www.facebook.com/toihoctoan
BÀI TẬP XÁC SUẤT Bài 1: Chọn ngẫu nhiên 2 lá bài trong bộ bài 52 lá. Tính xác suất để chọn đúng 1 lá xì (ách) (cơ, rô, chuồn, bích). Bài 2: Gieo hai đồng xu cùng lúc. Tính xác suất để được nhiều nhất một mặt sấp (S). Bài 3: Chọn ngẫu nhiên một viên bi trong bình đựng 6 viên bi đen và 4 viên bi trắng. Tính xác suất để được một viên bi trắng. Bài 4: Chọn ngẫu nhiên 13 lá bài trong bộ bài 52 lá. Tính xác suất để được 5 lá chuồn, 4 lá cơ, 3 lá rô, 1 lá bích. Bài 5: Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 50 số tự nhiên: 1; 2; 3; 4….50 a) Tính xác suất biến cố A: trong 3 số đó chỉ có 2 số là bội của 5. b) Tính xác suất biến cố B: trong 3 số đó có ít nhất một số là số chính phương. Bài 6: Gieo hai con xúc sắc cùng lúc. a) Tính xác suất của biến cố A: được 2 số chấm xuất hiện khác nhau b) Tính xác suất của biến cố B: được tổng số chấm xuất hiện bằng 7. Bài 7: Một người viết 10 lá thư và ghi địa chỉ gửi cho 10 người bạn trên 10 phong bì. Sau đó người đó bỏ ngẫu nhiên 10 lá thư trong 10 phong bì. Tính xác suất để mỗi người bạn đều nhận được lá thư đúng là của mình. Bài 8: Một cuộc sổ số tombola có 100 vé và 10 vé trúng. Chon ngẫu nhiên 3 vé. a) Tính xác suất để được 1 vé trúng b) Tính xác suất để được ít nhất 1 vé trúng. Bài 9: Chọn ngẫu nhiên 3 lá bài trong bộ bài 52 lá. a) Tính xác suất để được 3 lá hình. b) Tính xác suất để được 3 lá xì. Bài 10: Một bình đựng 5 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. a) Tính xác suất để được 3 viên bi cùng màu b) Tính xác suất để được 3 viên bi khác màu. Bài 11: Một hộp đựng 2 bi xanh, 3 bi đỏ và 4 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Gọi A là biến cố “Chọn được 2 bi xanh”, B là biến cố “Chọn được 2 đỏ”và C là biến cố “Chọn được 2 bi vàng” a) Các biến cố A; B; C có đôi một xung khắc không? b) Biến cố “Chọn được 2 viên bi cùng màu” là…? c) Hai biến cố E “Chọn được 2 bi cùng màu” và F “Chọn được 2 bi khác màu” là biến cố gì? Bài 12: Gieo một con xúc sắc hai lần liên tiếp. Gọi A là biến cố “Lần gieo thứ nhất được số chẵn”, B là biến cố “ Lần gieo thứ hai được số lẻ”. a) Hai biến cố A và B có độc lập không? b) Giao của hai biến cố A và B là biến cố gì? Bài 13: Chọn ngẫu nhiên 8 lá bài trong cỗ bài 32 lá. Tính xác suất để được ít nhất 3 lá Già (K) (Đánh xì tố - chọn từ 7 trở lên) Bài 14: Gieo một con xúc sắc. Gọi A là biến cố được số chẵn và B là biến cố được một bội số của 2. Kiểm lại rằng: ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB∪ = + − Bài 15: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có: 15 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý và 5 học sinh giỏi Toán lẫn Lý. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Hãy tính xác suất để học sinh đó giỏi Toán hay giỏi Lý. Bài 16: Xét không gian mẫu E và hai biến cố xung khắc A và B, biết xác suất P(A) = 0,3; P(B) = 0,5. Tính ( ); ( ); ( ); ( )P AB P A B P A P B∪ Bài 17: Cho hai biến cố bất kỳ A và B. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( )P A P AB P AB= + Bài 18: Chọn ngẫu nhiên một lá bài trong cỗ bài 32 lá, ghi nhận kết quả rồi trả lại lá bài trong cỗ bài và rút một lá bài khác, Tính xác suất để được già bích và già cơ. Bài 19: Một công nhân phải theo dõi hoạt động của hai máy dệt A và B. Xác suất để người công nhân phải can thiệp máy dệt A trong 1 giờ là 1/7. và máy dệt B trong cùng thời gian trên là ½ . Tính xác suất để người công nhân không phải can thiệp máy nào trong một giờ. Bài 20: Xác suất để xạ thủ bắn trúng bia là 0,2. Tính xác suất để trong 3 lần bắn, xạ thủ bắn trúng bia một lần. Bài 21: Cho 2 5 1 ( ) ; ( ) và P(AB)= 5 12 6 P A P B= = . Hỏi hai biến cố A và B có: a) Xung khắc hay không? b) Độc lập với nhau hay không? Bài 22: Gieo 3 đồng xu cân đối. Gọi A là biến cố có ít nhất một đồng xu lật ngửa và B là biến cố có đúng 2 đồng xu lật ngửa a) Tính xác suất để có ít nhất một đồng xu lật ngửa. b) Tính ( ) và P B P A B A ∩ ÷ Bài 23: Gieo 3 đồng xu cân đối. Gọi A là biến cố có ít nhất một đồng xu lật ngửa và B là biến cố có đúng hai đồng xu lật ngửa. a) Tính xác suất để có ít nhất một đồng xu ngửa. b) Tính ( ) và P B P A B A ∩ ÷ Bài 24: Cho hai biến cố A và B, biết ( ) ( ) ( ) ( ) 0,3; ( ) 0,5; và P(A B) = 0,1. Tính P ; ( ); ( ); ;P A P B A B P A P B P A B P A B= = ∩ ∪ ∩ ∪ Bài 25: Bình U 1 đựng 3 bi đỏ và 7 bi đen; bình U 2 đựng 4 bi đỏ và 6 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 2 bi của U 1 và 1 bi của U 2 . Gọi A là biến cố được 3 bi đỏ, B là biến cố được 3 bi mà tất cả không cùng màu và C là biến cố lấy được bi đỏ từ bình U 2 . a) Tính P(A) b) Tính xác suất để được 3 bi cùng màu c) Tính C P B ÷ Hướng dẫn giải: Bài 1: Chọn ngẫu nhiên 2 lá bài trong bộ bài 52 lá. Tính xác suất để chọn đúng 1 lá xì (ách) (cơ, rô, chuồn, bích). Giải: không gian mẫu: 2 52 = 1326CΩ = . Cỗ bài có 4 lá xì nên có 1 4 4C = cách chọn quân xì. Có 48 cách chọn quân bài còn lại ( 52 – 4 xì = 48). số phần tử biến cố 1 4 .48 A CΩ = . Vậy 4.48 ( ) 0,145 1326 P A = = Bài 2: Gieo hai đồng xu cùng lúc. Tính xác suất để được nhiều nhất một mặt sấp (S). Giải: Không gian mẫu { } S, , , SS SN NN NΩ = có 4 phần tử Biến cố được nhiều nhất 1 mặt S là { } ; ; S A SN NN NΩ = có 3 phần tử nên 3 ( ) 4 P A = Bài 3: Chọn ngẫu nhiên một viên bi trong bình đựng 6 viên bi đen và 4 viên bi trắng. Tính xác suất để được một viên bi trắng. Giaỉ: Chọn ngẫu nhiên một viên bi trong bình đựng 10 bi thì có 10 cách chọn. Có 4 cách chọn 1 bi trắng trong 4 bi trắng. Nên 4 ( ) 10 P A = Bài 4: Chọn ngẫu nhiên 13 lá bài trong bộ bài 52 lá. Tính xác suất để được 5 lá chuồn, 4 lá cơ, 3 lá rô, 1 lá bích Giải: • Có 13 52 C cách chọn 13 quân bài trong bộ bài 52 lá. • Có 5 13 C cách chọn 5 lá chuồn trong 13 lá chuồn. • Có 4 13 C cách chọn 4 lá cơ trong 13 lá cơ. • Có 3 13 C cách chọn 3 lá rô trong 13 lá rô. • Có 1 13 C cách chọn 1 lá bích trong 13 lá bích. Vậy xác suất phải tìm là: 5 4 3 1 13 13 13 13 13 52 . . . 0,005 C C C C P C = = Bài 5: Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 50 số tự nhiên: 1; 2; 3; 4….50 a) Tính xác suất biến cố A: trong 3 số đó chỉ có 2 số là bội của 5. b) Tính xác suất biến cố B: trong 3 số đó có ít nhất một số là số chính phương. Giải: a)Ta có 3 50 C cách chọn 3 số trong 50 số Trong các số từ 1 đến 50 có 10 số là bội của 5, do đó có 2 10 C cách chọn 2 số là bội của 5 Có 40 cách chọn một số không phải là bội của 5. Vậy 2 10 3 50 40. ( ) 0,09 C P A C = = b)Trong các số tự nhiên từ 1 đến 50 có 7 số chính phương là 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49 Do đó có 3 43 C cách chọn 3 số không là số chính phương Vậy số cách chọn 3 số trong đó có ít nhất một số là số chính phương là 3 3 50 43 C C− Vậy 3 3 3 50 43 43 3 3 50 50 ( ) 1 0,37 C C C P B C C − = = − = Bài 6: Gieo hai con xúc sắc cùng lúc. c) Tính xác suất của biến cố A: được 2 số chấm xuất hiện khác nhau d) Tính xác suất của biến cố B: được tổng số chấm xuất hiện bằng 7. Giải: Không gian mẫu gồm: 6.6 = 36 phần tử Biến cố A: được 2 số chấm xuất hiện khác nhau gồm 30 phần tử. Nên 5 ( ) 6 P A = Biến cố B: được tổng số chấm xuất hiện bằng 7: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1;6 ; 2;5 ; 3;4 ; 4;3 ; 5;2 ; 6;1 Vậy 6 1 ( ) 36 6 P B = = Bài 7: Một người viết 10 lá thư và ghi địa chỉ gửi cho 10 người bạn trên 10 phong bì. Sau đó người đó bỏ ngẫu nhiên 10 lá thư trong 10 phong bì. Tính xác suất để mỗi người bạn đều nhận được lá thư đúng là của mình. Giải: Bỏ 10 thư vào 10 phong bì có 10! cách bỏ. Chỉ có 1 trường hợp mỗi người nhận đúng thư của mình. Vậy 1 10! P = Bài 8: Một cuộc sổ số tombola có 100 vé và 10 vé trúng. Chon ngẫu nhiên 3 vé. a) Tính xác suất để được 1 vé trúng b) Tính xác suất để được ít nhất 1 vé trúng. Giải: Số cách chọn 3 trong 100 vé là: 3 100 C a) Biến cố A được 1 vé trúng và 2 vé không trúng là: 1 2 10 90 .C C . Vậy 2 2 10 90 3 100 . ( ) 0,248 C C P A C = = b) Biến cố được 3 vé không trúng là 3 90 C . Do đó biến cố B được ít nhất 1 vé trúng là 3 3 100 90 C C− Vậy 3 3 100 90 3 100 ( ) 0,273 C C P B C − = = Bài 9: Chọn ngẫu nhiên 3 lá bài trong bộ bài 52 lá. a) Tính xác suất để được 3 lá hình. b) Tính xác suất để được 3 lá xì. Giải: Chọn 3 lá bài trong 52 lá thì số cách chọn là: 3 52 C a) Cỗ bài có 12 lá hình nên số cách chọn 3 lá hình là: 3 12 C , Nên 3 12 3 52 ( ) 0,0099 C P A C = = b) Cỗ bài có 4 lá xì nên số cách chọn được 3 lá xì là 3 4 C . Nên 3 4 3 52 ( ) 0,0001 C P B C = = Bài 10: Một bình đựng 5 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. a) Tính xác suất để được 3 viên bi cùng màu b) Tính xác suất để được 3 viên bi khác màu. Giải: Không gian mẫu có: 3 15 C phần tử Biến cố A được 3 viên bi cùng màu có 3 3 3 5 6 4 C C C+ + phần tử, Vậy 3 3 3 5 6 4 3 15 ( ) 0,0747 C C C P A C + + = = Biến cố B được 3 viên bi khác màu có 5 . 6. 4 = 120 phần tử. Vậy 3 15 120 ( ) 0,263P B C = = Bài 11: Một hộp đựng 2 bi xanh, 3 bi đỏ và 4 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Gọi A là biến cố “Chọn được 2 bi xanh”, B là biến cố “Chọn được 2 đỏ”và C là biến cố “Chọn được 2 bi vàng” a) Các biến cố A; B; C có đôi một xung khắc không? b) Biến cố “Chọn được 2 viên bi cùng màu” là…? c) Hai biến cố E “Chọn được 2 bi cùng màu” và F “Chọn được 2 bi khác màu” là biến cố gì? Giải: a) Các biến cố A; B; C đôi một xung khắc b)Biến cố A B C∪ ∪ là “được chọn hai viên bi cùng màu” c) E; F là hai biến cố đối vì nếu E xảy ra thì F không xảy ra. Bài 12: Gieo một con xúc sắc hai lần liên tiếp. Gọi A là biến cố “Lần gieo thứ nhất được số chẵn”, B là biến cố “ Lần gieo thứ hai được số lẻ”. a) Hai biến cố A và B có độc lập không? b) Giao của hai biến cố A và B là biến cố gì? Giải: a) A; B là hai biến cố độc lập vì việc xảy ra hay không xảy ra của A không ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra biến cố B b) Giao của hai biến cố AB là biến cố “Lần gieo thứ nhất được số chẵn và lần gieo thứ hai được số lẻ”. Bài 13: Chọn ngẫu nhiên 8 lá bài trong cỗ bài 32 lá. Tính xác suất để được ít nhất 3 lá Già (K) (Đánh xì tố - chọn từ 7 trở lên) Giải: Gọi A là biến cố được 3 lá Già và B là biến cố được 4 lá Già thì A B∪ là biến cố được ít nhất 3 lá Già. Ta có 3 5 4 4 4 28 4 28 8 8 32 32 . . ( ) và P(B)= C C C C P A C C = . A và B là hai biến cố xung khắc Vậy ( ) 3 5 4 4 4 28 4 28 8 32 . . ( ) ( ) 0,04 C C C C P A B P A P B C + ∪ = + = = Bài 14: Gieo một con xúc sắc. Gọi A là biến cố được số chẵn và B là biến cố được một bội số của 2. Kiểm lại rằng: ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB∪ = + − Giaỉ: Ta có { } { } 2;4;6 ; 3;6 .A B= = Do đó { } { } 2;3;4;6 và AB= 6A B∪ = Vậy ( ) 3 1 2 1 4 2 1 ( ) ; ( ) ; ; ( ) 6 2 6 3 6 3 6 P A P B P A B P AB= = = = ∪ = = = Suy ra ( ) 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 3 6 3 P A P B P AB P A B+ − = + − = = ∪ Bài 15: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có: 15 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý và 5 học sinh giỏi Toán lẫn Lý. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Hãy tính xác suất để học sinh đó giỏi Toán hay giỏi Lý. Giải:A là biến cố học sinh giỏi Toán, B là biến cố học sinh giỏi Lý Ta có AB là biến cố học sinh giỏi Toán và Lý A B∪ là biến cố học sinh giỏi Toán hay Lý. Và: 15 3 10 1 5 1 ( ) ; ( ) ; ( ) 40 8 40 4 40 8 P A P B P AB= = = = = = Vậy: ( ) 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 8 4 8 2 P A B P A P B P AB∪ = + − = + − = Bài 16: Xét không gian mẫu E và hai biến cố xung khắc A và B, biết xác suất P(A) = 0,3; P(B) = 0,5. Tính ( ); ( ); ( ); ( )P AB P A B P A P B∪ Giải: A và B là hai biến cố xung khắc nên P(AB) = 0 và ( ) ( ) ( ) 0,3 0,5 0,8P A B P A P B∪ = + = + = A là biến cố đối của A nên ( ) 1 ( ) 1 0,3 0,7P A P A= − = − = B là biến cố đối của B nên ( ) 1 ( ) 1 0,5 0,5P B P B= − = − = Bài 17: Cho hai biến cố bất kỳ A và B. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( )P A P AB P AB= + Giải: Ta có ( ) ( ) A AB AB= ∪ vì sự xảy ra của A là kết quả của sự xảy ra ( của A và của B) hay (sự xảy ra của A và không xảy ra của B). Mà AB và AB là hai biến cố xung khắc. Vậy ( ) ( ) ( )P A P AB P AB= + Bài 18: Chọn ngẫu nhiên một lá bài trong cỗ bài 32 lá, ghi nhận kết quả rồi trả lại lá bài trong cỗ bài và rút một lá bài khác, Tính xác suất để được già bích và già cơ. Giải: Gọi A là biến cố “Chọn lá bài thứ nhất là lá già bích”. B là biến cố “chọn được lá bài thứ hai là lá già cơ”. Ta tìm P(AB) Mà A và B là hai biến cố độc lập vì ta trả lại lá bài thứ nhất trước khi rút lá bài thứ hai. Do đó: P(AB) = P(A).P(B) = 2 1 1 . 0,09,10 32 32 − = Bài 19: Một công nhân phải theo dõi hoạt động của hai máy dệt A và B. Xác suất để người công nhân phải can thiệp máy dệt A trong 1 giờ là 1/7. và máy dệt B trong cùng thời gian trên là 1/5 . Tính xác suất để người công nhân không phải can thiệp máy nào trong một giờ. Giaỉ: Xác suất để máy A hư độc lập với xác suất để máy B hư. Ta có: ( ) 1 6 1 ( ) 1 7 7 P A P A= − = − = với A là biến cố máy A không hư Và ( ) 1 4 1 ( ) 1 5 5 P B P B= − = − = với B là biến cố máy B không hư. Vậy xác suất để người công nhân không phải can thiệp vào máy nào trong 1 giờ là ( ) 6 4 24 . . 0,69 7 5 35 P A B = = = Bài 20: Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia là 0,2. Tính xác suất để trong 3 lần bắn, xạ thủ bắn trúng bia một lần. Giải: Gọi A là biến cố xạ thủ bắn trúng và A là biến cố xạ thủ bắn không trúng bia. Ta có P(A) = 0,4 và ( ) 1 ( ) 1 0,4 0,6P A P A= − = − = Xác suất để xạ thủ bắn trúng bia lần 1 và không trúng hai lần sau là: P 1 = 0,4.0,6.0,6=0,14 Xác suất để xạ thủ bắn trúng lần 2 và không trúng lần 1 và lần 3 là P 2 = P 1 Xác suất để xạ thủ bắn trúng lần 3 và không trúng hai lần đầu là P 3 = P 1 Vậy xác suất để xạ thủ bắn trúng 1 lần là P = 0,14.0,14.0,14 = 0,42 Bài 21: Cho 2 5 1 ( ) ; ( ) và P(AB)= 5 12 6 P A P B= = . Hỏi hai biến cố A và B có: a) Xung khắc hay không? b)Độc lập với nhau hay không? Giải: a) Vì 1 ( ) 0 6 P AB = ≠ nên A và B không xung khắc b) Ta có 2 5 1 ( ). ( ) . ( ) 5 12 6 P A P B P AB= = = Vậy A và B là hai biến cố độc lập Bài 22: Gieo 3 đồng xu cân đối. Gọi A là biến cố có ít nhất một đồng xu lật ngửa và B là biến cố có đúng 2 đồng xu lật ngửa a) Tính xác suất để có ít nhất một đồng xu lật ngửa. b)Tính ( ) và P B P A B A ∩ ÷ Giải: Không gian mẫu: { } , S, NS , , SS, S, S , SSNNN NN N SNN N SN S N SΩ = a) Xác suất để được ít nhất một đồng xu lật ngửa là 1 7 ( ) 1 8 8 P A = − = b) Ta có 3 ( ) 8 P B = A và B là hai biến cố độc lập nên ( ) 7 3 21 ( ). ( ) . 8 8 64 P A B P A P B∩ = = = Ta có: 21 ( ) 3 64 7 ( ) 8 8 B P AB P A P A = = = ÷ Bài 24: Cho hai biến cố A và B, biết ( ) ( ) ( ) ( ) 0,3; ( ) 0,5; và P(A B) = 0,1. Tính P ; ( ); ( ); ;P A P B A B P A P B P A B P A B= = ∩ ∪ ∩ ∪ Giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,3 0,5 0,1 0,7 1 ( ) 1 0,3 0,7 1 ( ) 1 0,5 0,5 1 ( ) 1 0,1 0,9 1 1 0,7 0,3 P A B P A P B P AB P A P A P B P B P AB P AB P A B P A B ∪ = + − = + − = = − = − = = − = − = = − = − = ∪ = − ∪ = − = Bài 25: Bình U 1 đựng 3 bi đỏ và 7 bi đen; bình U 2 đựng 4 bi đỏ và 6 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 2 bi của U 1 và 1 bi của U 2 . Gọi A là biến cố được 3 bi đỏ, B là biến cố được 3 bi mà tất cả không cùng màu và C là biến cố lấy được bi đỏ từ bình U 2 . a) Tính P(A) b) Tính xác suất để được 3 bi cùng màu c) Tính C P B ÷ Giải: a) Lấy 2bi từ bình U 1 đựng 10 bi (3 đỏ và 7 đen) và 1 bi từ bình U 2 đựng 10 bi (4 đỏ và 6 đen). Gọi A là biến cố lấy được 3 bi đỏ. Biến cố A chỉ xảy ra khi lấy được 2 bi đỏ từ U 1 và 1 bi đỏ từ U 2 Xác suất lấy được 2 bi đỏ từ U 1 là 2 3 2 10 3 1 45 15 C C = = Xác suất lấy được 1 bi đỏ từ U 2 là 1 4 2 10 4 2 10 5 C C = = Vậy 1 2 2 ( ) . 15 5 75 P A = = b)Gọi E là biến cố lấy được 3 bi cùng màu. Biến cố E xảy ra khi lấy được 3 bi đỏ hay 3 bi đen Xác suất lấy được 2 bi đen từ U 1 là 2 7 2 10 21 7 45 15 C C = = Xác suất lấy được 1 bi đen từ U 2 là 1 6 2 10 6 3 10 5 C C = = Do đó xác suất lấy được 3 bi đen là 7 3 7 . 15 5 25 = Hai biến cố lấy được 3 bi đỏ và 3 bi đen là hai biến cố xung khắc. Vậy xác suất lấy được 3 bi cùng màu là 2 7 23 ( ) 75 25 75 P E = + = B là biến cố lấy được 3 bi không cùng màu, B là biến cố đối của E. Vậy 23 52 ( ) 1 ( ) 1 75 75 P B P E= − = − = c)Gọi C là biến cố được bi đỏ từ U 2 Ta có BC là biến cố lấy 3 bi không cùng màu và bi lấy từ U 2 có màu đỏ. Biến cố BC xảy ra khi: • Lấy được 2 bi đen trong U 1 và 1 bi đỏ trong U 2 : 7 2 14 . 15 5 75 = • Lấy được 1 bi đỏ và 1 bi đen trong U 1 và 1 bi đỏ trong U 2 : 7 2 14 . 15 5 75 = Hai biến cố này xung khắc nên 28 14 14 28 ( ) 7 75 ( ) ; suy ra P 52 75 75 75 ( ) 13 75 C P BC P BC B P B = + = = = = ÷