BÀI TẬP ÔN TẬP HÌNH HỌC KỲ I Bài 1 : Cho đường tròn (O) . Vẽ dây AB ; CD không đi qua tâm và vuông góc với nhau . Gọi D là trung điểm của AB ; E là trung điểm của AC. 1) Tứ giác ODAE là hình gì? Vì sao? 2) Chứng minh B ; O ; C thẳng hàng 3) Cho OA = 10 cm ; AB = 12 cm . Tính AC Hướng dẫn: D E A C O B Bài 2 : ( Bài 48 SBT) Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn . Ke ûcác tiếp tuyến AM ; AN với đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm 1) Chứng minh rằng OA ⊥ MN 2) Vẽ đường kính NOC . Chứng minh rằng: MC // AO 3) Tính độ dài các cạnh của AMN∆ biết OM = 3 cm ; OA = 5 cm . 4) Chứng minh A ; M ; O ; N cùng thuộc 1 đường tròn Hướng dẫn: Bài 3 : ( Bài 51 SBT) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Gọi Ax , By là các tia vuông góc với AB ( Ax , By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ) . Gọi M là điểm bất kỳ thuộc tia Ax . Qua M ke û tiếp tuyến với nửa đường tròn , cắt By ở N. 1) Tính số đo góc · MON 2) Chứng minh rằng: MN = AM + BN 3) Chứng minh rằng: AM . BN = R 2 ( R là bán kính của nửa đường tròn) 4) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN Hướng dẫn: Bài 2 : Cho đường tròn (O) bán kính OA = R , điểm B đối xứng với O qua A . Kẻ tiếp tuyến BM ; BN với đường tròn (O) với M, N là tiếp điểm 1) Tính số đo góc · MBN 2) Tứ giác AMON là hình thoi 3) Tính BM theo R 4) Gọi H là giao điểm của OA và MN . Tính OH theo R Hướng dẫn: H O A B N M Bài 3 : Cho ABC∆ vuông tại A , đường cao AH . Vẽ đường tròn (I) đường kính BH , đường tròn (K) đường kính CH 1) Tứ giác ADHE là hình gì? 2) Đường tròn (I) và (K) tiếp xúc ngoài với nhau tại H 3) Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của đường tròn (I) và (K) 4) Chứng minh AB . AD = AC . AE Hướng dẫn: Bài 4 : Cho đường tròn (O) đường kính AB , điểm E thuộc bán kính OA . Dây CD vuông góc với EA tại trung điểm H của EA. 1) Chứng minh tứ giác ACED là hình thoi 2) Gọi I là giao điểm của DE và BC . Chứng minh rằng điểm I thuộc đường tròn (O / ) có đường kính là EB 3) Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn (O / ) 4) Tính HI biết AB = 5 cm , EB = 3 cm Hướng dẫn: Bài 5 : Cho đường tròn (O) đường kính 25 cm và đường tròn (O / ) đường kính 7 cm tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ các đường kính AOB và AO / C . Gọi I là trung điểm của BC. Đường vuông góc với BC tại I cắt đường tròn (O) ở D và E. 1) Chứng minh tứ giác BDCE là hình thoi 2) Tính AE 3) DA cắt đường tròn (O / ) tại K . Chứng minh E ; K ; C thẳng hàng 4) Chứng minh IK là tiếp tuyến của đường tròn (O / ) Hướng dẫn: Bài 6 : . Chứng minh rằng: 1) / QPP∆ cân . 2) PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O ; OA) 3) Đường tròn ngoại tiếp OPQ∆ luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố đònh 4) PQ = PA + QB Hướng dẫn: Bài 7 : Cho đường tròn (O) đường kính AB , điểm M di động trên đường tròn này . N là điểm đối xứng với A qua M , P là giao điểm thứ hai của đường thẳng BN với đường tròn (O) . Q và R là giao điểm của đường thẳng BM lần lượt với AP và với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) . Chứng minh rằng: 1) N luôn luôn nằm trên một đường tròn cố đònh tâm B, đường tròn này tiếp xúc với đường tròn (O) 2) RN là tiếp tuyến của đường tròn (B) trong câu 1 3) Tứ giác ARNQ là hình thoi 4) Gọi H là giao điểm của BN và AR . Chứng minh rằng : BM . BR = BP . BH và có giá trò không đổi Hướng dẫn: Bài 8: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R , M là một điểm trên nửa đường tròn ( M khác A và B ) . Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn (M) 1) Chứng minh rằng: Đường thẳng CD tiếp xúc với đường tròn (O) tại M 2) Chứng minh AC + BD không đổi . Khi đó tính AC . BD theo CD 3) Giả sử CD cắt AB ở K . Chứng minh OA 2 = OB 2 = OH . OK 4) Chứng minh A ; C ; M ; H cùng nằm trên 1 đường tròn Hướng dẫn: Bài 1 : Cho đường tròn (O) và một góc vuông xAy có đỉnh A thuộc (O), cạnh Ax cắt đường tròn (O) tại B , cạnh Ay cắt đường tròn (O) tại C. Gọi H , K theo thứ tự là trung điểm AB và AC. 1) Chứng minh rằng AHOK là hình chữ nhật . 2) Ba điểm B, O, C thẳng hàng. 3) Tìm quỹ tích các điểm H và K. Hướng dẫn: Bài 2 : Cho nữa đường tròn (O), đường kính AB = 2R và dây cung CD. Từ A , B, O vẽ AE, BF, OI cùng vuông góc với CD. 1) Chứng minh rằng I là trung điểm của CD và EF. 2) AE + BF = 2OI và CE = DF. 3) Cho CD = R 2 . Chứng minh rằng OCD vuông cân. Hướng dẫn: Bài 3: Cho đường tròn (O, R), H là điểm bên trong đường tròn , CD là đường kính qua H ( HC > HB) và AB là dây cung vuông góc với CD tại H. Chứng minh rằng 1) CD là trung trực của AB. 2) · · CAD = CBD . 3) HA . HB = HC . HD 4) Cho OH = 2 R . Chứng minh rằng ABC đều và cạnh có độ dài là R 3 . Hướng dẫn: Bài 4 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB ; AB và CD là hai dây cung song song của đường tròn (O). Chứng minh rằng : 1) AC = BD từ đó suy ra CD là đường kính của đường tròn (O). 2) Tứ giác ACBD là hình chữ nhật . 3) Nếu AC= R 2 thì ACBD là hình vuông và ngược lại. Hướng dẫn: Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm M thuộc tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B , qua A kẻ đường thẳng song song với OM , đường thẳng này cắt (O) tại C. Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Hướng dẫn: Bài 6 : Cho ABC có hai đường cao là BD và CE cắt nhau tại H. 1) Chứng minh A, D, H, E cùng thuộc một đường tròn . 2) Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh MD là tiếp tuyến của (O) Hướng dẫn: Bài 7 : Cho ABC vuông tại A , đường cao AH , kẻ từ B và C các tiếp tuyến BD và CE với đường tròn tâm A bán kính AH. Chứng minh rằng : 1) Ba điểm A, D, E thẳng hàng và BD // CE. 2) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A. 3) BD . CE không đổi. 4) Cho BC = a, góc ABC bằng 30 độ , Tính diện tích tứ giác BDEC? Hướng dẫn: Bài 8 : Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB, từ điểm M thuộc cung BA ta vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn , kẻ AD vuông góc với xy và BC vuông góc với xy. Chứng minh rằng 1) MC = MD. 2) AC + BD có giá trò không phụ thuộc vào điểm M. 3) Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB. 4) Đònh vò trí của M để Tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất ? Hướng dẫn: Bài 9 : Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB , kẻ các tiếp tuyến Ax và By với nữa đường tròn (O), gọi C là điểm thuộc Ax , kẻ tiếp tuyến CE với đường tròn tâm (O) với E là tiếp điểm , CE cắt By ở D. Chứng minh rằng : 1) COD vuông. 2) AEB đồng dạng COD. 3) Gọi I là trung điểm của CD. Vẽ đường tròn tâm I bán kính IC . Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (I). 4) Đònh vò trí của C trên Ax để CD có độ dài nhỏ nhất. Hướng dẫn: Bài 10 : Cho đường tròn (O) đường kính AB và dây cung CD vuông góc với OA tại H nằm giữa A và O. gọi E là điểm đối xứng của A qua H . 1) Tứ giác ACED là hình gì? 2) Gọi I là giao điểm của DE và BC . Chứng minh rằng điểm I thuộc đường tròn tâm O’ đường kính EB. 3) Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn (O’). 4) Tính IH biết đường kính của đường tròn (O) và đường tròn (O’) lần lượt là 5 cm và 3 cm. Hướng dẫn: Bài 11 : Cho ABC vuông tại A có AH là đường cao , gọi I và K lần lượt là tâm đường tròn có đường kính HB và HC . 1) Chứng minh rằng đường tròn (I) tiếp xúc ngoài với đường tròn (K) và tiếp xúc trong với đường tròn qua ba điểm A, B, C. 2) Đường tròn (I) cắt AB tại D , đường tròn (K) cắt AC tại E. Chứng minh rằng ADHE là hình chữ nhật và AD. AB = AE . Từ đó suy ra ABC : AED 3) DE là tiếp tuyến chung của đường tròn (I) và đường tròn (K). 4) Tứ giác BDEC có các góc đối bù nhau. 5) Cho AH = 4 và HB = 3. Tính diện tích Tứ giác BDEC? Hướng dẫn: Bài 12 : Cho đường tròn (O) và đường tròn (O’) tiếp xúc ngoài tại A và cùng tiếp xúc với đường thẳng (d) tại các điểm B và C ( với B thuộc (O) và C thuộc (O’)) tiếp tuyến chung tại A cắt BC tại D , gọi E là trung điểm của OO’. Chứng minh rằng : 1) AD = BC và DB = DC tứ đó suy ra ABC vuông. 2) · 0 ODO' = 90 3) ED vuông góc với BC tứ đó suy ra đường tròn đường kính OO’ tiếp xúc với đường thẳng BC tại D. Hướng dẫn: Bài 13 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di chuyển trên đường tròn (O) , gọi N là điểm đối xứng của A qua M , gọi P là giao điểm của đường thẳng BN với đường tròn (O) , gọi Q và R là giao điểm của đường thẳng BM với AP và với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O). Chứng minh rằng : 1) Điểm N luôn nằm trên một đường tròn cố đònh tiếp xúc với đường tròn (O) , gọi đường tròn đó là (O’) 2) RN là tiếp tuyến của đường tròn (O’) 3) Tứ giác ARNQ là hình gì ? Hướng dẫn: . dài là R 3 . Hướng dẫn: Bài 4 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB ; AB và CD là hai dây cung song song của đường tròn (O). Chứng minh rằng : 1) AC = BD từ đó suy ra CD là đường kính của đường. (O) đường kính AB và điểm M thuộc tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B , qua A kẻ đường thẳng song song với OM , đường thẳng này cắt (O) tại C. Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của đường tròn. đònh tâm B, đường tròn này tiếp xúc với đường tròn (O) 2) RN là tiếp tuyến của đường tròn (B) trong câu 1 3) Tứ giác ARNQ là hình thoi 4) Gọi H là giao điểm của BN và AR . Chứng minh rằng :