ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - HỆ VỪA LÀM VỪA HỌC Môn thi: TOÁN (ĐỀ SỐ 1) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề Câu I (2 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau đây: 1. y = (x+2)lnx . 2. y = sin cosx x x e + − . Câu II (2 điểm) Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + m 2 x + m; m là tham số. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0. 2. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực trị. Câu III (2 điểm) Tính các tích phân sau đây : 1. ( 1)sin 2x x dx − ∫ . 2. 5 4 0 xdxtg π ∫ . Câu IV (2 điểm) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các Oxy cho các điểm A(1;2), B(– 1;– 1), C(3; – 1). 1. Chứng minh rằng ∆ABC cân tại A. Tính diện tích ∆ABC. 2. Lập phương trình các đường thẳng (AB), (CA). Câu V (2điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho các điểm A(0; – 1; 1), B(– 1; 2; 4) và đường thẳng d: 1 1 1 2 3 x y z− + = = . 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d. 2. Tìm hình chiếu vuông góc của B trên (P). Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……………………………………số báo danh:……………… ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1 Câu I (2 điểm = 1 + 1) Tính đạo hàm của các hàm số sau đây: 1. y = (x+2)lnx . 2. y = sin cosx x x e + − . Giải 1. y' = lnx + 2 1 x + . 2. y’ = sin cosx x x e + − (1 + cosx + sinx). Câu II (2 điểm = 1 + 1) Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + m 2 x + m (C m ). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0. 2. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực trị. Giải 1. Khảo sát hàm số khi m = 0 : y = x 3 – 3x 2 (C) • Tập xác định : D = R. • y' = 3x 2 – 6x = 3x(x – 2). y’ = 0 ⇔ 0 0; 2 4. x y x y = ⇒ = = ⇒ = − • y’’ = 6x – 6 = 6(x – 1). y’’ = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = – 2. • Bảng biến thiên x –∞ 0 2 + ∞ y' + 0 – 0 + y + ∞ (CĐ) 0 – 4 (CT) –∞ • Tính lồi lõm y’’ = 6x – 6 = 6(x – 1). y’’ = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = – 2. • Điểm đặc biệt: CĐ(0; 0), CT(2; – 4), ĐU(1; – 2). • Đồ thị (C): 2. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực trị. y' = 3x 2 – 6x + m 2 ; ∆’ = 3( 3 – m 2 ). Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu hai lần khi x đi qua các nghiệm. Tức là ∆’ = 3( 3 – m 2 ) > 0 ⇔ 3 3m − < < . x y'' – ∞ + ∞ ─ + 0 (C) 1 (Điểm uốn) (;) lồi lõm 0 -2 -4 1 2 Câu III (2 điểm = 1 + 1) Tính các tích phân sau đây : 1. ( 1)sin 2x xdx− ∫ . 2. 5 4 0 xdxtg π ∫ . Giải 1. Tính I = ( 1)sin 2x xdx− ∫ . Đặt u = x – 1; dv = sin2xdx ⇒ du = dx; v = – 1 2 cos2x. I = udv uv vdu= − ∫ ∫ = 1 2 (1 – x)cos2x + 1 2 cos2xdx ∫ = 1 4 [ 2(1 – x)cos2x + sin2x ] + C. 2. Tính J = 5 4 0 xdxtg π ∫ = 5 3 3 4 0 ) ( ) ][( x tg x tg x tgx tgx dxtg π + − + + ∫ = 3 2 4 4 0 0 sin )( 1) cos ( x x tgx tg x dx dx x tg π π − + + ∫ ∫ = 3 4 4 0 0 (cos ) ) ( ) cos ( d x x tgx d tgx x tg π π − − ∫ ∫ = 4 2 4 0 ln cos 4 2 tg x tg x x π − − = 1 4 (2ln2 – 1). Câu IV (2 điểm = 1 + 1) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các Oxy cho các điểm A(1; 2), B(– 1;– 1), C(3; – 1). 1. Chứng minh rằng ∆ABC cân tại A. Tính diện tích ∆ABC. 2. Lập phương trình chính tắc các đường thẳng (AB), (CA). Giải 1. Chứng minh rằng ∆ ABC cân tại A. Tính diện tích ∆ ABC. • AB = 13 = AC ⇒ (∆ABC cân tại A). • 2 3 12 2 3 B B A A C A C A x x y y x x y y = − − − − = − − − ; dt(∆ABC) = 12 = 12 (dvdt). 2. Lập phương trình chính tắc các đường (AB), (CA). (AB): B B B B A A x x y y x x y y − − = − − ⇔ 1 1 2 3 x y + + = . (CA): A A C A C A x x y y x x y y − − = − − ⇔ 1 2 2 3 x y − − = − . Câu V (2điểm = 1 + 1) Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho các điểm A(0; – 1; 1), B(– 1; 2; 4) và đường thẳng d: 1 1 1 2 3 x y z− + = = . 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d. 2. Tìm hình chiếu vuông góc của B trên (P). Giải 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d. • (P) có vectơ pháp tuyến chính là vectơ chỉ phương của d: P d n v= uuur uur = (1; 2; 3) • Phương trình của (P) là: (x – 0) + 2(y + 1) + 3(z – 1) = 0 ⇔ x + 2y + 3z – 1 = 0. 2. Tìm hình chiếu vuông góc của B trên (P). • Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên (P). Đường thẳng (BH) nhận d v uur làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số như sau: x = – 1+ t, y = 2 + 2t, z = 4 + 3t. • H là giao điểm của (BH) với (P). Tọa độ của H xác định bởi hệ 1 ; 2 2 ; 4 3 ; 2 3 1 0. x t y t z t x y z = − + = + = + + + − = • Giải hệ ta được H( 0 – 2; 0; 1). BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - HỆ VỪA LÀM VỪA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP. HCM Môn thi: TOÁN (ĐỀ SỐ 2) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề Câu I (2 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau đây: 1. y = xsin(2x+3) . 2. y = ln(sinx – cosx) . Câu II (2 điểm) Cho hàm số y = 2 2 2 x x x − + − − . 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho. 2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 2 2 2 m x x x = − + − − . Câu III (2 điểm) Tính các tích phân sau đây : 1. (2 3) x x e dx+ ∫ . 2. 4 3 2 0 sin cosx x dx π ∫ . Câu IV (2 điểm) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các Oxy cho các điểm A(– 1;– 1), B(– 1; 2), C(2; – 1). 1. Chứng minh rằng ∆ABC vuông tại A. Tính diện tích ∆ABC. 2. Lập phương trình trung tuyến AM của ∆ABC. Câu V (2điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho điểm M(7;– 3; 9) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 4z – 5 = 0. 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P). 2. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (P). Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……………………………………số báo danh:……………… ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2 Câu I (2 điểm = 1 + 1) Tính đạo hàm của các hàm số sau đây: 1. y = xsin(2x + 3) . 2. y = ln(sinx – cosx) . Giải 1. y' = sin(2x +3) + 2xcos(2x + 3). 2. y’ = cos sin sin cos x x x x + − . Câu II (2 điểm = 1 + 1) Cho hàm số y = 2 2 2 x x x − + − − . 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho. 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 2 2 m x x x = − + − − . Giải 1. Khảo sát hàm số: y = 2 2 2 x x x − + − − = – (x + 1) – 4 2x − C) • Tập xác định : D = R\{2}. • y' = 2 2 4 ( 2) x x x − + − . y’ = 0 ⇔ 0 1; 4 7. x y x y = ⇒ = = ⇒ = − • Tiệm cận đứng : x = 2; Tiệm cận xiên: y = – x – 1. • Bảng biến thiên CĐ CT • Đồ thị (C): x y' - ∞ 0 2 + ∞ ─ + 0 y + ∞ ∞∞ ∞ -7 - ∞ 1 ─ + + ∞ 4 0 - ∞ 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 2 2 m x x x = − + − − • m < – 7 hoặc m > 1: phương trình có 2 nghiệm phân biệt; • m = – 7 hoặc m = 1: phương trình có 1 nghiệm; • – 7 < m < 1: phương trình vô nghiệm. Câu III (2 điểm = 1 + 1) Tính các tích phân sau đây : 1. (2 3) x x e dx+ ∫ . 2. 4 3 2 0 sin cosx x dx π ∫ . Giải 1 4 y x 0 -1 y = - x - 1 -7 2 -1 x = 2 1. Tính I = (2 3) x x e dx+ ∫ . Đặt u = 2x + 3; dv = x e dx ⇒ du = 2dx; v = x e . I = udv uv vdu= − ∫ ∫ = (2x + 3) x e – 2 x e dx ∫ = (2x + 1) x e + C. 2. Tính J = 4 3 2 0 sin cos x x dx π ∫ = 4 2 2 0 sin (1 sin ) (sin )x x d x π − ∫ = 4 6 2 0 sin ) (sin )(sin x x d x π − ∫ = 5 7 2 0 sin sin 5 7 x x π − = 2 35 . Câu IV (2 điểm = 1 + 1) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các Oxy cho các điểm A(– 1; – 1), B(– 1; 2), C(2; – 1). 1. Chứng minh rằng ∆ABC vuông tại A. Tính diện tích ∆ABC. 2. Lập phương trình trung tuyến AM của ∆ABC. Giải 1. (0;3), (3;0)AB AC= = uuur uuuur ; . 0AB AC = uuuruuuur . Do đó ∆ABC vuông tại A. Dt(∆ABC) = 1 2 AB.AC = 9 2 (dvdt). 2. M 1 1 ; 2 2 ÷ ; (AM): x – y = 0. Câu V (2điểm = 1 + 1) Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho điểm M(7;– 3; 9) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 4z – 5 = 0. 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P). 2. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (P). Giải 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P). • vectơ chỉ phương của d chính là vectơ pháp tuyến của (P): P d v n= uuur uuur = (3;– 2; 4) • Phương trình tham số của d là: 7 3 ; 3 2 ; 9 4 . x t y t z t = + = − − = + 3. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (P). • Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P). H chính là giao điểm của d với (P). Tọa độ của H xác định bởi hệ 7 3 ; 3 2 ; 9 4 ; 3 2 4 5 0. x t y t z t x y z = + = − − = + − + − = • Giải hệ ta được H( 1; 1; 1). • H chính là trung điểm của MM’ nên M’(– 5; 5;– 7). . + + + − = • Giải hệ ta được H( 0 – 2; 0; 1). BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - HỆ VỪA LÀM VỪA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP. HCM Môn thi: TOÁN (ĐỀ SỐ 2) Thời gian làm bài: 120 phút,. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - HỆ VỪA LÀM VỪA HỌC Môn thi: TOÁN (ĐỀ SỐ 1) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề Câu I (2 điểm) Tính đạo hàm. đứng : x = 2; Tiệm cận xiên: y = – x – 1. • Bảng biến thi n CĐ CT • Đồ thị (C): x y' - ∞ 0 2 + ∞ ─ + 0 y + ∞ ∞∞ ∞ -7 - ∞ 1 ─ + + ∞ 4 0 - ∞ 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 2 2 m x