > − + − −x x x x ⇔ (5 2 )(3 ) 2 3− − < −x x x ( ) 2 2 3 0 (5 2 )(3 ) 2 3 − ≥   ⇔  − − < −   x x x x Gi¶i phương trình trên rồi kÕt hîp víi §KX§, ®îc nghiÖm cña bpt lµ :(2 ; 5 2 ] 0,25 0,25 0,25 0.25 2. (1 điểm) Ta có ( ) ( ) 2 0 0 os sin 30 os 60= − + +VT c x x c x ( ) ( ) 2 0 0 0 0 os sin30 cos sin cos30 os60 cos sin60 sin= − + −c x x x c x x 2 2 2 1 3 3 os os sin 4 4 4   = − − =  ÷   c x c x x 0.5 0. 5 3. (1 điểm) - Gọi PTCT của hypebol là 2 2 2 2 1− = x y a b với 2 2 2 = −b c a - Vì trục thực 2a = 6 nên a = 3 - Vì tiêu cự 2c = 2 13 nên c = 13 suy ra 2 2 2 4= − =b c a . - Vậy phương trình (H) là: 2 2 1 9 4 x y − = 0.25 0.25 0.25 0.25 Ghi chú: Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa . 2. (1 điểm) Ta có: 1 cos2 1 cos4 . cos2 sin4 x x VT x x + + = 2 1 cos2 2cos 2 . cos2 2sin2 cos2 = + x x x x x 1 cos2 sin 2 + = x x 2 2cos 2sin cos = x x x cotx=VP= 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 3 là 2 2 2 2 1+ = x y a b với 2 2 2 = −b a c - Vì độ dài trục nhỏ bằng 6 nên ta có 2b = 4 hay b= 2. - Vì tiêu cự 2c = 2 5 hay c = 5 suy ra 2 2 2 9= + =a b c . - Vậy PTCT của (E) là: 2 2 1 9. 2 2 2 2 1− = x y a b với 2 2 2 = −b c a - Vì trục thực 2a = 6 nên a = 3 - Vì tiêu cự 2c = 2 13 nên c = 13 suy ra 2 2 2 4= − =b c a . - Vậy phương trình (H) là: 2 2 1 9 4 x y − = 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 Ghi