UBND Tỉnh bắc ninh Đề kiểm định chất lợng Sở Giáo dục và Đào tạo Năm học: 2008 - 2009 Môn thi: Toán lớp 11 Thời gian: 90 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 08/05/2009 Câu I (3,0 điểm): Tìm các giới hạn sau: 1. 2 x 9x 5x 8 x lim 2x 3 + + + 2. 2 3 2 x 1 1 x lim 3x 2x 1 + + Câu II (2,5 điểm): 1. Cho hàm số y x cosx = . Chứng minh rằng: y 2sin x y'' 0 + + = . 2. Viết phơng trình các tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị hàm số 4 2 y x x 12= và trục Ox. Câu III (3,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA (ABCD) . Gọi I, J lần lợt là trung điểm của BC và CD. 1. Chứng minh đờng thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (SAJ). 2. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng IJ và SC. 3. Tính cosin của góc giữa hai đờng thẳng BD và SJ. Câu IV (1,0 điểm): Chứng minh rằng phơng trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m: ( ) 2 3 m x 2 (2x 3) x 1 0 + + = . Đáp án thang điểm Đề kiểm định chất lợng môn toán lớp 11 năm học 08 - 09 Câu Đáp án Điểm I (3,0 điểm) 1. (1,5 điểm): 2 2 5 8 9 1 9 5 8 4 lim lim 2 3 2 3 2 2 + + + + + + = = = x x x x x x x x x 2. (1,5 điểm): ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 1 1 1 1 1 lim lim 3 2 1 3 1 1 + = = + + + + x x x x x x x x x x 2 1 1 2 lim 3 1 5 = = + x x x x 1,5 0,5 1,0 II (2,5 điểm) 1. (1,5 điểm): y' cos x xsin x + = ( ) y'' sin x sin x xcos x 2sin x xcos x+ = + = y 2sin x y '' x cos x 2sin x 2sinx xcos x 0 (Dpcm) + + + = + = 2. (1,0 điểm): + Xét phơng trình: 4 2 12 0 = x x Đặt x 2 = t ( t 0 ), ta đợc phơng trình: ( ) 2 t 3 loai t t 12 0 t 4 = = = + 2 t 4 x 4 x 2= = = + y= 4x 3 2x; y(- 2) = - 28; y(2) = 28 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 1 + Phơng trình các tiếp tuyến là: y = - 28x 56 và y = 28x 56 . III (3,5 điểm) 1. (1,25 điểm): + Ta có: ã ã ADJ DCI DAJ CDI = = ã ã ã ã ã ( ) 0 0 0 DAJ AJD 90 CDI AJD 90 DKJ 90 K DI AJ DI AJ + = + = = = + Mặt khác: ( ) ( ) DI SA SA ABCD ( ) DI SAJ . O N K J I C A S B D H 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 2. (1,25 điểm): + Gọi N IJ AC = , có IJ / /BD; ( ) ( ) BD SAC BD AC,BD SA ( ) IJ SAC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên SC. Có IJ HN . Suy ra HN là khoảng cách giữa SC và IJ. + 1 a 2 NC AC 4 4 = = ; 2 2 2 2 SC SA AC a 2a a 3 = + = + = + HN CN CN.AS a 2.a a 6 CHN CAS HN AS CS CS 12 4a 3 = = = =: . 3. (1,0 điểm): + Có IJ//BD ( ) ã ( ) ã BD,SJ IJ,SJ = . + Có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 5a BD 2a a AJ AI AD DJ a ;IJ 4 4 4 4 2 = = + = + = = = = 2 2 2 2 2 2 2 5a 9a SJ SI SA AJ a 4 4 = = + = + = + ( ) ã ( ) ã 2 2 2 2 SJ IJ SI a 2 cos BD,SJ cos JS,JI a 3a 2IJ.SJ 6 4. . 2 2 + = = = = IV (1,0 điểm) + Xét hàm số: ( ) ( ) 2 3 f x m x 2 (2x 3) x 1 = + + ( ) ( ) 3 1 3 3 f 2 3;f f 2 .f 0 m 2 2 2 2 = = = < ữ ữ f(x) liên tục trên R f(x) liên tục trên 3 2; 2 Vậy phơng trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm. 0,5 0,25 0,25 K THI OLYMPIC 30-4 Ln 16 (3-4-2010) Toỏn Khi 11 Bi 1:.Gii h phng trỡnh: x y xy 3 x 1 y 1 4 + = + + + = Bi2:.Tớnh: [ ] 3 3 3 3 2 1 5 9 (4n 3) lim 1 5 9 (4n 3) + + + + + + + + Bi 3:.Cho n v k l cỏc s nguyờn vi n , k 2 .Chng minh rng : n n 1 n 1 ln 1 1 k n k 1 + + + ữ 2 (VớilnlàkhiệulogaritNê-pe) Bài 4:.Hãy tìm bên trong một tứ giác lồi một điểm sao cho các đoạn thẳng nối điểm đó và trung điểm các cạnh đối diện chia tứ giác thành 4 phần có diện tích bằng nhau bằng nhau. Bài 5:Cho hàm số f:[0,2010] → R liên tục và thỏa f(0) = f(2010).CMR tồn tại 2010 cặp số (a i ,b i ) i = 1,2,3,…,2010. với a i .b i thuộc đoạn [0,2010] sao cho b i − a i là số nguyên dương và f(a i ) = f(b i ) với mọi i = 1,2,3,…,2010. Nguồn hongsontv.vn Bài 1: ( 6,0 điểm) Cho phương trình: 4 4 2 sin x + cos x + cos 4x = m. ( m là tham số). 1) Giải phương trình khi 3 2 m = . 2) Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; 4 4 π π − Bài 2: ( 6,0 điểm) 1) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: 12 ( ) (1 2 )P x x= + . 2) Tính giới hạn hàm số : 3 1 3 1. 2 2 lim 1 x x x L x → + − − = − . Bài 3: ( 5,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = 3a. Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC, H là hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (SBC). 1) Chứng minh rằng : H là trực tâm của tam giác SBC. 2) Tính góc giữa đường thẳng OH và mặt phẳng (ABC). Bài 4: ( 3,0 điểm)Cho ba số dương a,b,c thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . 3 3 3 bc ca ab P a bc b ca c ab = + + + + + ………………… Hết ………………… A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Các dạng vô định: 1. Giới hạn của hàm số dạng: ( ) ( ) 0 lim 0 x a f x g x → ÷ o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a) 2 . o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp. 2. Giới hạn của hàm số dạng: ( ) ( ) lim x f x g x →∞ ∞ ÷ ∞ 3 o Chia tử và mẫu cho x k với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x → +∞ thì coi như x>0, nếu x → −∞ thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn. 3. Giới hạn của hàm số dạng: ( ) ( ) ( ) lim . 0. x f x g x →∞ ∞ . Ta biến đổi về dạng: ∞ ÷ ∞ 4. Giới hạn của hàm số dạng: ( ) ( ) ( ) lim - x f x g x →∞ − ∞ ∞ o Đưa về dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) lim x f x g x f x g x →∞ − + B. CÁC VÍ DỤ 1. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 3 2 12 lim 3 2 2 2 4 x x x x →− − − − + − + = = − = − − − − 2. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 3 2 lim lim lim 1 2 1 1 2 2 x x x x x x x x x x → → → − − − + = = − = − = − − .Chia tử và mẫu cho (x-2). 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 1 2 1 2 3 3 1 4 3 3 1 2 lim lim lim 3 3 3 3 1 2 3 3 3 3 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x → → → + − + + + + − + + − = = − − + + + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3.3 3 6 1 lim lim 12 2 3 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 x x x x x x x x → → − + + + = = = = = − + + + + + + 4. 2 3 3 1 lim 3 x x x x → − + = ∞ − (vì tử dần về 1 còn mẫu dần về 0).Cụ thể: 2 3 2 3 3 1 lim 3 3 1 lim 3 x x x x x x x x + − → → − + = +∞ − − + = −∞ − 5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 lim lim lim 4 5 2 1 2 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − + + + + − − = = = ∞ − + − − − − − . 6. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 2 2 3 2 lim lim lim 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x →∞ →∞ →∞ − + − + − + = = = = + + + 7. 1 lim 1 0 x x + → − = 8. 2 2 2 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 x x x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ + + = = + = 9. 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 1 x x x x x x x x x x x x x →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ + − + + = = = − + = − ÷ ÷ . 4 10. Cho hàm số : ( ) ( ) ( ) 2 3 x 1 x+a x>1 x x x f x − + ≤ = . Tìm a để hàm số có giới hạn khi x dần tới 1 và tìm giới hạn đó. Giải Ta có : ( ) ( ) 2 1 1 lim lim 3 3 x x f x x x − − → → = − + = . ( ) 1 1 lim lim 1 x x x a f x a x + + → → + = = + Vậy ( ) 1 lim 3 1 3 2 x f x a a → = ⇔ + = ⇔ = 11. ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 2 2 4 8 lim lim lim 2 4 12 2 2 x x x x x x x x x x x → → → − + + − = = + + = − − . Dạng 0 0 ÷ . 12. 3 3 3 2 3 3 3 3 3 2 1 2 1 1 2 1 1 lim lim lim 1 2 1 2 1 2 2 x x x x x x x x x x x x x x →∞ →∞ →∞ + − + − + − = = = + + + . Dạng ∞ ÷ ∞ . 13. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 3 1 2 3 1 2 lim 3 1 lim lim . 1 . 1 . 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞ →∞ →∞ − + − + − + = = ÷ + + + 2 3 3 1 1 2 3 6 lim 6 1 1 1 x x x x →∞ − + ÷ = = = + 14. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 lim 3 lim lim 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ + + − + + + + + − + + − = = + + + + + + 2 2 2 3 3 1 3 1 lim lim lim 2 1 3 3 3 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ + + + = = = = + + + + + + + + + . Dạng ( ) ∞ − ∞ SỞ GD - ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu 1. (2.5 điểm) Giải hệ phương trình: 3 2 2 3 2 2 (1 ) (2 ) 30 0 (1 ) 11 0 x y y x y y xy x y x y y y + + + + − = + + + + − = 5 Câu 2.(2.5 điểm) Giải phương trình: 2 (2 3)cos 2sin 2 4 1 2cos x x x π − − − ÷ = Câu 3. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng cho đa giác đều 2n đỉnh A 1 A 2 …A 2n ( với n là số nguyên lớn hơn 1). Hỏi có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật với các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho. Câu 4. ( 2.5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2,AB a BC a= = và SA = SB = SC = SD = 2a. Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC và H là hình chiếu vuông góc của K trên SA. a. Tính độ dài HK theo a. b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK, CD. CMR các đoạn thẳng BM và MN vuông góc với nhau. Câu 5. (1.5 điểm) Cho x, y, z là các số thức dương thoả mãn: x + y + z = 1. 1 1 1 27 : 1 1 1 8 CMR xy yz xz + + ≤ − − − Hết 6 . phơng trình các tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị hàm số 4 2 y x x 12= và trục Ox. Câu III (3,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA (ABCD) . Gọi. 28 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 1 + Phơng trình các tiếp tuyến là: y = - 28x 56 và y = 28x 56 . III (3,5 điểm) 1. (1,25 điểm): + Ta có: ã ã ADJ DCI DAJ CDI = = ã ã ã ã ã ( ) 0 0 0 DAJ AJD. ∞ SỞ GD - ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian