ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 - Lớp 12 THPT - Phần 8 potx

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Câu I: Cho hàm số ( ) ( ) 2 log 2 log 1 3 2 1 x x f x + + = + . Tính giá trị của tổng ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 100S f f f f= + + + + . Cách giải Kết quả Câu II: Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của các phương trình sau a) 2sin 7cos 4 0x x− + = , với 0 0 270 450x< < ; b) ( ) 2 sin cos sin .cos 1 0y y y y+ + + = , với 90 360 o o y< < . Cách giải Kết quả Câu III: Cho dãy số ( ) n u xác định bởi : ( ) 1 1 2 1 3 2 n n u u u + =    = +   1. Tính 12 số hạng đầu của dãy đã cho. 2. Tính tổng 20 số hạng đầu của dãy số. 3. Viết quy trình bấm phím thực hiện việc tính liên tiếp 20 số hạng đầu và tổng của 20 số hạng đó. Cách giải Kết quả Câu IV: Tính gần đúng tọa độ giao điểm của đường thẳng ( ) d đi qua hai điểm ( ) 1;2A , ( ) 3;5B − và đồ thị ( ) C hàm số 1 3 7 x y x − = + . Cách giải Kết quả Câu V: Chị Hoa vay ngân hàng 20.000.000 đồng để kinh doanh với lãi suất 1,5 % /tháng. Trong 2 năm đầu chị Hoa chỉ trả lãi hàng tháng theo lãi suất của ngân hàng, những năm còn lại chị Hoa trả 500.000 đồng/tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng chị Hoa sẽ trả hết nợ. Cách giải Kết quả Câu VI: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, đáy ABC là tam giác cân tại A có trung tuyến 5AD cm= . Cạnh SB tạo với đáy một góc 0 45 và tạo với mặt phẳng ( ) SAD một góc 0 15 . Tính cạnh SB . Cách giải Kết quả Câu VII: Biết ( ) P x đa thức bậc bốn, có hệ số của 4 x bằng 1 và ( ) P x chia cho các nhị thức 1x + , 2x + , 1x − , 2x − lần lượt có dư là 2− , 4, 11− , 6. 1. Hãy tìm đa thức ( ) P x 2. Tính ( ) ( ) 500 200P P+ . Cách giải Kết quả Câu VIII: 1. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 3 5cos 2y x x= + trên đoạn [ ] 0; π ? 2. Tìm tổng của các hệ số của các số hạng chứa 5 10 ,x x trong khai triển 30 3 2 x x   +  ÷   . Cách giải Kết quả Câu IX: Tính gần đúng diện tích phần chung của hai hình tròn có bán kính 6cm và 7cm , biết khoảng cách giữa hai tâm của chúng bằng 8cm . Cách giải Kết quả Câu X: Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình 3 3 2 2 6 5 x y xy x y x y  + = +   + + + =   Cách giải Kết quả ĐÁP ÁN Câu I: Quy trình bấm phím: Trên máy (570 ES) Alpha X + 1 Shift STO X  : Alpha A + 2 √ ( log ( Alpha X ^ 2 + 1 ) + 3 ) ÷ ( 2 ^ log ( X ) + 1 ) Shift STO A =  CALC {Máy hỏi X ?} 0 = {Máy hỏi A ?} 0 = {Máy báo Syntax ERROR} {Nhấn tiếp}  = = = {Ghi kết quả} Quy trình bấm phím: Trên máy (570 MS) 0 Shift STO X 0 Shift STO A Alpha X Alpha = Alpha X + 1 Alpha : Alpha A Alpha = Alpha A + 2 √ ( log ( Alpha X ^ 2 + 1 ) + 3 ) ÷ ( 2 ^ l og ( X ) + 1 ) = = = …… Học sinh nêu sơ lược cách giải, hoặc trình bày quy trình bấm phím đúng: 2 điểm Kết quả đúng: 3 điểm 123,946919486S ≈ Câu II: Chọn Mode vào chế độ Deg. 1). 2sin 7cos 4 0x x − + = 2 2 2 2 7 2 4 cos sin 53 2 7 7 2 x x⇔ − = + + Đặt 7 sin 53 α = Ta có ( ) 4 cos 53 x α + = 4 arccos 360 53 o x k α ⇔ + = ± + , với 7 arccos 53 α = . Nghiệm phương trình 7 4 arccos arccos 360 53 53 o x k= ± + Nhập vào máy tính: Shift Cos ( 7  √ 53 ) + Shift Cos ( 4  √ 53 ) = ( ) 72 36 59 o ′ ′′ ≈ Nghiệm này nếu cộng thêm 360 0 sẽ vượt ra ngoài bài toán yêu cầu. Nhấn  sửa lại : Shift Cos ( 7  √ 53 ) – Shift Cos ( 4  √ 53 ) = {Kq: ( ) 40 43 33 o ′ ′′ ≈ } + 360 0 = { } 377 23 o ′ . Kết quả: 319 16 27 o x ′ ′′ ≈ *** Bài này cũng có thể dùng hàm Solve để giải ! 2). Đặt ( ) 0 sin cos 2.cos 45t y y y= + = − , 2 1 2sin .cost y y− = Ta có : 2 1 2 1 0 2 t t − + + = 2 4 1 0t t⇔ + + = . Giải được 2 3; 2 3t t= − + = − − (loại) Suy ra: ( ) 0 3 2 cos 45 2 y − − = 0 3 2 45 arccos 360 2 o y k − ⇔ − = ± + 0 3 2 45 arccos 360 2 o y k − ⇔ = ± + . Tính được hai nghiệm thỏa yêu cầu: 1 145 55 18 o y ′ ′′ ≈ ; 2 304 4 42 o y ′ ′′ ≈ . Câu III: 1) . 2 3 4 5 6 7 5 11 23 47 95 191 ; ; ; ; ; 2 4 6 16 32 64 u u u u u u= = = = = = ; 8 9 10 383 767 1535 ; ; ; 126 256 512 u u u= = = 11 12 13 2,9990234; 2,999511719; 2,999755859u u u= ≈ ≈ 2). • 20 58,00000191S ≈ 3). • Quy trình bấm phím: Alpha X + 1 Shift STO X  Alpha : Alpha ( 3 + Alpha A ) ÷ 2 Shift STO A =  Alpha : Alpha A + Alpha B Shift STO B = =  CALC {Máy hỏi X?} 1 = {Máy hỏi A?} 2 = {Máy hỏi B?} 2 = {Máy báo Syntax ERROR}  = = = … {Bấm cho đến khi X+1→X có giá trị bằng 20} Ghi kết quả: S ≈ B A B + → Câu IV: Đường thẳng ( ) :d y ax b= + với 3 2 4 3 5 11 4 a a b a b b  = − + =   ⇔   − + =  =   Giải phương trình 1 3 11 3 7 4 x x x − − + = + 2 9 8 81 0x x⇒ − − = 1 2 3.4772 2.5883 x x ≈  ⇒  ≈ −  1 2 0.1421 4.6912 y y ≈  ⇒  ≈  Kết luận: Có hai giao điểm ( ) ( ) 3.4772;0.1421 , 2.5883;4.6912M N − Câu V: Số nợ chị Hoa còn ở ngân hàng cần phải trả: - Sau năm thứ hai (sau 24 tháng): ( ) ( ) 24 24 7 7 7 2.10 1 0,015 2.10 . 0,015 2.10= + − = - Tính từ năm thứ ba trở đi : Gọi m là số tiền chị HOA trả thêm hàng tháng, sau n tháng số tiền chị HOA còn nợ ngân hàng là - Sau tháng thứ nhất: ( ) 7 7 1 2.10 . 1 0,015 2.10 .x m q m= + − = − (Đặt 1,015q = ) - Sau tháng thứ hai: ( ) 7 7 2 2 2.10 . . 2.10 .x q m q m q mq m= − − = − − - Sau tháng thứ ba: ( ) ( ) 7 2 7 3 2 3 2.10 . 2.10 . 1x q mq m q m q m q q= − − − = − + + - Sau tháng thứ n: ( ) 7 1 2 7 1 2.10 . 1 2.10 . 1 n n n n n n q x q m q q q q m q − − − = − + + + + = − − Chị HOA sẽ trả hết nợ nếu 0 n x = 7 1 2.10 . 0 1 n n q q m q − ⇔ − = − ( ) 7 2.10 1 . 0 n q m q m   ⇔ − − + =   ( ) ( ) 7 2.10 1 . n m m q q⇔ = − − ( ) ( ) 7 7 log 2.10 1 2.10 1 n q m m q n m q m q   ⇔ = ⇔ =  ÷  ÷ − − − −   • Nhập máy: Ta tính được 61,5430573n = Do n nguyên dương suy ra 62n ≈ tháng. Kết quả: 86 tháng Câu VI: Hai tam giác vuông ,SAB SAC bằng nhau (vì có cạnh SA chung và AB AC = ), suy ra SB SC = . SD BC⇒ ⊥ ( ) BC SAD⇒ ⊥ ( ) ( ) · , 15 o SB SAD BSD⇒ = = ( ) ( ) · , 45 o SB ABC SBA= = Ta có 2 2 2 2 2 2 SB SA AB SA AD BD= + = + + ( ) ( ) 2 2 2 .sin 45 25 .sin15 o o SB SB SB⇔ = + + Suy ra 2 2 2 25 57,73503 1 sin 45 sin 15 SB = ≈ − − • Kết quả: ( ) 7,59836SB cm≈ 5cm 45 o 15 o D S A B C Câu VII: 1. Từ giả thiết có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11, 2 6, 1 2, 2 4P P P P= − = − = − − = . Xét đa thức bậc bốn ( ) Q x thỏa ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 0Q Q Q Q= = = = . Giả sử ( ) ( ) 3 2 .P x Q x a x bx cx d= + + + + , ta có hệ 11 6 8 4 2 2 4 8 4 2 a b c d a b c d a b c d a b c d − = + + +   = + + +   − = − + − +   = − + − +  23 2 2 13 6 8 2 10 31 3 b b d b d d  = + = −   ⇒ ⇒   + =  = −   5 37 ; 3 6 a c= = − Kết quả: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 5 23 37 31 1 4 3 6 6 3 P x x x x x x= − − + + − − 2. Tính ( ) 500 62708788574P = , ( ) 200 1613405424P = Và ( ) ( ) 500 200 61095383150P P− = Câu VIII: 1. Đạo hàm ( ) 3 10sin 2f x x ′ = − ; ( ) 3 3 0 sin 2 2 arcsin 2 10 10 f x x x k π ′ = ⇔ = ⇒ = + hoặc 3 2 arcsin 2 10 x k π π = − + Hay 1 3 1 3 arcsin ; arcsin 2 10 2 2 10 x k x k π π π = + = − + Bấm máy tìm giá trị x thuộc [ ] 0; π : 1 2,989246x ≈ , 2 0,152346x ≈ • Nhập ( ) 3 5cos 2f x x x= + . Tính ( ) ( ) 0 5; 14,424778f f π = ≈ ( ) ( ) 1 2 ; 13,73743; 5,22673f x f x≈ ≈ • Kết luận: [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 0; 0; max 14,424778;min 0 5f x f f x f π π π = ≈ = = 2. Số hạng tổng quát của khai triển: ( ) 30 30 2 3 30 30 3 2 . 2 . . k k k k k k k C x C x x − − −   =  ÷   90 5 6 30 2 . k k k C x − = Với 5 x : 90 5 5 12 6 k k − = ⇔ = Với 10 x : 90 5 10 6 6 k k − = ⇔ = Vậy các hệ số cần tìm là: 12 12 30 2 . 354276249600C = ; 6 6 30 2 . 38001600C = . Tổng của chúng bằng: 354314251200 Câu IX: Đặt · · ;BIJ BJI α β = = . Theo định lý cosin: 2 2 2 cos 2 . IB JI BJ IB JI α + − = 17 32 = 1,010721 α ⇒ ≈ (rad) 2 2,021442 α ⇒ ≈ (rad) A B I J Diện tích quạt ¼ IAB bằng : 2 1 2 . 36,38596 2 q IB S α = ≈ ( 2 cm ) Diện tích tam giác IAB: 2 1 . .sin 2 16,202988 2 IAB S IA IB cm α = ≈ • Tương tự: Diện tích quạt ¼ JAB bằng: 2 2 39,82502 q S cm≈ Diện tích tam giác JAB: 2 24,463336 JAB S cm≈ • Diện tích cần tìm: ( ) 2 1 2 35,544656 q q IAB JAB S S S S S cm= + − − ≈ Câu X: 3 3 2 2 6 5 x y xy x y x y  + = +   + + + =   ( ) ( ) ( ) 2 2 3 6 2 5 x y x y xy xy x y xy x y    + + − = +    ⇔   + − + + =  Đặt ;S x y P xy= + = ta có hệ 3 2 3 6 2 5 S PS P S S P  − = +   + − =   2 2 3 5 5 3 6 2 2 S S S S S S + − + − ⇒ − = + 3 2 4 14 7 0S S S⇔ + − + = Giải được: 1 2 3 6,37022; 1,73795; 0,632275S S S≈ − ≈ ≈ Ba nghiệm tương ứng của P là: 1 14,60474P ≈ , 2 3 0,12079; 1,983977P P≈ − ≈ − • Giải phương trình 2 0t St P− + = ứng với các cặp ( ) ; j j S P trên ta được các nghiệm của hệ 1,80487 0,06692 ; 0,06692 1,80487 x x y y ≈ ≈ −     ≈ − ≈   ; 1,12744 1,75972 ; 1,75972 1,12744 x x y y ≈ − ≈     ≈ ≈ −   . ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Câu I: Cho hàm số ( ) ( ) 2 log 2 log 1 3 2 1 x x f x + + = + . Tính giá trị của tổng. ) 3.4772;0.1421 , 2. 588 3;4.6912M N − Câu V: Số nợ chị Hoa còn ở ngân hàng cần phải trả: - Sau năm thứ hai (sau 24 tháng): ( ) ( ) 24 24 7 7 7 2.10 1 0,015 2.10 . 0,015 2.10= + − = - Tính từ năm thứ ba. ứng với các cặp ( ) ; j j S P trên ta được các nghiệm của hệ 1 ,80 487 0,06692 ; 0,06692 1 ,80 487 x x y y ≈ ≈ −     ≈ − ≈   ; 1 ,127 44 1,75972 ; 1,75972 1 ,127 44 x x y y ≈ − ≈     ≈ ≈