SỞ GD & ĐT THANH HOÁ Trường THPT Chuyên Lam Sơn ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2007-2008 Môn thi: Toán khối A (thời gian 180 phút). Ngày thi: 7 /3/2008 (Đáp án - Thang điểm có 4 trang) Câu Ý Nội dung Điểm I (2,00đ) 1. (1,0 đ) Khi m = 1, có hàm số 4 2 y x 2x 1= − + − . TXĐ: D = ¡ . Nhận xét: hàm số chẵn suy ra đồ thị đối xứng trục Oy. ( ) 3 2 y' 4x 4x 4x x 1 ;y' 0 x 0 và x 1= − + = − − = ⇔ = = ± , 0,25 ( ) ( ) 2 y'' 12x 4;y'' 0 0, y'' 1 0= − + > ± < . Điểm cực trị của đồ thị: Cực đại ( ± 1; 0), cực tiểu (0; -1). Khoảng đồng biến ( ) ( ) ; 1 và 0;1−∞ − , nghịch biến ( ) ( ) 1;0 và 1;− +∞ . Giới hạn vô cực: x lim y →∞ = −∞ . 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 Đồ thị: (h.1). 0,25 2. (1,0 đ) TXĐ: D = ¡ . ( ) 2 y' x 4x 3 m 1 x 4m = − − − − . Đặt: g(x) = ( ) 2 4x 3 m 1 x 4m− − − . Hàm số có cực tiểu ⇔ phương trình y’(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt Khi đó khoảng dấu của y’(x) có dạng: (h.2). 0,25 Mặt khác hàm số đạt cực trị tại x = 0, nên thoả mãn yêu cầu ( CT x 0< ) ⇔ p/trình g(x) = 0 có hai ngiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả: 1 2 x x 0< < . 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 9 m 1 64m 0 3 m 1 S 0 4 g 0 4m 0 ∆ = − + > − ⇔ = < = − > 0,25 23 8 7 m 9 − − ⇔ < hoặc 23 8 7 m 0 9 − + < < . 0,25 −1− x -1 0 1 −∞ −∞ 0 0 -1 y y’ + 0 - 0 + 0 - y x -1 1 O -1 (h.1) x CT + + - x CD x CD (h.2) II (2,00đ) 1. (1,0 đ) Hệ đã cho tương đương: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 3x x y 8 x 3x x y 6 + + = + + + = 0,25 ( ) ( ) 2 2 2 2 x 3x 2 0;y 4 x I x 3x 2;x y 4 x 3x 4;x y 2 x 3x 4 0;y 2 x II + − = = − + = + = ⇔ ⇔ + = + = + − = = − 0,25 Giải hệ (I) ( ) 3 17 11 17 3 17 11 17 x; y ; , ; 2 2 2 2 − − + − + − ⇔ = ÷ ÷ 0,25 Giải hệ (II) ⇔ (x; y) = (1; 1), (- 4; 6). Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm: ( ) ( ) ( ) 3 17 11 17 3 17 11 17 x; y ; , ; , 1;1 , 4;6 2 2 2 2 − − + − + − = − ÷ ÷ . 0,25 2. (1,0 đ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x 2x x 2x 2x x x 2x e 2 f ' x 2x 2 e 2 2 2x e 2 x 1 e − − − − − ÷ = − + − = − ÷ 0,25 Với [ ] x 0;1∀ ∈ , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x 2x 2 x 2x 2 2 x 2x 0 e 1 e 2 0 f ' x 0 − − − ≤ ⇒ ≤ ⇒ − < ⇒ ≥ 0,25 f’(x) = 0 ⇔ x = 1, hàm số đồng biến trên đoạn [0; 1]. 0,25 Suy ra: [ ] 0;1 1 max f (x) f (1) 2e 1. e = = + − 0,25 III (3,00đ) 1.a) (1,0 đ) Gọi M(a; b). T/mãn yêu cầu bài toán ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a 1 b 2 9 1 4a 3b b 2 5 − + − = ⇔ + = Ta có: (2) ⇔ b = 2a hoặc a = - 2b. 0,25 Nếu b = 2a, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 3 5 1 a 1 2a 2 9 5 a 1 9 a 5 ± ⇒ − + − = ⇔ − = ⇔ = . 0,25 Nếu a = - 2b, ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 1 2b 1 b 2 9 5b 4 b 5 ± ⇒ + + − = ⇔ = ⇔ = . 0,25 Vậy có: 5 3 5 10 6 5 M ; , 5 5 + + ÷ ÷ 5 3 5 10 6 5 M ; 5 5 − − ÷ ÷ , 4 5 2 5 M ; 5 5 − ÷ ÷ và 4 5 2 5 M ; 5 5 − ÷ ÷ . 0,25 1.b) (1,0 đ) Phương trình chính tắc của parabl có dạng (P): y 2 = 2px, p > 0. Suy ra giao điểm của (C) và (P) có hoành độ x > 0. (C) có hai tiếp tuyến vuông góc với Ox là: x = 4 và x = - 2. Nên hoành độ giao điểm của (C) và (P) là x = 4. Thay vào phương trình của (C), suy ra một giao điểm của (C) và (P) là: A(4; 2) 0,50 (P) qua A(4; 2), suy ra: 4 = 8p ⇔ p = 1 2 ⇒ P/trình của (P): y 2 = x. 0,25 Toạ độ giao điểm của (C) và (P) là (x; y) thoả: ( ) ( ) 2 2 2 x 1 y 2 9 y x − + − = = Giải hệ được các giao điểm của (C) và (P) là: A(4; 2) và B(1; - 1). 0,25 −2− 2. (1,0 đ) Xác định α : Kéo dài C’M và AC cắt nhau ở E, suy ra EA = AC = AB ⇒ EB ⊥ BC ⇒ EB ⊥ BC’ (định lý ba đường vuông góc). Suy ra α = · C BC' (h.3). 0,50 Tính cosα : Mặt khác cũng suy được tam giác EBC’ vuông cân. Vậy: · BC BC 1 BCE 60 BC BE 3 α = = = = = o cos cot cot ' . 0,50 IV (2,00đ) 1. (1,0 đ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 d cosx cosxsin xdx sin xdx I 2 2 d 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x π π π π = − = − + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 0,25 ( ) 0 2 2 2 0 1 dt 2 1 cos x 1 t π = − + + + ∫ , với t cosx= . 0,25 Gọi ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 t 1 1 1 t f t ln t 1 t f ' t t 1 t 1 t + + = + + ⇒ = = + + + . 0,25 Suy ra: ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 0 1 I 2 1 cos x ln t 1 t 2 2 2 ln 1 2 π = − + + + + = − + − + 0,25 2. (1,0 đ) Tam giác tạo ra được từ các trường hợp: Hai đỉnh trên cung tròn và một đỉnh trên đường kính; Hai đỉnh trên đường kính và một đỉnh trên cung tròn; Cả ba đỉnh trên cung tròn. 0,25 Tổng số tam giác tạo được là: 2 2 3 10 n 10 nC 10C C+ + Ta có phương trình: 2 2 3 2 10 n 10 445 nC 10C C 5n 40n 120= + + = + + , với n ≥ 2. 0,50 2 n 8n 65 0⇔ + − = n 13 ⇔ = − hoặc n = 5. Theo điều kiện suy ra n = 5. 0,25 V (1,00đ) 2 A B C A B C A 8sin sin sin 4sin cos 4sin 2 2 2 2 2 2 − = − 2 2 2 B C A B C B C cos 2sin cos cos 2 2 2 2 − − − = − − ≤ ÷ (1). Tương tự: 2 A B C C A 8sin sin sin cos 2 2 2 2 − ≤ (2). 0,50 Do B C C A cos 0,cos 0 2 2 − − > > , kết hợp (1) và (2) suy ra: A B C 1 B C C A sin sin sin cos cos 2 2 2 8 2 2 − − ≤ . 0,25 Đẳng thức xảy ra ⇔ A B C B C A 2sin cos 2sin cos 0 A B C 2 2 2 2 − − − = − = ⇔ = = . Kết luận: Tam giác ABC đều. 0,25 −3− B’ E M C’ A A’ B C α 60 o (h.3) Chú ý: • Các cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa cho mỗi câu. • Cụ thể cho một số câu: Câu I.1. Có thể không nhận xét hàm só chẵn, không tính y’’ và không tính giới hạn vô cực Câu I.2. Có thể bỏ qua việc kẻ trục xét dấu y’(x). Câu III.2. + Cách 2: Công thức diện tích hình chiếu suy ra ( ) ( ) dt ABC dt MBC cos ' ∆ α = ∆ . + Cách3: Phương pháp toạ độ: Gốc O là trng điểm AC, tia OB ≡ tia Ox, tia OC ≡ tia Oy. Điều kiện xác định α là MB MC 0. ' = uuur uuuur . Câu IV.1. Có thể đặt cosx = tgu, ta có ( ) ( ) ( ) 0 2 4 4 4 2 2 2 2 0 0 0 0 4 d tan u d sin u sin xdx du cosu du ln 1 2 cosu cos u sin u 1 1 cos x 1 tan u π π π π π = − = = = − = − + − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . Câu IV. 2. Có thể tính tổng số tam giác theo công thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 n 10 n n 10 n 9 n 8 n n 1 n 2 C C 5n 40n 120 6 6 + + + + − − − = − = + + . Câu V: A B C B C C A B C C A A B 8sin sin sin cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 − − − − − = ≥ A B C A B C B C C A A B A B C 8sin sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − − − ⇒ ≥ B C B C C A C A A B A B cos sin cos sin cos sin 2 2 2 2 2 2 − + − + − + = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 sin Asin Bsin C sin B sin C . sin C sin A . sin A sin B sin Asin Bsin C 2 2 2 ⇒ ≥ + + + ≥ . Dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều. −4− . HOÁ Trường THPT Chuyên Lam Sơn ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2007-2008 Môn thi: Toán khối A (thời gian 180 phút). Ngày thi: 7 /3/2008 (Đáp án - Thang điểm có 4 trang) Câu Ý Nội. 2 y' 4x 4x 4x x 1 ;y' 0 x 0 và x 1= − + = − − = ⇔ = = ± , 0,25 ( ) ( ) 2 y'' 12x 4;y'' 0 0, y'' 1 0= − + > ± < . Điểm cực trị của đồ thị: Cực đại ( ± 1;. 0;1−∞ − , nghịch biến ( ) ( ) 1;0 và 1;− +∞ . Giới hạn vô cực: x lim y →∞ = −∞ . 0,25 Bảng biến thi n: 0,25 Đồ thị: (h.1). 0,25 2. (1,0 đ) TXĐ: D = ¡ . ( ) 2 y' x 4x 3 m 1 x 4m = −