1. On a planet there are aliens and languages. Each pair of aliens communicates with each other in exactly one language. Show that there are aliens who communicate with each other in one common language. Trên một hành tinh có người ngoài hành tinh và ngôn ngữ. Mỗi cặp người nước ngoài giao tiếp với nhau bằng ngôn ngữ một cách chính xác. Cho thấy rằng có những người nước ngoài giao tiếp với nhau trong một ngôn ngữ chung. 2 Suppose there are line segments of unit length inside a circle of radius . Furthermore, a straight line is given. Prove that there exists a straight line that is either parallel or perpendicular to and that cuts at least two of the given line segments. Giả sử có những đoạn đường có chiều dài đơn vị bên trong một vòng tròn bán kính. Hơn nữa, một đường thẳng là được. Chứng minh rằng có tồn tại một đường thẳng song song đó là một trong hai hoặc vuông góc với và cắt giảm ít nhất hai trong số các đoạn đường đã định. 3. Let be positive real numbers such that . Prove that Hãy để được tích cực thực số như vậy đó . Chứng minh rằng 4. Show that there exist infinitely many square-free positive integers that divide . Hiển thị rằng có tồn tại vô hạn vuông nhiều nguyên dương mà n chia het .