SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Trường THPT Lộc Bình Năm học 2009-2010 MÔN :TOÁN Thời gian: 180 phút( không kể thời gian giao đề) CÂU 1: (3 điểm ) Giải bất phương trình sau: 161 −<++ xxx CÂU 2 : (2 điểm) Cho a, b , c là độ dài 3 cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm: ( ) 0 222222 =+−++ bxcbaxa CÂU 3: ( 5 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác sau: xxxx 5sin4sin3cos2cos 2222 +=+ 2) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu các góc của nó thoả mãn: A B C cos2 sin sin = CÂU 4: ( 2 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 432 12 ++ − n n chia hết cho 9. CÂU 5: ( 2 điểm) Cho hai điểm B, C cố định nằm trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. a) Tìm quỹ tích những điểm M sao cho: 02 =++ MCMBMA b) Tìm quỹ tích những điểm N sao cho: 023 =++ ABACAM CÂU 6: ( 4 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. a) Chứng minh rằng: mp(A’BD)// mp(B’CD’) b)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (A’BCD’) và (BDD’B’). c) Xác định thiết diện của hình hộp đã cho khi cắt bởi mặt phẳng đi qua điểm M thuộc đoạn AB và song song với mặt phẳng (ACC’) CÂU 7: ( điểm) Cho ba số a, b, c khác không thoả mãn đồng thời >++ >++ < 0 111 0 0 cabcab cabcab cba Chứng minh rằng cả ba số đều âm. …. … Hết……… Đáp án câu Đáp án điểm 1 Điều kiện: 6 1 016 01 0 ≥⇔ ≥− ≥+ ≥ x x x x 6 135 0153 2 1 6 1 12 6 1 161 2 2 + >⇔ >+− ≥ ≥ ⇔ −<+ ≥ ⇔−<++ x xx x x xxx x xxx 1 1 1 2 Do a > 0 nên ( ) 0 222222 =+−++ bxcbaxa (1) là pt bậc 2. Ta có: ( )( )( ) 0)(4)( 222222 <−+−+−+++−=−−+=∆ acbbcacbacbabacba Vì (a+b+c)>0, (a+b-c)>0, (a+c-b)>0, (b+c-a)>0 vậy pt (1) vô nghiệm. 2 3 1) += += += ⇔ = = = ⇔ =⇔=+++⇔ − + − = + + + ⇔+=+ π π ππ ππ kx k x k x x x x xxxxxxx xxxx xxxx 2 24 74 0cos 02cos 07cos 02cos7coscos4010cos8cos6cos4cos 2 10cos1 2 8cos1 2 6cos1 2 4cos1 5sin4sin3cos2cos 2222 2) Ta có π kBA BAABABBSinA ABBAABCA B C =−⇔ =−⇔=+⇔ =+⇔=⇔= 0)sin(cossin2cossincos cossin2)sin(cossin2sincos2 sin sin Do A , B là các góc của tam giác nên k = 0 , suy ra A=B Vậy tam giác ABC là tam giác cân. 1 2 1 1 4 Đặt 432 12 ++= − nU n n Với n= 1 : 99 1 =U (đúng) giả sử ta có 9432 12 ++= − kU k k 1 chứng minh 94)1(32 12 1 +++= + + kU k k Thật vậy: 9)1(9499)432(44)1(32 1212 1 −−=−−++=+++= −+ + kUkkkU k kk k Vậy 432 12 ++ − n n chia hết cho 9. 1 5 a) Gọi I là trung điểm của BC: 002 2 =+⇔=++⇒ =+ MIMAMCMBMA MIMCMB Suy ra M là trung điểm của doạn IA. Ta có IAIM 2 1 = nên có phép vị tự 2 1 ,I V biến A thành M. Do A thay đổi trên (O) nên quỹ tích M là ảnh của (O) qua 2 1 ,I V . b) Lấy điểm J sao cho : 02 =+ JCJC J3)2(J3)J(2J2 AJBJCAJBAJCAABAC =++=+++=+ 0J33023 =+⇔=++ AANABACAN Suy ra A là trung điểm của NJ.Quỹ tích N là ảnh của (O) qua ( ) 2,J V 1 1 6 a) ( ) )''//()'( )''()'''( )'()'( ''//,'//' )''(' CDBBDA CDBDBCD BDABDBA DBBDCDBA CDBBDA ⇒ ⊂∩ ⊂∩ ≠ b) ( ) ( ) 'B'''' BDBDDBCDA =∩ 1 1 c) Gọi ( ) α là mặt phẳng qua M, song song với mp(ACC’). Vì ( ) α //(ACC’) nên ( ) ( ) ( ) ( ) .''' '',''//,)''''( '','//,)''()( ,//,)( MQABBA BAQCAPQPQDCBA CBPCCNPNPBBCC BCNACMNMNABCD =∩ ∈=∩ ∈=∩ ∈=∩ α α α α Vậy thiết diện là tứ giác MNPQ 2 7 >++ >++ < )3(0 111 )2(0 )1(0 cabcab cabcab cba Từ (1) suy ra a,b,c có một số âm.Giả sử a<0, bc >0 Nếu b,c cùng dương, 0 )()()(000 111 22 2 <−−−<++⇔ +−<+⇔+−<⇔<++⇒> ++ ⇔>++ cbcbcabcab cbcbacbacba abc cba cabcab trái giả thiết (2) nên b,c cùng âm. Vậy a,b,c cùng âm. 2 . ) .''' '',''//,)''''( '','//,)''()( ,//,)( MQABBA BAQCAPQPQDCBA CBPCCNPNPBBCC BCNACMNMNABCD =∩ ∈=∩ ∈=∩ ∈=∩ α α α α Vậy thi t diện là tứ giác MNPQ 2 7 >++ >++ < )3(0 111 )2(0 )1(0 cabcab cabcab cba Từ (1) suy ra a,b,c có một số. bc >0 Nếu b,c cùng dương, 0 )()()(000 111 22 2 <−−−<++⇔ +−<+⇔+−<⇔<++⇒> ++ ⇔>++ cbcbcabcab cbcbacbacba abc cba cabcab trái giả thi t (2) nên b,c cùng âm. Vậy a,b,c cùng. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Trường THPT Lộc Bình Năm học 2009-2010 MÔN :TOÁN Thời gian: 180 phút( không