sáng kiến kinh nghiệm toán

RÌn luyÖn kü n¨ng nhËn biÕt dÊu hiÖu chia hÕt cho mét sè tù nhiªn RÈN LUYỆN KỸ NĂNG NHẬN BIẾT DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO MỘT SỐ TỰ NHIÊN A. ĐẶT VẤN ĐỀ. 1. Nguyên nhân khách quan. “Toán học là môn thể thao trí tuệ” (Kalinin) Thật vậy, nói một cách dễ hiểu: Toán học giúp trẻ tư duy được nhạy bén hơn, phát triển khả năng sáng tạo, khả năng tư duy, phương pháp làm việc khoa học, đức tính kiên nhẫn, khả năng xử lí tình huống khó khăn bằng nhiều phương pháp tối ưu, … Muốn giỏi Toán hay bất cứ môn học nào thì cũng phải thực hành nhiều. Và hơn nữa mong muốn nắm vững kiến thức để học giỏi môn Toán là nguyện vọng của nhiều học sinh. Số học là một môn khoa học, nó có vai trò khá quan trọng trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. Số học giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát hơn, suy luận chặt chẽ lôgíc hơn. Thế giới của những con số thật gần gũi với tất cả mọi người nhưng cũng đầy những bí ẩn cho chúng ta dành trọn cả đời mình để khám phá chúng. Ở trường THCS, phân môn số học tuy chỉ được học ở lớp 6, nhưng nó xuyên suốt quá trình học toán ở các cấp. Toán học ngày một phát triển không ngừng, trong đó một phân môn Toán được mệnh danh là “Bà chúa của Toán học” đó là phân môn Số học, môn học mà chỉ được gọi tên chính thức ở lớp 6, nhưng kiến thức cơ bản của nó thì xuyên suốt quá trình học Toán ở tất cả các bậc học. 2. Nguyên nhân chủ quan: Đối với học sinh THCS, Số học là một mảng khó trong chương trình Toán THCS. Phần lớn học sinh chưa có phương pháp giải bài tập một cách khoa học. Nguyên nhân cơ bản của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập Số học chính là ở chỗ: Lúc đầu giải bài tập mới, học sinh thấy có GV: Tr¬ng Thanh B×nh Trang: 1 RÌn luyÖn kü n¨ng nhËn biÕt dÊu hiÖu chia hÕt cho mét sè tù nhiªn sự đứt quãng giữa cụ thể của những điều kiện bài toán và sự phụ thuộc toán học trìu tượng diễn ra, trong những điều kiện đó học sinh chỉ thu nhận kiến thức về cách giải một bài tập cụ thể nào đó nhưng kỹ năng chung về việc giải toán khác thì chủ yếu. Trong đó ý muốn cơ bản của việc dạy cách giải bài tập Toán phải là dạy cho học sinh tự giải những bài tập tương đối mới, những bài tập đòi hỏi sự tìm tòi sáng tạo trong các cách giải. Việc học môn toán (Với mức độ SGK) không đòi hỏi học sinh phải có trí thông minh đặc biệt nào. Tuy nhiên không thể suy ra rằng mọi học sinh điều học tập dễ dàng như nhau, có học sinh tiếp thu tri thức toán học rất nhanh chóng và sâu sắc mà không cần sự cố gắng đặc biệt trong khi đó một số em khác có cố gắng nhiều nhưng không đạt được kết quả như vậy. Bên cạnh dó, năng lực tiếp thu của một bộ phận lớn học sinh còn hạn chế. Các em vừa học vừa phụ giúp công việc gia đình. Chính vì vậy, các em ít có thời gian để học tập. Vì vậy, việc là cho học sinh hiểu bài ngay tại lớp là một vấn đề hết sức quan trọng. Trong quá trình học tập môn Toán, nhiều khi ta cần biết một số có chia hết hay không chia hết cho một số nào đó mà không cần thực hiện phép chia. Muốn vậy ta cần biết các dấu hiệu chia hết cho một số tự nhiên. Ở chương trình Toán tiểu học, việc thực hiện “Rút gọn phân số” dựa trên tính chất cơ bản của phân số là: “Cùng chia tử số và mẫu số cho cùng một số tự nhiên khác không”, việc xác định số tự nhiên này cũng được tiến hành trên cơ sở dấu hiệu chia hết mà không dùng tới khái niệm ước số chung hay hoặc ước số chung lớn nhất. Với những lý do trên tôi đã áp dụng một số biện pháp rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 6 nhận biết nhanh dấu hiệu chia hết cho một số tự nhiên nhằm giúp học sinh thuận lợi khi vận dụng làm một số bài tập có liên quan. GV: Tr¬ng Thanh B×nh Trang: 2 RÌn luyÖn kü n¨ng nhËn biÕt dÊu hiÖu chia hÕt cho mét sè tù nhiªn 3. Mục đích của đề tài. Giúp cho học sinh rèn luyện kỹ năng để có thể nhận biết nhanh các dấu hiệu chia hết cho một số tự nhiên. 4. Phạm vi nghiên cứu và áp dụng. Nghiên cứu các tính chất chia hết, các dấu hiệu chia hết cho một số tự nhiên. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. 1. Cơ sở khoa học. Trong thực tế để giúp học sinh có thể học tốt môn toán thì nhiệm vụ của giáo viên dạy toán là tìm hiểu, nghiên cứu để nắm bắt được tình hình chung của học sinh. Từ đó tìm ra được những biện pháp thích hợp nhằm phát huy những mặt mạnh và khắc phục mặt còn yếu kém của học sinh. Có như vậy mới giúp được tất cả học sinh phát triển khả năng tư duy của mình. Và cho mọi học sinh nắm được những kiến thức cơ bản, đồng thời góp phần phát hiện, đào tạo nhân tài ngay từ những năm đầu ở bậc THCS. Một điều kiện thuận lợi là các em đã được học các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5 và 9 ở tiểu học. Đó chính là cơ sở để các em nhận biết và vận dụng các dấu hiệu chia hết một cách dễ dàng. Giáo viên cần có cái nhìn tổng quát và phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh. Đồng thời vận dụng phương pháp dạy học mới phù hợp với tình hình cụ thể của trường, lớp và phù hợp với từng đối tượng học sinh. Học sinh cần hiểu bài và nắm bắt được kiến thức mà giáo viên truyền đạt, có kỹ năng vận dụng kiến thức từ bài học vào việc giải Toán. 2. Biện pháp thực hiện. Trong chương trình Toán ở tiểu học, học sinh đã được học các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 theo 2 nhóm số. Nhóm số được xét xem chữ số tận cùng của các số tự nhiên: “Chia hết cho 2, cho 5”. GV: Tr¬ng Thanh B×nh Trang: 3 RÌn luyÖn kü n¨ng nhËn biÕt dÊu hiÖu chia hÕt cho mét sè tù nhiªn Nhóm số được xem tổng các chữ số của số tự nhiện: “Chia hết cho 3, cho 9”. 2.1. Phương pháp. Trong chương trình giảng dạy về phần này của sách lớp 6 cải cách, tôi đã khắc sâu lại các kiến thức trong bài học dựa vào tính chất “Chia hết của một tổng” nên học sinh đã nắm bắt được các dấu hiệu chia hết một cách chặt chẽ hơn và cung cấp thêm một số dấu hiệu chia hết dựa trên kiến thức chia theo 2 nhóm số. 2.1.1. Nhóm số được xét chữ số tận cùng của các số tự nhiên. Số tự nhiên A bất kỳ có thể viết được dưới dạng: 1 2 1 0 n n n A a a a a a − − = 1 1 1 1 0 10 10 10 n n n n a a a a − − = + + + + Thì: A M 2 ⇔ 0 2a M ⇔ { } 0 0;2;4;6;8a ∈ A M 5 ⇔ 0 5a M ⇔ { } 0 0;5a ∈ Ta có thể mở rộng thêm cho học sinh: A M 4 ⇔ 1 0 4a a M A M 25 ⇔ 1 0 25a a M A M 8 ⇔ 2 1 0 8a a a M A M 125 ⇔ 2 1 0 125a a a M 2.1.2. Nhóm số được xét xem tổng các chữ số tự nhiên. 1 2 1 0 n n n A a a a a a − − = Vậy: A M 9 ⇔ 1 1 0 9 n n a a a a − + + + + M A M 3 ⇔ 1 1 0 3 n n a a a a − + + + + M Giáo viên cung cấp và mở rộng thêm cho học sinh: GV: Tr¬ng Thanh B×nh Trang: 4 RÌn luyÖn kü n¨ng nhËn biÕt dÊu hiÖu chia hÕt cho mét sè tù nhiªn Nếu một số có hiệu của tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (kể từ phải qua trái) hoặc ngược lại chia hết cho 11 thì chia hết cho 11. A M 11 ⇔ 0 2 2 1 3 3 1 ( ) ( ) 11 n n n n a a a a a a a a − − − + + + + − + + + + M Lưu ý: Số chia hết cho 9 thì luôn chia hết cho 3 nhưng số chia hết cho 3 thì có thể không chia hết cho 9. Ví dụ: Xét số 3291 Số 3291 có tổng các chữ số là: 3 + 2 + 9 + 1 = 15, và 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9, do đó 3291 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9. Số 3291 có (3 + 9) – (2 + 1) = 9 không chia hết cho 11 nên 3291 không chia hết cho 11. Xét số 4653 Số 4653 có tổng các chữ số là 4 + 6 + 5 + 3 = 18, và 18 chia hết cho 3 và 18 cũng chia hết cho 9, nên số này chia hết cho 9. Số 4653 có (4 + 5) – (6 + 3) = 0 chia hết cho 11 nên 4653 chia hết cho 11. 2.1.3. Kết hợp với các dấu hiệu chia hết. Cách 1: Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5. Những số có tận cùng bằng 0 thì chia hết cho cả 5 và 2. Ví dụ: Các số 80, 100, 370, 190, … các số này chia hết cho cả 2 và 5 vì có chữ số tận cùng là số 0. Cách 2: Dấu hiệu chia hết cho 6. Những số chia hết cho 2 và 3 đều chia hết cho 6. Ví dụ: Xét số 390 Ta có: 390 M 2 vì có chữ số tận cùng là 0. 390 M 3 vì có 3 + 9 + 0 = 12 M 3. GV: Tr¬ng Thanh B×nh Trang: 5 RÌn luyÖn kü n¨ng nhËn biÕt dÊu hiÖu chia hÕt cho mét sè tù nhiªn Vậy 390 chia hết cho cả 2 và 3 nên chia hết cho 6. 2.2. Hướng dẫn học sinh áp dụng dấu hiệu chia hết để làm bài tập. 2.2.1. Loại bài tập điền chữ số thích hợp vào dấu * để được các số chia hết. Ví dụ 1: Điền chữ số thích hợp vào dấu * để được số 54* chia hết cho 2. Hướng dẫn học sinh: Số 54* = 540 + * Để 54* chia hết cho 2 thì * ∈ { } 0;2;4;6;8 . Vậy các số tìm được là: 540; 542; 544; 546; 548. Ví dụ 2: Điền chữ số vào dấu * để được số *85 thoả mãn: a) Chia hết cho 2. b) Chia hết cho 5. Hướng dẫn học sinh: a) Số *85 có chữ số tận cùng là 5 ⇒ số *85 M 2. Vậy ta không tìm được * để *85 chia hết cho 2. b) Số *85 = *80 + 5 có chữ số tận cùng là 5. Vậy ta có thể thay * bằng bất cứ số nào từ 1 đến 9 thì số *85 đều chia hết cho 5. Nên các số tìm được là: 185; 285; 385; 485; 585; 685; 785; 885; 985. Ví dụ 3: Điền chữ số thích hợp vào dấu * để 3*2 chia hết cho 9. Hướng dẫn học sinh: Ta có 3*2 chia hết cho 9 thì 3 + * + 2 phải chia hết cho 9. 3 + * + 2 = 5 + * M 9 ⇒ * = 4 Vậy số cần tìm là 342. GV: Tr¬ng Thanh B×nh Trang: 6 RÌn luyÖn kü n¨ng nhËn biÕt dÊu hiÖu chia hÕt cho mét sè tù nhiªn Ví dụ 4: Điền chữ số vào dấu * để *81* chia hết cho cả 2; 3; 5; 9 (trong một số có nhiều dấu *, các dấu * không nhất thiết phải thay bởi các chữ số giống nhau). Hướng dẫn học sinh: Vì *81* chia hết cho 2 và 5 nên *81* có * có chữ số tận cùng là 0, ta có số *810 . Mặt khác ta có *810 chia hết cho 3 và 9 Nên * + 8 + 1 + 0 M 9 ⇔ * + 9 M 9 ⇒ * = 9 (Vì * là chữ số đầu tiên của một số nên không thể bằng 0). Vậy ta có số cần tìm là: 9810. 2.2.2. Dạng bài tập tìm một số có thể chia hết cho nhiều số tự nhiên. Ví dụ 1: Hãy viết thêm 2 chữ số vào bên phải số 283 sao cho được một số mới chia hết cho 2, cho 3 và cho 5. Hướng dẫn học sinh. Một số chia hết cho 2 và 5 phải có chữ số tận cùng (chữ số hàng đơn vị) bằng 0. Vậy ta cần tìm chữ số hàng chục. Gọi chữ số hàng chục là *; ta có số cần tìm là 283*0 . Tổng các chữ số của nó là: 2 + 8 + 3 + * + 0 = 13 + * = 12 + 1 + * Vì 12 M 3 nên muốn 283*0 M 3 thì 1 + * M 3 ⇒ * ∈ { } 2;5;8 Vậy số cần tìm là: 28320; 28350; 28380. GV: Tr¬ng Thanh B×nh Trang: 7 RÌn luyÖn kü n¨ng nhËn biÕt dÊu hiÖu chia hÕt cho mét sè tù nhiªn Ví dụ 2: Tìm số có 4 chữ số chia hết cho 3 và 5 biết rằng khi đọc xuôi hay ngược, số đó đều có giá trị không đổi. Hướng dẫn học sinh. Số đó chia hết cho 5 mà khi đọc ngược lại giá trị vẫn không thay đổi nên chữ số hàng nghìn và chữ số hàng đơn vị phải bằng 5, còn chữ số hàng trăm và hàng chục phải giống nhau. Vậy số đó có dạng: 5**5 . Để số 5**5 M 3 thì: 5 + * + * + 5 M 3 ⇔ 10 + 2* M 3 Do đó * ∈ { } 1;4;7 Vậy số cần tìm là: 5115; 5445; 5775. Lưu ý giáo viên: đối với những bài toán như thế này ta có thể phát triển bài toán theo nhiều cách khác nhau (ví dụ thay 5 bằng 2). 2.2.3. Dạng bài tập dựa vào dấu hiệu nhận biết để phân tích một số ra thừa số nguyên tố một cách nhanh chóng. Ví dụ: Phân tích số 450 ra thừa số nguyên tố rồi cho biết số đó cho các ước nguyên tố nào. Hướng dẫn học sinh. Vì số 450 có chữ số tận cùng là 0, nên 450 chia hết cho cả 2 và 5, ta viết: 450 = 45.10 = 45.2.5 Vì 45 M 3 (Vì 4 + 5 = 9 M 3), nên ta viết: 450 = 15.3.2.5 Vì 15 M 3 (Vì 1 + 5 = 6 M 3), nên ta viết: 450 = 3.5.3.2.5 Cách làm như sau: 450 = 45.10 GV: Tr¬ng Thanh B×nh Trang: 8 RÌn luyÖn kü n¨ng nhËn biÕt dÊu hiÖu chia hÕt cho mét sè tù nhiªn = 3.15.2.5 = 3.5.3.2.5 = 2 2 2.3 .5 Vậy số 450 chia hết cho các ước nguyên tố là: 2; 3; 5. 2.2.4. Dạng bài tập không cần thực hiện phép tính hãy xét xem một tổng đai số có chia hết cho số nào đó không? Ví dụ 1: Cho tổng A = 270 + 3105 + 150. Không thực hiện phép tính hãy xét xem tổng A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 hay không? Tại sao? Hướng dẫn học sinh. Dựa vào dấu hiệu chia hết và tính chất chia hết của một tổng. Ta có: A = 270 + 3105 + 150 Vì: 270 2 3105 M M2 270 3105 150 150 2 A   ⇒ = + +    M M 2 Và: 270 5 3105 5 270 3105 150 5 150 5 A   ⇒ = + +    M M M M Mặt khác: 270 3 3105 3 270 3105 150 3 150 3 A   ⇒ = + +    M M M M Và: 270 9 3105 9 150 M M M 270 3105 150 9 A   ⇒ = + +    M9 Vậy số A không chia hết cho 2, không chia hết cho 9. A chia hết cho 3 và chia hết cho 5. Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi m, n ∈ N, ta có: a) 105m + 30n M 5 b) 261m + 3204n M 9 GV: Tr¬ng Thanh B×nh Trang: 9 RÌn luyÖn kü n¨ng nhËn biÕt dÊu hiÖu chia hÕt cho mét sè tù nhiªn Hướng dẫn học sinh. a) Ta có: 105 5 105 5 105 30 5 30 5 30 5 m m n n   ⇒ ⇒ +     M M M M M với mọi m, n ∈ N. b) Ta có: 261 9 261 9 261 3204 9 3204 9 3204 9 m m n n   ⇒ ⇒ +     M M M M M với mọi m, n ∈ N. 2.2.5. Loại bài tập nhận biết phân số tối giản và rút gọn phân số. Ví dụ: Trong các phân số sau: a) Phân số nào là phân số tối giản? 1 12 10 75 57 3 ; ; ; ; ; 3 18 15 100 58 5 b) Hãy rút gọn những phân số không phải là phân số tối giản. Hướng dẫn học sinh. a) Các phân số tối giản là: 1 57 3 ; ; 3 58 5 (Học sinh dễ dàng nhận biết được các phân số tối giản vì cả tử và mẫu của mỗi phân số tối giản đó không chia hết cho cùng một số tự nhiên nào khác 1) b) Rút gọn các phân số còn lại. Ta có: 12 12:6 2 18 18:6 3 = = (Chia cả tử số và mẫu số cho 6 vì: 6 = ƯCLN(12;18)). 10 10:5 2 15 15:5 3 = = (Chia cả tử số và mẫu số cho 5 vì: 5 = ƯCLN(10;15)). 75 75: 25 3 100 100:25 4 = = (Chia cả tử số và mẫu số cho 25 vì: 25 = ƯCLN(75;100)). GV: Tr¬ng Thanh B×nh Trang: 10 [...]... chc cú O = 4 (vỡ O 8 cú s tn cựng l 6) Vy ta cú phộp tớnh: - 9482147 1479482 8002665 C KT QU T C Qua thi gian t chc thc hin ti, vi s sa cha, b sung sau mi tit dy, bn thõn tụi t nhn xột, ỳc rỳt ra nhng kinh nghim v cỏch tin hnh ti ny Nhỡn chung hc sinh rt tin b trong hc tp, cỏc em rt hng say v sụi ni trong cỏc tit hc Kt qu t c nh sau: Sau khi hc xong phn Du hiu chia ht hc sinh nm vng c cỏc du hiu chia... giỏc hng thỳ trong hc tp Sau khi lm bi kim tra ỏnh giỏ kt qu s tip thu kin thc ca hc sinh, kt qu t c nh sau: S bi im di TB TS % 0 0 im 5 - 6 TS % 7 17,5 im 7 - 8 TS % 15 37,5 im 9 - 10 TS % 18 45 D BI HC KINH NGHIM Phõn mụn s hc tuy ch c hc lp 6 vi ni dung bi hc tng i n gin Song lm th no phỏt huy tớnh t duy tớch cc, s sỏng to cho hc sinh l mt vn khụng n gin t c iu ny ũi hi ngi giỏo viờn khụng nhng... kớch thớch s chỳ ý ca hc sinh, phỏt huy tớnh t lp v tớch cc sỏng to ca hc sinh Trờn õy mi ch l bc u t my mũ nghiờn cu v th nghim ca tụi, chc chn vn cũn nhiu sai sút v cũn mt s hn ch nht nh, cn phi rỳt kinh nghim b sung dn giỳp hc sinh ngy cng nm vng kin thc c bn mt cỏch sõu sc v ton din hn K nng nhn bit nhanh, chớnh xỏc du hiu chia ht cho mt s t nhiờn l rt thng gp trong tớnh toỏn lm tt cỏc bin phỏp... thu, thớch hay khụng thớch Cho nờn bn thõn giỏo viờn phi nghiờn cu k bi trc khi n lp, trau di kin thc, rốn luyn cho mỡnh mt phong thỏi t tin, ging núi d nghe, d lụi cun s chỳ ý ca hc sinh Trờn õy l mt s kinh nghim ca bn thõn tụi c rỳt ra t thc t ging dy Vi s c gng ca bn thõn song khụng th trỏnh khi nhng thiu sút Rt mong c s gúp ý ca cỏc ng nghip, bn thõn ngy cnh tin b hn Iale, ngy 10 thỏng 02 nm 2009 . 6, nhưng nó xuyên suốt quá trình học toán ở các cấp. Toán học ngày một phát triển không ngừng, trong đó một phân môn Toán được mệnh danh là “Bà chúa của Toán học” đó là phân môn Số học, môn. bài toán và sự phụ thuộc toán học trìu tượng diễn ra, trong những điều kiện đó học sinh chỉ thu nhận kiến thức về cách giải một bài tập cụ thể nào đó nhưng kỹ năng chung về việc giải toán. hiểu bài và nắm bắt được kiến thức mà giáo viên truyền đạt, có kỹ năng vận dụng kiến thức từ bài học vào việc giải Toán. 2. Biện pháp thực hiện. Trong chương trình Toán ở tiểu học, học sinh