I. Các định nghĩa về ma trận: 1. Định nghĩa 1.1: Một ma trận A loại (cấp) m x n trên trường K (K – là trường thực R, hoặc phức C) là một bảng chữ nhật gồm m x n phần tử trong K được viết thành m dòng và n cột như sau: Trong đó là phần tử ở vị trí dòng i, cột j của A. Đôi khi A được viết ngắn gọn là hay Các ma trận thường được ký hiệu bởi A, B, C và tập hợp tất cả các ma trận loại m x n trên trường K được ký hiệu bởi M m x n (K) Ví dụ 1.1: là ma trận cấp 2 x 3. là ma trận cấp 3 x 2. Ví dụ 1.2: Viết ma trận cấp 4 x 4 biết: Nhận xét: - Ma trận A có thể xác định trực tiếp bằng cách liệt kê các phần tử, cũng có thể được xác định theo công thức tổng quát. - Ma trận không cấp m x n (ma trận zero), ký hiệu 0 mxn là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0. - Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông cấp n trên K. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên K được ký hiệu là M n (K) - Ma trận cấp 1 x n được gọi là ma trận hàng; ma trận cấp m x 1 được gọi là ma trận cột - Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì đường chứa các phần tử a 11 , a 22 , a 33 ,…, a nn được gọi là đường chéo chính của A. 2. Định nghĩa 1.2: Cho . Khi đó: - Nếu (nghĩa là tất cả các phần tử bên ngoài đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận đường chéo. - Ta thường dùng ký hiệu diag(a 1 , a 2 ,…, a n ) để chỉ một ma trận đường chéo cấp n có các phần tử trên đường chéo lần lượt là a 1 , a 2 , …, a n - Ma trận chéo có (nghĩa là các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1) được gọi là ma trận đơn vị. Ký hiệu: I n - Một ma trận đường chéo với tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng nhau được gọi là ma trận vô hướng. - Nếu (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên dưới đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác trên. - Nếu (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên trên đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác dưới. - Ma trận tam giác trên hay tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam giác. II. Các phép toán trên ma trận: 1. Định nghĩa 2.1 (hai ma trận bằng nhau): Cho . Ta nói A = B khi và chỉ khi: Ví dụ: Với Thì Hai ma trận không thể bằng nhau do không cùng cấp. 2. Định nghĩa 2.2 (Ma trận chuyển vị): Cho . Ta nói: là chuyển vị của A (ký hiệu B = A T ) nếu: Ví dụ: Nếu thì 3. Tính chất 2.1: Cho . Khi đó: 1. 2. Ghi chú: Cho . Khi đó, nếu A T = A thì ta nói A là ma trận đối xứng; nếu A T = – A thì ta nói A là ma trận phản xứng. Ví dụ: là ma trận đối xứng. là ma trận phản xứng. Nhận xét: Nếu B là ma trận phản xứng thì các phần tử trên đường chéo chính của B đều bằng 0. 4. Phép nhân một số với một ma trận: Cho Ta gọi tích a và A (ký hiệu aA) là một ma trận được xác định bởi: – Nếu a = -1 thì ta ký hiệu (-1).A bởi -A và gọi là ma trận đối của A. 5. Cộng hai ma trận: Cho Ta gọi tổng của A và B (A + B) là một ma trận được xác định bởi: Tổng của A + (-B) được ký hiệu bởi A – B và gọi là hiệu của ma trận A và B. 6. Tính chất 2.2: Cho . Ta có: (ab).A = a.(bA); (aA) T = a.(A T ) 7. Ví dụ: Xác định các giá trị của x, y sao cho: 8. Định lý 2.1: Cho . Khi đó: 1.Tổng hai ma trận có tính giao hoán: A + B = B + A 2.Tổng hai ma trận có tính kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C 3.Tồn tại ma trận 0 mxn sao cho: A + 0 = 0 + A = A 4. Tồn tại ma trận đối của A sao cho: A + (- A) = (- A) + A = 0 5.Phép nhân vô hướng có tính phân phối: α(A+B) = αA + αB ;(α +β)A = αA + βA 6.Chuyển vị của tổng bằng tổng các chuyển vị:(A + B) T = A T + B T . Viết ma trận cấp 4 x 4 biết: Nhận xét: - Ma trận A có thể xác định trực tiếp bằng cách liệt kê các phần tử, cũng có thể được xác định theo công thức tổng quát. - Ma trận không cấp m x n (ma trận. là ma trận hàng; ma trận cấp m x 1 được gọi là ma trận cột - Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì đường chứa các phần tử a 11 , a 22 , a 33 ,…, a nn được gọi là đường chéo chính của A. 2. Định nghĩa. số với một ma trận: Cho Ta gọi tích a và A (ký hiệu aA) là một ma trận được xác định bởi: – Nếu a = -1 thì ta ký hiệu (-1 ).A bởi -A và gọi là ma trận đối của A. 5. Cộng hai ma trận: Cho Ta