Ths Đức 0972 670 808 onthicaohoc_toankinhte@yahoo.com 1 Bài 1: Dạng bài toán QHTT * Dạng tổng quát n j j j 1 n ij j i 1 j 1 n ij j i 2 j 1 n ij j i 3 j 1 j 1 j 2 j 3 (1) f (x) c x min(max) a x b , i I (2) a x b , i I a x b , i I (3) x 0 j J , x 0 j J , x tu`y y ' j J = = = = = → = ∈ ≤ ∈ ≥ ∈ ≥ ∈ ≤ ∈ ∈ ∑ ∑ ∑ ∑ Trong đó - f(x) là hàm mục tiêu - I 1 , I 2 , I 3 là rời nhau và I 1 U I 2 U I 3 ={1,2, …,m} - J 1 , J 2 , J 3 là rời nhau và J 1 U J 2 U J 3 = {1,2,…,n} - A= (a ij ) mxn : Ma trận hệ số ràng buộc - B= (b 1 , b 2 , …, b m ): Vectơ các hệ số tự do - C= (c 1 , c 2 , …,c m ): Vectơ các hệ số ẩn trong hàm mục tiêu - X=(x 1 , x 2 , …,x n ): Vectơ các ẩn số * Dạng chính tắc n j j j 1 n ij j i j 1 j (1) f (x) c x min(max) (2) a x b , i 1 m (3) x 0 j 1 n = = = → = = ≥ = ∑ ∑ * Dạng chuẩn n j j j 1 n ij j i j 1 j (1) f (x) c x min(max) (2) a x b , i 1 m (3) x 0 j 1 n = = = → = = ≥ = ∑ ∑ Trong đ ó : - Các h ệ s ố t ự do b 1 , b 2 , …, b m đề u không âm. - Trong ma tr ậ n h ệ s ố ràng bu ộ c A = (a ij ) mxn có đầ y đủ m vect ơ c ộ t đơ n v ị e 1 , e 2 , …,e m : 1 2 m 1 0 0 0 1 0 e ;e ; ;e 0 0 1 = = = D ạ ng t ổ ng quát D ạ ng chính t ắ c D ạ ng chu ẩ n Ths Đứ c 0972 670 808 onthicaohoc_toankinhte@yahoo.com 2 Bài 2: Phương pháp đơn hình Bước 1: Lập bảng đơn hình xuất phát * Xác đị nh pacb ban đầ u xu ấ t phát: 1 2 n x (x , x , , x ) = . Là ph ươ ng án có các ẩ n không c ơ b ả n đề u là s ố 0, ẩ n c ơ b ả n có giá tr ị b ằ ng các h ệ s ố t ự do * Xác đị nh J(x) = { } j j/ x 0 > * Xác đị nh h ệ ẩ n c ơ b ả n { } j x j J(x) ∈ * L ậ p b ả ng đơ n hình xu ấ t phát sau: 1 c c 2 … c n Ẩ n c ơ b ả n H ệ s ố Ph ươ ng án x 1 x 2 … x n j λ x j c j b j z j1 z j2 … z jn jn λ f 1 ∆ 2 ∆ … n ∆ Trong đ ó: j j j J( x) f c x f (x) ∈ = = ∑ : giá tr ị hàm m ụ c tiêu t ươ ng ứ ng v ớ i x (f = cột Hệ số* cột Phương án) k j jk k j J( x) c z c ∈ ∆ = − ∑ : h ệ s ố ướ c l ượ ng c ủ a bi ế n x k , k=1 n ( k ∆ = cột Hệ số*cột z jk –c k ) Lưu ý: k 0, k J(x) ∆ = ∈ (ứng với các ẩn cơ bản). 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 3 6 j f (x) x 2x 2x x x 2x min 2x x 5x x 5 x 2x 2x x 4 4x x x x 2 x 0, j 1 6 = − + − + − → − − + = − + + = − + + + = ≥ = Giải: Ta có: c= (1,-2,2,-1,1,-2) Các biến cơ bản là x 4 , x 5 , x 6 Các biến không cơ bản: x 1 , x 2 , x 3 x=(0,0,0,5,4,2), J(x)= {4,5,6} 2 1 5 1 0 0 A 1 2 2 0 1 0 4 1 1 0 0 1 − − = − − 1 2 3 2 1 5 A 1 ,A 2 , A 2 4 1 1 − − = = = − . Tương tự cho các biến cơ bản 4 5 6 1 0 0 A 0 ,A 1 , A 0 0 0 1 = = = Ths Đức 0972 670 808 onthicaohoc_toankinhte@yahoo.com 3 1 -2 2 -1 1 -2 Ẩn cơ bản Hệ số j c PA x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 4 x 5 x 6 -1 1 -2 5 4 2 2 1 -4 -1 -2 1 -5 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -5 (6) -1 3 0 0 0 Bước 2: Xét dấu hiệu tối ưu * Xem dòng ghi 1 2 n , , , ∆ ∆ ∆ - Nếu có k 0, k ∆ ≤ ∀ : phương án đang xét là PATU. Thuật toán kết thúc - Nếu không: bước 3 Bước 3: Xét dấu hiệu không tối ưu * Xét xem có cột k ∆ sao cho k 0 ∆ > và mọi phần tử thuộc cột này ( ở bước lặp đang xét ) đều 0 ≤ không?. - Nế u có : BT không có PATU. Thu ậ t toán k ế t thúc - N ế u không b ướ c 4 Bước 4: Cải tiến PA ( Tìm pacb tốt hơn) Tìm pacb 1 2 n x ' (x ' , x ' , , x ' ) = t ố t h ơ n pacb x: f(x’) <= f(x) L ậ p b ả ng đơ n hình m ớ i t ừ b ả ng đơ n hình c ũ nh ư sau a) Chọn ẩn đưa vào hệ ẩn cơ bản Ch ọ n s sao cho { } v k k max 0 ∆ = ∆ ∆ > . Chọn cột có k ∆ dương lớn nhất . Khi đ ó x v là ẩ n mà ta s ẽ đư a vào h ệ ẩ n c ơ b ả n. b) Chọn ẩn đưa ra khỏi hệ ẩn cơ bản Ch ọ n j r r jv rv jv b b min j J(x) và z 0 z z λ = = ∈ > . Khi đ ó ẩ n x r là ẩ n đư a ra kh ỏ i h ệ c ơ b ả n. Bước 5: Tìm phần tử chốt Ph ầ n t ử ch ố t là ph ầ n t ử giao gi ữ a ẩ n đư a vào và ẩ n đư a ra: z rv Bước 6: Biến đổi bảng • Trong cộ t Ẩ n c ơ b ả n ta thay x r b ằ ng x v . Trong c ộ t h ệ s ố ta thay c r b ằ ng c v . • Dùng phép bi ế n đổ i r r rv h h z = : ngh ĩ a là hàng r m ớ i = hàng r c ũ /ph ầ n t ử ch ố t. • V ớ i các hàng i r ≠ ta dùng phép bi ế n đổ i: jv rk ' jk jk rv z * z z z z = − rk rv jk jv z z z ? z Bước 7: Quay về bước 2 z rv z rv z rv z rv Ph ầ n t ử ch ố t nhân chia Ths Đứ c 0972 670 808 onthicaohoc_toankinhte@yahoo.com 4 *Lưu ý: Quy t ắ c ch ỉ s ố bé nh ấ t c ủ a R.G.Bland *Trong các c ộ t có ∆ d ươ ng thì ta ch ọ n c ộ t có ch ỉ s ố nh ỏ nh ấ t * N ế u có nhi ề u r λ để ch ọ n thì ch ọ n dòng có ch ỉ s ố nh ỏ nh ấ t. Bài 5: Bài toán Đối ngẫu 1. Quy tắc thành lập bài toán Đối ngẫu * Hàm m ụ c tiêu c ủ a Bài toán (BT) g ố c → min(max) ⇔ Hàm mục tiêu của BT Đối ngẫu → min(max) * H ệ s ố c ủ a hàm m ụ c tiêu c ủ a BT g ố c là h ệ s ố v ế ph ả i c ủ a ràng bu ộ c chung c ủ a BT Đố i ng ẫ u. H ệ s ố v ế ph ả i c ủ a ràng bu ộ c chung c ủ a BT g ố c là h ệ s ố c ủ a hàm m ụ c tiêu c ủ a BT Đố i ng ẫ u * Ma tr ậ n h ệ s ố c ủ a BT g ố c l ấ y chuy ể n v ị thành ma tr ậ n h ệ s ố c ủ a BT Đố i ng ẫ u. * S ố ràng bu ộ c chung c ủ a BT g ố c là s ố bi ế n c ủ a BT Đố i ng ẫ u *Quy t ắ c v ề d ấ u nh ư sau: D ấ u m ộ t ràng bu ộ c chung c ủ a bài toán g ố c quy đị nh d ấ u c ủ a m ộ t ràng bu ộ c bi ế n t ươ ng ứ ng cùa BT Đố i ng ẫ u D ấ u m ộ t ràng bu ộ c bi ế n c ủ a BT g ố c quy đị nh d ấ u c ủ a m ộ t ràng bu ộ c chung t ươ ng ứ ng c ủ a BT Đố i ng ẫ u. Cách nhớ: Bài toán gốc min: ràng buộc chung cùng dấu, ràng buộc biến trái dấu. Bài toán gốc max: ràng buộc chung trái dấu, ràng buộc biến cùng dấu. Ví d ụ : 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 2 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 f (x) x 2x 3x min BT DN g(y) 7y y 2y max x 3x 4x x 7 y 0y 5y 1 x 2x 6x 1 3y y 5y 2 , y 0, y 0, y tùy ý 5x 5x x 8x 2 4y 2y y 0 x 0, x 0, x , x tùy ý y 6y 8y 3 1 3 4 1 A 0 1 2 6 5 = − + → = + − → + + + ≥ + + ≤ − + + ≤ − + ≥ − ≥ ≤ + + + = − + + = ≥ ≤ + + = = − T 1 0 5 3 1 5 A 4 2 1 5 1 8 1 6 8 − = Ths Đứ c 0972 670 808 onthicaohoc_toankinhte@yahoo.com 5 2. Cách tìm PATU của BT Đối ngẫu * T ừ PATU c ủ a Bài Toán g ố c (BT Đố i ng ẫ u) ( ) 1 2 n 1 2 n x ' (x ' , x ' , , x ' ) hoac y ' (y ' , y' , , y ' ) = = ta th ế vào các ràng bu ộ c chung c ủ a BT g ố c ( BT Đố i ng ẫ u ). * Ki ể m tra xem trong các ràng bu ộ c chung BT g ố c n ế u ràng bu ộ c nào không x ả y ra d ấ u ‘=’ thì ẩ n t ươ ng ứ ng trong BT Đố i ng ẫ u s ẽ ‘=0’ * Ng ượ c l ạ i n ế u trong PA 1 2 n x ' (x ' , x ' , , x ' ) = c ủ a BT g ố c, giá tr ị ' i x 0 > thì ph ươ ng trình th ứ i trong BT Đố i ng ẫ u s ẽ x ả y ra d ấ u ‘=’. . ch ọ n thì ch ọ n dòng có ch ỉ s ố nh ỏ nh ấ t. Bài 5: Bài toán Đối ngẫu 1. Quy tắc thành lập bài toán Đối ngẫu * Hàm m ụ c tiêu c ủ a Bài toán (BT) g ố c → min(max) ⇔ Hàm mục tiêu của BT. chu ẩ n Ths Đứ c 0972 670 808 onthicaohoc_toankinhte@yahoo.com 2 Bài 2: Phương pháp đơn hình Bước 1: Lập bảng đơn hình xuất phát * Xác đị nh pacb ban đầ u xu ấ t phát: 1 2 n x (x ,. chung t ươ ng ứ ng c ủ a BT Đố i ng ẫ u. Cách nhớ: Bài toán gốc min: ràng buộc chung cùng dấu, ràng buộc biến trái dấu. Bài toán gốc max: ràng buộc chung trái dấu, ràng buộc biến cùng