đề tài xác suất

Phần 1: lý do chọn đề tài 1.Cơ sở lý luận: Xác suất và biến cố là một phần kiến thức cơ bản , quan trọng trong chơng trình Toán lớp 11. Các bài toán liên quan đến xác suất có đặc thù riêng , mang tính thực tiễn và có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Và các bài toán Xác suất và biến cố thờng là các bài toán khó và hay có trong chơng trình toán THPT. Học sinh khi gặp các bài toán này thờng thì lúng túng, không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết bài toán. 2.Cơ sở thực tiễn: Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân, và những kinh nghiệm có đợc trong quá trình dạy học, tôi tổng kết đợc những dạng toán cơ bản của Xác suất và biến cố. 3.Mục đích nghiên cứu đề tài: Nghiên cứu đề tài Xác suất và biến cố nhằm mục đích là nâng cao kiến thức của mình về vấn đề này và hơn thế nữa để sử dụng nó trong quá trình dạy học sinh ôn thi tuyển sinh đại học và ôn thi học sinh giỏi. 4.Phơng pháp nghiên cứu đề tài: -Phân dạng bài tập cơ bản. -Trong mỗi dạng bài tập cơ bản đều có ví dụ minh hoạ. -Sau các ví dụ minh hoạ là các chú ý, nhận xét, phơng pháp giải của từng dạng. -Cuối cùng là các ví dụ luyện tập, hớng dẫn và bài tập tự luyện. 4.Nội dung cơ bản của đề tài: Dạng 1 : Biến cố và xác suất của biến cố Dạng 2 : Các quy tắc tính xác suất Dạnh 3 : Biến ngẫu rời rạc Dạng 4 : Xác suất có điều kiện (mở rộng) Phần 2 : nội dung 1 Dạng 1: Biến cố và xác suất của biến cố I/ Kiến thức cơ bản. 1/. Phép thử ngẫu nhiên. +/ Phép thử ngẫu nhiên ( gọi tắt là phép thử ) là một thí nghiệm hay hành động mà - Kết quả của nó không đoán trớc đợc. - Có thể xác định đợc tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đợc gọi là không gian mẫu của phép thử, kí hiệu là 2/. Biến cố. +/ Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tuỳ thuộc vào kết quả của T. Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra , đợc gọi là một kết quả thuận lợi cho A. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A đợc kí hiệu là A Khi đó ta nói biểu cố A đợc mô tả bởi tập hợp A. 3/. Xác suất của biến cố. +/ Định nghĩa cổ điển. Giả sử phép thử T có không gian mẫu là một tập hợp hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T và A. là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A, thì xác suất của A là một số , ký hiệu là P(A), đợc tính bằng công thức; P(A) = A +/ L u ý . / 0 P(A) 1 ./ P( ) = 1 , P( ) = 0 +/ Định nghĩa thống kê xác suất. ./ Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử đó. Ta thực hiện N lần phép thử T. Số lần xuất hiện biến cố A đợc gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T. Tý số giữa tần số của A với số N đợc gọi là tần suất của A trong N lần thực hiệnphép thử T. ./ Khi N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác định. Số đó gọi lần xác suất của A theo nghĩa thống kê. Trong khoa học thử nghiệm , ngời ta thờng lấy tần suất làm xác suất. Vì vậy tần suất còn đợc gọi là xác suất thực nghiệm. II. Một số ví dụ. Ví dụ 1; Gieo một đồng tiền xu 3 lần 1/ Xây dựng không gian mẫu. 2/ Gọi các biến cố A. Lần đầu gieo xuất hiện mặt sấp B. Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp C. ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa -Mô tả các tập A. , B , C .? -Tính P(A), P(B), P(C)? Giải Ta ký hiệu S là chỉ đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp và N là chỉ đồng tiền xu xuất hiện mặt ngửa. 1/ Không gian mẫu. = { } SSS,SSN,SNS,SNN, NSN,NNS,NSS,NNN Và = 8 2 2/ +/ Với biến cố A; lần đầu tiên gieo xuất hiện mặt sấp Ta có A = { } SSS,SSN,SNS,SNN A = 4 P(A) = 4 8 = 0,5 +/ Với biến cố B ; Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp Ta có; B = { } SSN,SNS,NSS . Và B = 3 P(B) = 3 8 +/ Với biến cố C; ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa Ta có; C = { } SSN,SNS,SNN,NSN,NNS,NSS,NNN C = 7 P(C) = 7 8 Ví dụ 2 Điểm bài kiểm tra học kỳ I của hai môn Toán, Văn của 10 học sinh nh sau; Môn Toán ; 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10 Môn Văn ; 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10 Rút ngẫu nhiên từ tập bài đó mỗi môn một bài. Tìm xác suất để trong hai bài rút ra 1/ Có đúng một bài điểm 5 2/ Có đúng một bài điểm 10 3/ có ít nhất một bài đạt điểm 10 Giải +/ Ta ký hiệu T là phép thử Rút ngẫu nhiên từ tập bài thi, mỗi bài có một bài Biến cố A; Trong hai bài rút ra, có đúng một bài đạt điểm 5 Biến cố B; Trong hai bài rút ra, có đúng một bài đạt điểm 10 Biến cố C; Trong hai bài rút ra, có ít nhất một bài đạt điểm 10 +/ Do có 10 bài thi môn toán , 10 bài thi môn Văn nên không gian mẫu của phép thử T có; = 10 . 10 = 100 1/ Ghép bài điểm 5 môn Toán với mỗi một bài thi môn Văn, ta có 10 cách ghép, tức là A = 10 P(A) = 1 10 = 0,1 2/ +/Ghép mỗi bài điểm 10 môn Toán với một trong số 8 bài không đạt điểm 10 môn Văn, ta có 3 . 8 = 24 cách. +/Ghép mỗi bài điểm 10 môn Văn với một trong số 7 bài không đạt điểm 10 môn Toán, ta có 2 . 7 = 14 cách. B = 24 + 14= 38 P(B) = 38 100 = 0,38 3/ +/ Có 3 bài đạt điểm 10 môn Toán, 2 bài đạt điểm 10 môn Văn có 3 . 2 = 6 cách ghép hai bài Toán ,Văn cùng điểm 10. +/ Từ đây và từ câu (2), ta có; C = 24 + 14 + 6 = 44 P(B) = 44 100 = 0,44 3 Ví dụ 3 Trong một hộp có 10 con số; 0, 1, 2.9 . Lờy ngẫunhiên 4 con số trong hộp và xếp lại thành dãy. Tìm xác suất đê số xếp đợc là một số có 4 chữ số khác nhau và chia hét cho 5. Giải +/ Gọi phép thử T Lấy ngẫu nhiên 4 con số trong hộp Gọi biến cố A; Xếp đợc số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 +/ Khi đó không gian mẫu , có = A 4 10 = 5040 +/ Ta đi tìm số các số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5(Thực chất là tìm A ) Số này có dạng abc0 hoặc abc5 . +/ Số có dạng abc0 có 9 . 8 . 7 = 504 (số) +/ Số có dạng abc5 có 8 . 8 . 7 = 448 (số) Vậy có 504 + 448 = 952 (số) Hay A = 952 Từ đây, ta đợc P(A) = 952 5040 = 17 90 Ví dụ 4 Đội tuyển thi đấu thể thao của một trờng THPT gồm 20 em , trong đó có 11 em thi đá cầu, 9 em thi điền kinh. Gặp ngẫu nhiên 2 em trong đội . Tìm xác suất để 1/ Hai em thi đấu hai môn khác nhau. 2/ Hai em đều thi đấu điền kinh. Giải +/ Gọi phép thử T Gặp ngẫu nhiên 2 em trong đội tuyển = C 2 20 = 190 1/ +/ Gọi biến cố A ; Hai em thi đấu hai môn khác nhau. A = C 1 11 . C 1 9 = 99 P(A) = 99 190 2/ +/ Gọi biến cố B; Hai em đều thi đấu điền kinh B = C 2 9 = 36 P(B) = 36 190 = 18 95 III/ Bài tập Bài 1 Gieo 2 đồng tiền đồng chát, cân đối. Tìm xác suất để; 1/ Cả 2 dồng xu đều sấp 2/ Chỉ có một đồng xuất hiện mặt sấp. 3/ ít nhất 1 đồng xuất hiện mặt sấp. Bài 2 Trong phép thử gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất của các biến cố sau; 1/ A K = Tổng số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là k với k = 2, 3, 4, ,12. 2/ B i = Hiệu số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là i Với i = 0, 1, 2,,5. 3/ C j = Hiệu số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là j Với j = 2, 4, 6, 8, 12. 4 Bài 3 Túi 1 đựng 10 bài thi Toán, túi 2 đựng 10 bài thi Văn. Điểm (thang điểm 20) của các bài thi nh sau; Môn Toán ; 8, 9, 12, 15, 15, 17, 18, 19, 19, 19. Môn Văn ; 7, 10, 15, 16, 18, 18, 18, 19, 19, 20. Rút ngẫu nhiên mỗi túi một bài thi. Tìm xác suất để. 1/ Cả hai bài đều đạt 19 điểm. 2/ It nhất một bài đạt 19 điểm. 3/ Tổng số điểm thi của hai bài bằng 35. Bài 4 Trong một trận thi đấu bóng đá , tuổi của 11 cầu thủ thi đấu trên sân nh sau. Đội 1; 17, 17, 18, 19, 19, 19, 22, 23, 24, 24,26. Đội 2; 17, 18, 18, 18, 19, 20, 20, 22, 24, 25, 30. Khai mạc trận đấu , các cầu thủ của hai đội lần lợt bắt tay nhau ( mỗi cầu thủ của đội này lần lợt bắt tay với từng cầu thủ của đội kia). Tìm xác suất để2 cầu thủ bắt tay cùng tuổi. Bài 5 Cho một khối lập phơng mà các mặt của nó đều đợc sơn. Ca khối lập phơng đó thành 1000 khối lập phơng nhỏ nh nhau. 1/ Lấy ngẫu nhiên 1 khối nhỏ. Tìm xác suất để khối đó có hai mặt đợc sơn. 2/ Lấy ngẫu nhiên 2 khối nhỏ. Tìm xác suất để 2 khối đó có 1 mặt đợc sơn. 3/ Lấy ngẫu nhiên 3 khối nhỏ. Tìm xác suất để cả 3 khối đó không có mặt nào đợc sơn. Bài 6 Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có kích thớc 5 cm . 10 cm . 15 cm. Hai mặt đáy đợc sơn màu xanh và các mặt xung quanh đợc sơn màu vàng . Ca khối đó thành 750 khối lập phơng nhỏ nh nhau. Lờy ngẫu nhiên 2 khối nhỏ. Tìm xác suất để; 1/ Một khối không có mặt nào đợc sơn và một khối kia có 2 mặt đợc sơn. 2/ Cả hai khối đều chỉ có 1 mặt đợc sơn màu vàng còn 5 mặt kia không đợc sơn. Bài 7 Trong một hộp khối kín có 9 bi màu xanh và 6 bi màu trắng kích thớc nh nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp đó. Tìm xác suất để; 1/ Hai viên khác màu. 2/ Hai viên đều màu trắng. 3/ ít nhất một viên màu xanh. Bài 8 Đội văn nghệ của nhà trờng gồm 15 học sinh, trong đó 5 học hinh khối 10, 5 học hinh khối 11, và 5 học hinh khối 12. Gặp nhau ngẫu nhien 3 em trong đội. Tìm xác suất để; 1/ Ba em học sinh là 3 học sinh khối khác nhau. 2/ Trong đó có đúng 2 em học sinhh khối 11. 3/ ít nhất có 1 học sinh khối 10. Bài 9 Trong hộp kín có 10 chữ số; 0, 1, 2, 3, .9. Lấy ngẫu nhiên 5 số từ hộp đó rồi xếp thành hàng. Tìm xác suất để số xếp đợc là; 1/ Số có 5 chữ số. 2/ Số có 5 chữ số chia hết cho 5. 3/ Số chẵn có 5 chữ số. Dạng 2: Các quy tắc tính xác xuất I/ kiến thức cơ bản. 1.Quy tắc cộng xác suất. a. Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B . Biến cố A hoặc B xảy ra,kí hiệu là A B,đợc gọi là hợp của 2 biến cố Avà B. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B là BA . 5 b. Biến cố xung khắc: cho 2 biến cố A và B. Hai biến cố A và B đợc gọi là xung khắc với nhau nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xay ra. Hai biến cố A và B xung khắc = BA . c. Quy tắc cộng xác xuất: +/ Nếu 2 biến cố đối A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là : P(A B) P(A) P(B) = +/ Mở rộng : Cho k biến cố 1 2, k A ,A A đôi 1 xung khắc khi đó 1 2 k 1 2 k P(A A A )P(A ) P(A ) P(A ) + + + . d. Biến cố đối : +/ Cho A là một biến cố khi đó biến cố không xảy ra A kí hiệu là A , đợc gọi là 1 biến cố của A. Ta có tập các kết quả thuận lợi cho A là : A A = \ . +/ Định lí : Cho biến cố A , xác suất của biến cố đối A là : ( ) P A 1 P(A)= 2.Quy tắc nhân xác suất : a. Biến cố giao: +/ Cho 2 biến cố Avà B. Biến cố cả A và B cùng xảy ra, kí hiệu là AB,đợc gọi là giao của 2 biến cố A và B. +/ Tập hợp các kết quả thuận lợi cho AB: BAAB = . b. Biến cố độc lập : +/ Hai biến cố A và B đợc gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này không ảnh hởng đến xác suất việc xảy ra biến cố kia. +/ Nếu A và B là độc lập thì Avà B ; A và B ; A và B cũng độc lập với nhau. c. Quy tắc nhân xác suất +/ Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P(AB) P(A).P(B) = +/ Nếu P(AB) P(A).P(B) thì A và b không độc lập với nhau. II. Kĩ Năng cơ bản +/ Diễn đạt đợc nội dung các biến cố hợp,biến cố giao biến cố đối. +/ Vận dụng các quy tắc cộng,nhân để giải toán. III. Một số ví dụ Ví dụ 1: Hai khẩu cao xạ cùng bắn vào 1 chiếc máy bay 1 cách độc lập với nhau xác suất trúng đích của khẩu thứ nhất là 0.75, khẩu thứ 2 là 0.65 Máy bay bắn rơi nếu đồng thời cả 2 khẩu bắn chúng. Tính xác suất để máy bay bắn rơi. Gii: +/ Ta kí hiệu biến cố: 1 T : Khẩu thứ nhất bắn trúng máy bay " 2 T : Khẩu thứ hai bắn trúng máy bay . R : Máy bay rơi. +/ Ta có: 6 P( 1 T ) = 0.75 P( 2 T ) = 0.65 R= 1 T 2 T . +/ Vì 1 T , 2 T là hai biến cố độc lập nên xác suất để máy bay bắn rơi là: P(R)=P( 1 T 2 T )= P( 1 T ).P( 2 T )=0.75 ì 0.65=0.4875. Ví dụ 2: Một nhóm học sinh giỏi gồm 60 học sinh trong đó có 40 học sinh giỏi toán,30 học sinh giỏi lý và 20 học sinh giỏi toán và lý.Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất để : 1/ Học sinh đợc chọn là học sinh giỏi toán. 2/ Học sinh đợc chọn là học sinh giỏi lí. 3/ Học sinh đợc chọn là học sinh giỏi cả toán và lý. Giải: Gọi A,B,C,D là các biến cố ứng với 4 câu hỏi trong bài toán. Ta có : 1/ P(A)= 40 2 60 3 = . 2/ P(B)= 30 1 60 2 = . 3/ P(C)= 20 1 P(A B) 60 3 = = . 4/ Từ P(A B) P(A) P(B) P(A B) 2 1 1 5 . 3 2 3 6 = + = + = Ta có : P(D) P(A B) P(A B) 5 1 1 P(A B) 1 . 6 6 = = = = = Ví dụ 3 : Một hộp chứa 10 quả cầu đợc đánh số từ 1 đến 10,đồng thời các quả từ 1 đến 6 đợc tô màu xanh.Lấy ra ngẫu nhiên 1 quả . Kí hiệu biến cố A : Quả lấy ra màu xanh B : Quả lấy ra ghi số chẵn . Hỏi 2 biến cố A,B độc lập hay không. Giải: +/ Ta có 10 = 6= A 6 3 P(A) 10 5 = = . +/.Mặt khác 3 = AB 5 1 P(B) 10 2 = = , 3 P(A B) 10 = . +/ Nhận thấy P(A B) P(A).P(B) = Vậy hai biến cố A,B độc lập . Ví dụ 4: Trong kì thi kiểm tra chất lợng ở 2 lớp thuộc khối 11,môi lớp có 25% học sinh tr- ợt mônVăn ,15%học sinh trợt môn Sử và 10% học sinh trợt môn Địa. Từ mỗi lớp trọn ngẫu nhiên một học sinh.Tính xác suất sao cho : 7 1. Hai học sinh trợt môn Văn . 2. Hai học sinh đó đều bị trợt một môn nào đó . 3. Hai hoc sinh đó không bị trợt môn nào. 4. Có ít nhất một học sinh bị trợt ít nhất một môn. Giải: Ta kí hiệu biến cố: 1 A : Học sinh đợc chọn từ lớp thứ nhất trợt Văn . 2 A :Học sinh đợc chọn từ lớp thứ nhất trợt Sử . 3 A :Học sinh đợc chọn từ lớp thứ nhất trợt Địa . 1 B :Học sinh đợc chọn từ lớp thứ hai trợt Văn . 2 B :Học sinh đợc chọn từ lớp thứ hai trợt Sử . 3 B :Học sinh đợc chọn từ lớp thứ hai trợt Địa . Khi đó các biến i j A ,B ,(i,j 1,2,3) là độc lập= . 1/ Ta cần tính 1 1 P(A B ) , 1 1 1 1 1 1 1 P(A B ) P(A )P(B ) . 4 4 16 = = = . 2/ Biến cố Hai học sinh đó đều bị trợt một môn nào đó, là ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 A A A B B B . Đặt A= ( ) 1 2 3 A A A ,B= ( ) 1 2 3 B B B 1 1 P(A) , P(B) 2 2 = = . 1 P(A B) P(A).P(B) 4 = = 3/ Biến cố Hai học sinh đó không bị trợt môn nào,là A B . +/ Ta có ( ) 2 1 1 P A B P(A).P(B) 2 4 = = = ì ữ 4/ +/ Biến cố Có ít nhất một trong hai học sinh bị trợt ít nhất một môn., là A B . ( ) ( ) ( ) ( ) / T a có P A B P A P B P AB 1 1 1 3 2 2 4 4 + = + = + = ì IV. bài tập Bi 1: Trong một hộp kín có 15 quả cầu kích thớc nh nhau.Trong đó có 5 viên màu xanh , 10 viên màu đỏ.Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3 quả. Tìm xác suất để 1. Ba quả cầu lấy ra không cùng màu. 2. Ba quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu xanh. Bài 2: Trong một phân xởng có 10 máy hoạt động.Xác suất để trong 1 ca có 1 máy phải sửa là 0,2 ; xác suất để có 2 máy phải sửa là 0,3 ; vấc suất để có nhiều hơn hai máy phải sửa là 0,07. Tìm xác suất để trong 1 ca phân xởng đó không có máy phải sửa. Bài 3: Trong 1 phân xởng có 3 máy làm việc độc lập với nhau.Trong 1 ca sản xuất xác suất để máy 1 phải sửa là 0,12 ; máy 2 phải sửa là 0,18 ; máy 3 phải sa là 0,1. Giả sử 3 máy không đồng thời phải sửa . 8 Tính xác suất để trong ca đó phải sửa máy. Bài 4: Trong hộp kín có 7 quả cầu màu xanh và 5 quả cầu màu đỏ.Lờy ngẫu nhiên từ trong hộp mỗi lần 1 quả(không hoàn lại) cho đến khi đợc quả màu xanh thì dừng lại . Tính xác suất để ngời đó dừng lại ở lần thứ 4. Bài 5 : Một xạ thủ bắn liên tiếp vào 1 mục tiêu cho đến khi trúng đích thì ngừng. Tìm xác suất để bắn đến viên thứ 3 thì ngừng.Biết xác suất bắn trúng đích cho mỗi lần bắn là 0,85. Bài 6 : Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số. Tính xác suất để : 1. Số vé không có số 1 hoặc không có số 5 . 2. Số vé có chữ số 5và chữ số chẵn . Bài 7: Trong một lớp học có 6 bóng đèn , mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25. Lớp học đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng đèn sáng. Tính xác suất để lớp học không đủ sáng. Bài 8: Một bài thi trắc nhiệm gôm 12 câu hỏi mỗi câu hỏi cho 4 câu trẩ lời trong đó chỉ có 1 câu đúng . Giả sử mỗi câu trả lời đúng đợc 1 điểm và mỗi câu trả ,lời sai không bi trừ điểm. Một học sinh học kém làm bài bằng cách chọn tùy ý câu trả lời. Tính xác suất để anh ta đợc 6 điểm. Bài 9: Gieo đồng thời 3 con súc sắc.Ngời thắng cuộc nếu có xuất hiện ít nhất 2 mặt 6 chân.Tính xác suất để ttrong 5 ván chơi,thắng ít nhất là 3 ván. Bài 10 : Một ngời bắn 3 viên đạn xác suất để 3 viên trúng vòng 10 là 0,008; xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15;và xác suất để 1 viên trúng vòng dới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất là 28 điểm. Bài 11: Một máy bay có 5 động cơ, trong 2 động cơ ở cánh phải, hai động cơ ở nhánh trái và 1 động cơ ở thân đuôi.Mỗi động cơ ở cánh phải và ở thân đuôi có xác suất bị hỏng là 0,1 ; còn mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất bị hỏng là 0,05. Các động cơ hoạt động độc lập. Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn trong các trờng hợp. 1/ Máy bay chỉ bay đợc nếu có ít nhất 2 động cơ làm việc. 2/ Máy bay chỉ bay đợc khi trên mỗi cánh của nó có ít nhất một động cơ làm việc. Bài 12 : Một xí nghiệp xản suất bóng đèn có 4 phân xởng. Khi xuất xởng, tỉ lệ chính phẩm của mỗi phân xởng nh sau: Phân xởng I đạt 99,7% ; phân xởng II đạt 99,85% ; phân xởng III đạt 99,65% và phân xởng IV đạt 99,9% .Lấy ngẫu nhiên mỗi phân xởng 1 sản phẩm.Tìm xác suất để trong số lấy ra 1/ Có 4 sản phẩm đều là phế phẩm. 2/ Có đúng 2 chính phẩm . Bài 13: Tỷ lệ thí sinh trúng tuyển vào đại học là 20%. Rút ngẫu nhiên một hồ sơ trong số hồ sơ của thí sinh dự thi cho đến khi đợc hồ sơ của thí sinh trúng tuyển thì dừng lại. Tìm xác suất để phải rút đến lần thứ t. Bài 14: Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu độc lập với nhau. Xác suất trúng đích của xạ thủ thứ nhất là 0,85 ,xạthủ thứ 2 là 0,75 Tìm xác suất để : 1/ Ngời thứ nhất bắn 3 phát đầu, có 1 phát trúng đích . 2/ Ngời thứ 2 bắn 3 phát đầu, có hai phát trúng đích. 3/ Cả 2 ngời bắn trúng ngay từ phát đầu tiên . 4/ ít nhất một ngời bắn trúng đích khi mỗi ngời bắn 1 phát. Bài 15: Kết quả kiểm tra chất lợng học kì I của K11 nh sau: Lớp 11A tỉ lệ khá giỏi 92%. Lớp 11B tỉ lệ khá giỏi 80%. 9 Lớp 11C tỉ lệ khá giỏi 85%. Lớp 11D tỉ lệ khá giỏi 78%. Lớp 11E tỉ lệ khá giỏi 65%. Rút ngẫu nhiên mỗi lớp 1 bài kiểm tra.Tìm xác suất để trong 5 bài đó 1/ Đều đạt khá trở lên 2/ Có 3 bài đạt điểm khá trở lên. 3/ Không có bài nào đạt điểm khá giỏi. Dạng 3 : Biến ngẫu rời rạc I/ Kiến thức cơ bản. 1. Biến ngẫu rời rạc Đại lơng X đợc gọi là biến ngẫu rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên, không dự đoán dợc. 2/ Phân bố xác suất của biến ngẫu rời rạc. Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị; { } 1 2 n x ,x x . Để hiểu rõ hơn về X , ta thờng quan tâm đến xác suất để X nhận giá trị x k , tức là các số (X = x k ) = P k với k = 1, 2, n. Các thông tin về X nh vậy thờng đợc trình bày dới dang bảng sau. X X 1 X 2 x n P P 1 P 2 p n Và gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên tời rạc X. 3/ Kỳ vọng. +/ Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị; { } 1 2 n x ,x x . Kỳ vọng của X , ký hiệu là E (X), là một số, đợc tính theo công thức; E(X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 +. + x n p n = n i i i 1 x p = ở đây p i = P(X = x i ) , i= 1, 2, n. +/ ý nghĩa. E(X) là một số , cho ta ý niệm về độ lớn trung bình của X +/ Lu ý; Kỳ vọng của X không nhất thiết thuộc tập hợp các giá tri của X. 4/ Ph ơng sai +/ Cho X là biểu ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là; { } 1 2 n x ,x , ,x Phơng sai của X , ký hiệu là V(X), là một số đợc tính theo công thức; V(X) = (x 1 - à ) 2 p 1 + (x 2 - à ) p 2 = + (x n - à ) 2 p n = n i 1 (x i - à ) 2 p i ở đây p i = P(X=x i ), i = 1, 2, , n. và à = E(X) +/ ý nghĩa; Phơng sai là một số không âm. Nó cho ta ý niệm về mức độ phân tán các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình. Phơng sai càng lớn thì mức độ phân tán này càng lớn. 5/ Độ lệch chuẩn. +/ Căn bậc hai của phơng sai , ký hiệu là (X), đợc gọi là độ lệch chuẩn của X, nghĩa là; (X) = V(X) +/ Lu ý; Có thể chứng minh đợc rằng; V(X) = = n i 1 x 2 i p i - à 2 (1) Trong thực hành , ta thờng dùng công thức (1) để tính phơng sai. II. Kỹ năng cơ bản 10 [...]... T2 Lập bảng phân phối xác suất của X Tính E(x), V(x), (x) 2/ Lập bảng phân phối xác suất của Y = X Bài 4 Gieo 2 con súc sắc; Một con màu xanh , một con màu đỏ,đều cân đối, đồng chất Gọi X là số chấm xuất hiện ở mặt trên con súc sắc màu xanh, Y là số chấm xuất hiện ở mặt trên con súc sắc màu đỏ 1/ Lập bảng phân phối xác suất của X và của Y 2/ Tính [ X + Y = 3] Dạng 4 : xác suất có điều kiện Trong... phân phối xác suất của X Tính E(x) , V(x), (X) Bài 2 Một hộp chứa 10 tấm thẻ đỏ, 6 tấm thẻ xanh Lấy ngẫu nhiên ra 3 tấm thẻ 1/ Gọi X là số thẻ đỏ Lập bảng phân phối xác suất của X 2/ Giả sử rút mỗi tấm thẻ đỏ đợc 5 điểm và rút mỗi tấm thẻ xanh đợc 8 điểm Gọi Y là tổng số điểm trên 3 thẻ rút ra Lập bảng phân phối xác suất của Y Bài 3 Hai xạ thủ T1 và T2 tập bắn Mỗi ngời bắn 2 viên đạn Xác suất bán... nữ ./ Số cách chọn là C15 C26 =75 75 5 = P(x=1) = 165 11 1/ Tính P(x=2) / P(x=2) là xác suất chọn đợc đúng 2 nam và 1 nữ ./ Số cách chọn là; C25 C 16 =60 60 4 = P(x=2) = 165 11 +/ Tính P(x = 3) / P(x = 3) là xác suất chộn dợc cả 3 nam ./ Số cách chọn là; C25 = 10 10 2 = P(x = 3) = 165 33 Vậy bảng phân bố xác suất của X là; X P 0 1 2 3 4 33 5 11 4 11 2 33 3 +/ Tính E(x) = xipi i=0 Ta cố; E(x)... phân bố xác suất của X Trung bìng cần thử bao nhiêu lần Giải +/ Biến ngẫu nhiên rời rạc X có tập giá trị; { 2,3,4,5} Tính P(x= 2) / P(x= 2) là xác suất để sau 2 lần thử ta chọn đợc 2 bóng tốt 12 P(x= 2) = 2 1 2 = 5 4 20 3 2 5 4 3 P(x = 4) = 5 1 2 3 1 4 + = 3 5 4 3 20 2 2 1 3 2 2 1 2 3 1 4 + + = 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 20 2 4 6 8 P(x= 5) = 1 ( + + )= 20 20 20 20 +/ Bảng phân phối xác suất. .. dụ 4 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất nh sau; X 1 3 5 7 9 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1 Lập bảng phân bố xác suất của Y = min { X,4} Giải +/ Ta có Y là một biến ngẫu nhiên tời rác và có tập giá trị là ; { 1,3,4} +/ P(Y = 1) = P(x = 1) = 0,1 +/ P(Y = 3) = P(x = 3) = 0,2 +/ P(Y = 4) = P(x = 5) + P(x=7) + P(x=9) = 0,7 +/ Bảmg phân phối xác suất của Y là; Y 1 3 4 P 0,1 0,2 0,7 Ví dụ 5 Một ngời...- Biết cách lập bảng phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc - Biết tính xác suất có liên quan tới biến ngẫu nhiên rời rạc X từ bảng phân bố của X - Biết tính kỳ vọng , phơng sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc từ bảng phân bố xác suất của nó III một số ví dụ Ví dụ 1; Một nhóm học sinh có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ... nghệ Gọi X là số nam học sinh đợc chọn Lập bảng phân bố xác suất của X Tính phơng sai , kỳ vọng độ chênh lệch chuẩn của X Giải +/ Biến ngẫu nhiên rời rạc X có tập giá trị ; { 0;1;2;3} +/ Ta có = C311 = 165 +/ Tính P(x=0) / P(x=0) là xác suất chọn đợc cả 3 nữ sinh / Số cách chọn là; C36 = 20 20 4 = P(x=0) = 165 33 +/ Tính P(x=1) / P(x=1) là xác suất chọn đợc đúng 1 nam và 2 nữ ./ Số cách chọn là C15... đợc làm điều 2 và gọi chung là các bài toán có điều kiện Trong bài toán xác suất cũng vậy , biến cố A xảy ra đòi hỏi biến cố B đã xảy ra và ngời ta gọi là xác suất có điều kiện Để rõ hơn chúng ta đi phân tích một ví dụ: Ví dụ : Trong một hộp kín có 6 bi đỏ , 4 bi xanh , lấy ngẫu nhiên lần lợt hai bi (không hoàn lại).Tìm xác suất để lần thứ hai lấy đợc bi xanh nếu biết lần thứ nhất đã lấy đợc bi đỏ?... nhất lấy đợc bi đỏ Khi biến cố B xảy ra thì trong hộp chỉ còn 9 bi ( 5 bi đỏ , 4 bi xanh ) P( A / B) = 4 9 Trên cơ sở đó ta có định nghĩa A.Định nghĩa xác suất có điều kiện Xác suất của biến cố A đợc tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A Và ký hiệu P(A/B) B.Công thức 14 Giả sử phép thử có n kết quả cùng khả năng xảy ra , trong đó có nA kết quả thuận lợi cho biến... thời hai con súc sắc cân đối, đồng chất Gọi X là tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt con súc sắc Lập bảng phân bố xác suất của X Tính kỳ vọng , phơng sai của X Giải +/ Ta có = 36 +/ Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận có tập giá trị; { 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Ta tính; P(x= 2) ./ P(x= 2) là xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên 2 mặt con xúc sắc bằng 2 ./ Chỉ có một khả năng xảy ra 1 P(x= 2) = 36 +/ . những dạng toán cơ bản của Xác suất và biến cố. 3.Mục đích nghiên cứu đề tài: Nghiên cứu đề tài Xác suất và biến cố nhằm mục đích là nâng cao kiến thức của mình về vấn đề này và hơn thế nữa để. tập tự luyện. 4.Nội dung cơ bản của đề tài: Dạng 1 : Biến cố và xác suất của biến cố Dạng 2 : Các quy tắc tính xác suất Dạnh 3 : Biến ngẫu rời rạc Dạng 4 : Xác suất có điều kiện (mở rộng) Phần. : Một ngời bắn 3 viên đạn xác suất để 3 viên trúng vòng 10 là 0,008; xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15;và xác suất để 1 viên trúng vòng dới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất