BÀI TOÁN VỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ TẠI ĐIỂM Người viết : NgôVăn Khôi Trong chương trình toán 12, khi xét các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số ta thường bắt gặp bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm nằm trên đồ thị của nó ( kiến thức này đã được Bộ GD và Đào Tạo đưa vào chương V của môn Đại Số và Giải Tích lớp 11 ban cơ bản). Đây là một trong những dạng toán cơ bản và thường gặp phải trong các đề thi, đặc biệt là các đề thi cuối học kì và thi tốt nghiệp, cũng như các đề thi tuyển sinh vào các trường ĐH và CĐ trong cảc nước. Để góp phần nâng cao chất lượng đại trà bộ môn toán, để giúp các em có thêm kĩ năng và tự tin hơn khi gặp phải dạng toán ở trên, sau đây tôi xin đưa ra phương pháp và một số kinh nghiệm giải bài toán trên như sau : • Bài toán 1 : Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; y0). • Cơ sở:Sử công thức viết PTTT tại điểm M(x0; y0) dạng : y = f’(x0)(x – x0) + y0 (1) • Phương pháp : - Bước 1 : Tính đạo hàm y’ = f’(x) - Bước 2 : Tính f’(x0) - Bước 3 : Thay các giá trị vào công thức (1) sau đó thực hiện phép biến đổi, rút gọn. - Bước 4 : Kết luận Ví dụ 1 : Viết PTTT của đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1 tại điểm M(-1; 3). Lời giải: + PTTT tại điểm M( 1; - 1) có dạng : y = f’(-1)(x – (-1)) + 3 (1) + Mà y’ = 3x2 – 3x => f’(-1) = 3.(-1)2 – 3.(-1) = 6 + Thay vào (1) ta được : y = 6(x + 1) + 3 <=> y = 6x + 9 + Vậy PTTT là y = 6x + 9 • Bài toán 2 : Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = x0 . • Cơ sở : Thực ra đây là bài toán 1 nhưng người ta mới chỉ cho x0 nên nhiệm vụ chúng ta là phải tính thêm y0. • Phương pháp : Tính y0 = f(x0) => Điểm M(x0; y0) rồi thực hiện các bước còn lại như bài toán 1 Ví dụ2:Viết PTTT của đồ thị hàm số y = (2x – 3)/(x – 2) tại điểm có hoành độ x = 1. Lời giải : + Với x = 1 => y = 1 => M(1; 1) + PTTT tại điểm M(1; 1) có dạng : y = f’(1)(x – 1) + 1 (2) + Mà y’ = -1/(x – 2)2 => f’(1) = - 1 + Thay vào (2), biến đổi ta được PTTT là y = - x + 2 • Bài toán 3 : Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có tung độ y = y0. • Cơ sở : Đây cũng là dạng toán như trên nhưng người ta mới chỉ cho y0 nên nhiệm vụ của chúng ta là phải tính them x0. • Phương pháp : Tính x0 bằng cách giải phương trình f(x) = y0 sau đó thực hiện các bước còn lại như bài toán 1. Ví dụ 3 : Viết PTTT của đồ thị hàm số y = x3 – 4x + 1 tại điểm có tung độ y = 1. Lời giải: + Thay y = 1 vào hàm số ta có phương trình x3 – 4x + 1 = 1<=> x3 – 4x = 0 <=> x(x2 – 4) = 0 <=> x = 0 ; x = 2 ; x = -2 + Như vậy ta có tiếp tuyến tại 3 điểm A(0 ; 1), B(2 ; 1), C(-2 ; 1) + Ta có f’(x) = 3x2 - 4 + Tại điểm A(0 ; 1) : f’(0) = - 4 => PTTT có dạng y = -4(x – 0) + 1 <=> y = - 4x + 1 + Tại điểm B(2 ; 1) : f’(2) = 8 => PTTT có dạng y = 8(x – 2) + 1 <=> y = 8x - 15 + Tại điểm C(-2 ; 1) : f’(-2) = 8 => PTTT có dạng y = 8(x + 2) +1 <=> y = 8x + 17 • Bài toán 4 : Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k. • Cơ sở : Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm của đồ thị hàm số với tiếp tuyến thì hệ số góc của tiếp tuyến chính là giá trị f’(x0). • Phương pháp : - Tính giá trị x0 bằng cách giải phương trình f’(x0) = k. - Khi có x0 ta thay vào biểu thức của hàm số để tính y0. - Khi có được x0 và y0 thì ta thực hiện các bước còn lại như bài toán 1. * Chú ý : + Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì : f’(x0) = a. + Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì : f’(x0).a = - 1. Ví dụ 4 : Viét PTTT của đồ thị hàm số y = (x +1)/(x – 1). Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - 2x + 2009 (d) Lời giải: + Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm của đồ thị hàm số với tiếp tuyến. Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) : y = -2x + 2009 ( a = -2) Suy ra f’(x0) = a <=> f’(x0) = - 2 <=> -2/(x0 – 1)2 = - 2 <=> x20 – 2x0 =0 <=> x0 =0 ; x0 =2 + Như vậy ta có tiếp tuyến tại 2 điểm A(0; -1) và B(2; 3) + Tại điểm A(0; -1) : PTTT có dạng y = -2(x – 0) + (-1) <=> y = -2x -1 + Tại điểm B(2; 3) : PTTT có dạng y = -2(x – 2) + 3 <=> y = -2x + 7 Ví dụ : Viết PTTT của đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 1, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -1/9x + 2010 (d) Lời giải: + Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm của đồ thị hàm số với tiếp tuyến. Theo giả thiết, tiếp tuyến vuông góc đường thẳng (d) : y = -1/9x + 2010 ( a = -1/9 ) Suy ra f’(x0).a = -1<=> f’(x0).(-1/9) = -1 <=> f’(x0) = 9 <=> 3x20 – 6x0 = 9 <=> 3x20 – 6x0 – 9 = 0 <=> x0 = -1 ; x0 = 3 + Như vậy ta có tiếp tuyến tại 2 điểm A(-1; -3) và B(3; 1) + Tại điểm A(-1; -3) : PTTT có dạng y = 9(x –(-1)) + (-3) <=> y = 9x + 6 + Tại điểm B(2; 3) : PTTT có dạng y = 9(x – 3) + 2 <=> y = 9x - 26 * Sau đây ta xét một ví dụ về ứng dụng của tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số . Ví dụ 6: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4 (Cm). Với giá trị nào của m thì (Cm) tiếp xúc với Ox. Lời giải: + Gọi M là tiếp điểm của đồ thị hàm số với trục hoành => M Ox : y = 0 ( a = 0) => M(x0; 0). Vì y = 0 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M nên f’(x0) = a <=> f’(x0) = 0 <=> 3x20 – 6x0 = 0 <=> x0 = 0 ; x0 = 2 + Với tiếp điểm M (0; 0) thay vào hàm số được 3m + 4 = 0 <=> m = -4/3 + Với tiếp điểm M (2; 0) thay vào hàm số được 9m = 0 <=> m = 0. * Các bạn có thể rèn luyện thêm các bài tập sau để nắm chắc phương pháp, chúc các bạn học tập tốt 1.Cho hàm số y = - 1/3x3 + 1/2x2, Có đồ thị (C). Lập PTTTvới (C) tai điểmB(-1;5/6). 2.Viết PTTT của đồ thị hàm số y = (x + 1)2(x – 2) tại các điểm có hoành độ bằng -2 và 1. 3.Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 có đồ thị là (C). Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành. 4.Cho hàm số y = x4 – 2x2 – 3 có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. 5.Cho hàm số y = 2 +3/(x – 1).Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biét các tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -3x +1. 6.Cho hàm số y = 1/3x3 – x + 2/3 (C). Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số(C),biết các tiếp tuyến ấy vuông góc với đường thẳng y = - 1/3x + 2/3. . GD và Đào Tạo đưa vào chương V của môn Đại Số và Giải Tích lớp 11 ban cơ bản). Đây là một trong những dạng toán cơ bản và thường gặp phải trong các đề thi, đặc biệt là các đề thi cuối học kì và. học kì và thi tốt nghiệp, cũng như các đề thi tuyển sinh vào các trường ĐH và CĐ trong cảc nước. Để góp phần nâng cao chất lượng đại trà bộ môn toán, để giúp các em có thêm kĩ năng và tự tin. 1). Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - 2x + 2009 (d) Lời giải: + Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm của đồ thị hàm số với tiếp tuyến. Theo giả thi t, tiếp tuyến song song với đường thẳng