Đại số tuyến tính ppt

Trần văn minh Đại số tuyến tính Tài liệu toán A1 dùng cho cán bộ, sinh viên các ngành kỹ thuật và kinh tế in lần thú ba nhà xuất bản giao thông vận tải hà nội- 2004 Đại số tuyến tính là môn toán cơ sở có cấu trúc chặt chẽ và có nhiều ứng dụng cho các ngành kỹ thuật và kinh tế. Tuy nhiên do tính trừu tợng của nó khi học môn này sinh viên các ngành kỹ thuật và kinh tế còn gặp nhiều khó khăn. Để phù hợp cho việc học tập của sinh viên các ngành kỹ thuật và kinh tế, trong tài liệu này chúng tôi trình bày với những hớng cơ bản sau: 1. Giữ đợc cấu trúc đại số chặt chẽ của môn đại số tuyến tính. 2. Các khái niệm đợc nâng dần từ trực quan để bạn đọc dễ dàng tiếp cận với tính trừu tợng của môn học. Các ví dụ minh hoạ đợc đa nhiều dới dạng tính toán để giúp các bạn dễ hiểu. 3. Để có thể giúp bạn đọc có thể lập trình cho các bài toán tính toán trong đại số tuyến tính, khi chứng minh các định lý chúng tôi luôn cố gắng đa vào các tính toán đại số và trình bày dới dạng thuật toán các chứng minh đó. Ngoài ra chúng tôi đa vào một phụ lục tổng hợp một số đề kiểm tra hết môn học trong những năm gần đây của trờng Đại học Giao Thông Vận Tải Hà Nội để các bạn tham khảo, trên cơ sở đó giúp các bạn hiểu đợc nội dung môn học và dễ dàng làm các bài tập. 1 Chúng tôi xin chân thành cám ơn các sinh viên của trờng đại học Giao Thông Vận Tải Hà Nội đã có những đóng góp quý báu cho lần tái bản này đợc tốt hơn. Cuốn sách chắc không tránh khỏi còn những thiếu sót. Chúng tôi mong nhận đợc những ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc để lần xuất bản sau đợc hoàn thiện hơn. Th góp ý xin gửi về Bộ Môn Toán Trờng Đại Học Giao Thông Vận Tải Hà Nội Tác giả Chơng 1 Mở đầu về một số cấu trúc đại số 1.1 Tập hợp 1. Khái niệm về tập hợp Cũng nh các khái niệm về điểm và đờng thẳng trong hình học, tập hợp là một khái niệm toán học cơ bản không định nghĩa. Ta hiểu tập hợp là các vật hay các đối tợng có thể liệt kê ra đợc hoặc có cùng một tính chất chung nào đó. Các đối tợng lập nên một tập gọi là phần tử của tập hợp. Một tập hợp thờng đợc ký hiệu bằng các chữ cái in hoa: A,B,C Còn các phần tử của tập hợp th- ờng đợc ký hiệu bằng các chữ in thờng: a,b, ,x,y,z Nếu x là phần tử thuộc tập X ta ký hiệu xX, còn x không là phần tử thuộc tập X ta ký hiệu xX. Tập A gồm các phần tử x có tính chất p ký hiệu A={x| p(x)} hay A={x:p(x)} Ví dụ 1.1: a. Gọi A là tập các chữ số ảrập: A ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. b. N là tập các số tự nhiên: N={0,1,2, ,n, }. c. Z là tập các số nguyên: Z={0,+1,-1,+2,-2, }. d. Q là tập các số hữu tỉ: Q={ q p | p,q Z;q0}. Ví dụ 1.2: a. P n (t)={x(t)=a 0 +a 1 t+ +a n t n | a i R} là tập các đa thức bậc không lớn hơn n với các hệ số thực. b. C[a,b]={x(t)| x(t) liên tục trên [a,b]}. 2. Tập con của một tập hợp Nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập X thì ta nói A là tập con của X và ký hiệu: AX. Hai tập X, Y đợc gọi là bằng nhau nếu XY và YX, ký hiệu X=Y. Một tập hợp không có phần tử nào gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu . Ta thấy: A N Z Q và P n (t) C[a,b]. Ví dụ 1.3: A={x| x 2 +1=0,xR}=. 3. Các phép toán trên tập hợp a. Phép hợp Ta gọi hợp của hai tập A,B là tập hợp, ký hiệu AB, gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập A hoặc B. AB ={x| xA hoặc xB} (1_1) b. Phép giao Giao của hai tập A,B là tập hợp, ký hiệu AB, gồm các phần tử thuộc đồng thời cả A và B. AB ={x| xA và xB} (1_2) 2 c. Hiệu của hai tập hợp Hiệu của A và B là tập hợp, ký hiệu A\B, gồm các phần tử thuộc A nhng không thuộc B. A\B={x| xA, xB} (1_3) d. Phần bù Nếu AX thì X\A gọi là phần bù của A trong X, ký hiệu CxA. Chú ý: Các phép toán hợp và giao có thể suy cho một số tuỳ ý các tập hợp. e. Các tính chất Các phép toán của tập hợp có các tính chất sau: 1. Giao hoán AB = BA , AB= BA 2. Kết hợp (AB)C= A(BC) (AB)C=A(BC) 3. Phân phối A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) 4. Công thức De Morgan X\ (AB)=(X\A) (X\B) X\ (AB)=(X\A)(X\B) công thức De Morgan đúng cho một họ tuỳ ý các tập hợp. Hợp Giao Hiệu Phần bù f. Tích Đề các của các tập hợp Định nghĩa 1.1: Cho hai tập X,Y ta gọi tích Đề các của X và Y là tập hợp, ký hiệu XìY gồm các phần tử sắp thứ tự (x,y) sao cho xX, yY. Nh vậy: XìY ={(x,y) | xX, yY} (1_4) Mở rộng cho tích Đề các của n tập hợp ta có: X 1 ì X 2 ì ìX n ={(x 1 ,x 2 , ,x n ) | x i X i (i= n,1 )} Khi X 1 = X 2 = = X n = X ký hiệu: X n = Xì Xì ìX (Tích n lần X) Hai phần tử bằng nhau: Cho (x 1 ,x 2 , ,x n ), (x 1 ,x 2 , ,x n ) X 1 ì X 2 ì ìX n Ta định nghĩa: (x 1 ,x 2 , ,x n )= (x 1 ,x 2 , ,x n ) x i =x i (i= n,1 ) Ví dụ 1.4: a. Cho X={0,1}, khi đó: X 2 =XìX={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} 3 b. R n ={(x 1 ,x 2 , ,x n )|x i R (i= n,1 ) } 1.2 ánh xạ 1. Các định nghĩa Định nghĩa 1.2: Cho hai tập X,Y, một ánh xạ f từ X vào Y là một quy luật cho ứng mỗi phần tử xX với một phần tử y=f(x) Y xác định trên Y. Ký hiệu: f: XY (1_5) y=f(x) gọi là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f. X gọi là tập nguồn hay miền xác định của f. Với AX tập: f(A)={f(x)Y| xA} gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f. Khi đó tập f(X) gọi là miền giá trị của f. Với BY tập: f -1 (B)={xX| f(x)B} gọi là nghịch ảnh của tập B. Tập {(x,f(x)|xX} XìY gọi là đồ thị của f. 2. Đơn ánh, Toàn ánh, Song ánh Định nghĩa 1.3: ánh xạ f: XY - Gọi là đơn ánh nếu từ f(x 1 )=f(x 2 ) suy ra x 1 =x 2 . - Gọi là toàn ánh nếu f(X)=Y. - Gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Ví dụ 1.5: (i) f: NN : f(n)=2n+1 là một đơn ánh. (ii) f: RR + : f(x)=x 2 là toàn ánh nhng không là đơn ánh. (iii) I x : XX, I x (x)=x là một song ánh trên X và gọi là ánh xạ đồng nhất. 3. Tích các ánh xạ Định nghĩa 1.4: Cho f: XY và g: YZ là hai ánh xạ, khi đó h: XZ đợc xác định bởi h(x)=g(f(x)) đợc gọi là tích của hai ánh xạ f và g và viết h=g o f. Định lý 1: Cho hai ánh xạ: f: XY và g: YZ, khi đó: a. Nếu h=g o f là đơn ánh thì f là đơn ánh. b. Nếu h=g o f là toàn ánh thì g là toàn ánh. Chứng minh: a. f(x 1 )=f(x 2 ) g(f(x 1 ))=g(f(x 2 )) h(x 1 )=h(x 2 ), nhng do h là đơn ánh nên x 1 =x 2 , do đó f là đơn ánh. b. Ta có f(X)Y, do h là toàn ánh nên: Z=h(X)=g(f(X)) g(Y) Z Vậy g(Y)=Z hay g là toàn ánh. 4. ánh xạ ngợc và điều kiện tồn tại Định lý 2: Nếu f: XY là một song ánh thì tồn tại duy nhất một ánh xạ g: YX sao cho g o f =I x và f o g= I y . Khi đó g đợc gọi là ánh xạ ngợc của f, ký hiệu g=f -1 và ngợc lại f là ánh xạ ngợc của g. Chứng minh: Vì f là toàn ánh nên với mỗi yY tồn tại xX sao cho y=f(x), do f là đơn ánh nên mỗi x ứng với mỗi y trên là duy nhất. Do vậy ta xác định đợc duy nhất ánh xạ g: YX mà g(y)=x sao cho f(x)=y. Hiển nhiên f(g(y))=f(x)=y= I y Và g(f(x))=g(y)=x= I x 1.3 Sơ lợc về logic mệnh đề 4 1. Mệnh đề Mệnh đề là một câu phản ánh một điều đúng hoặc sai, nhng không đồng thời vừa đúng vừa sai. Ta thờng dùng các chữ cái a,b,c, để chỉ các mệnh đề. Ví dụ 1.6: a= Các điểm trên đờng tròn cách đều tâm. b= Các điểm trên Elip cách đều gốc toạ độ. Ta thấy a là mệnh đề đúng, còn b là mệnh đề sai. Nếu p là mệnh đề đúng ta nói p có giá trị đúng, nếu q là mệnh đề sai ta nói q có giá trị sai. Thay cho đúng và sai ta quy ớc giá trị của mệnh đề đúng bằng 1, giá trị của mệnh đề sai bằng 0. Mệnh đề có giá trị thay đổi gọi là các biến mệnh đề. Nh vậy một biến mệnh đề chỉ nhận một trong hai giá trị hoặc 1 hoặc 0. Ví dụ 1.7: p= Tam giác ABC có hai góc bằng nhau. Khi đó: P= cangiactamlakhongABC cangiactamlaABC 0 1 2. Các phép toán logic a. Phép phủ định Phủ định của mệnh đề p là mệnh đề, ký hiệu p, với: p= 1 0 0 1 khi p khi p = = c. Phép tuyển Tuyển của hai mệnh đề p,q là mệnh đề, ký hiệu p q, với: p q == laiconhoptruongcac qvapkhi 1 000 c. Phép hội Hội của hai mệnh đề p,q là mệnh đề, ký hiệu pq, với: p q = == laiconhoptruongcac qvapkhi 0 111 d. Phép kéo theo Mệnh đề p kéo theo q là mệnh đề, ký hiệu p q, với: pq= == laiconhoptruongcac qvapkhi 1 010 e. Phép tơng đơng Mệnh đề p tơng đơng q, ký hiệu pq, có nghĩa: pq qp 3. Các lợng từ với mọi và tồn tại a. Hàm mệnh đề Cho một tập X, một ánh xạ P:X{0,1} đợc gọi là một hàm mệnh đề xác định trên tập X. Ký hiệu p=p(x). Nh vậy ứng với mỗi xX xác định một mệnh đề p(x). Ví dụ 1.8: P(x):R {0,1}: x 2 -2x+1=0 . Khi đó: p= = 10 11 xkhi xkhi Ví dụ 1.9: Các phép toán lôgíc là các hàm mệnh đề sau: Phép phủ định là hàm: P:{0,1}{0,1} với P(0)=1, P(1)=0. Các phép tuyển, hội, kéo theo, tơng đơng, tơng ứng là các ánh xạ từ X 2 ={0,1} 2 {0,1} đợc cho bởi bảng sau: x y xy xy xy xy 0 0 0 0 1 1 5 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 b. Miền đúng của hàm mệnh đề Ta gọi tập Ep(x)={xX| p(x)=1} là miền đúng của hàm mệnh đề p(x). Hai hàm mệnh đề p(x) và q(x) cùng xác định trên X đợc gọi là tơng đơng nếu Ep(x)=Eq(x) , ký hiệu: p(x)q(x). Ví dụ 1.10: P(x)= x 2 -3x+2 0, khi đó Ep(x)=[1,2]. c. Lợng từ Cho T(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập X. Khi đó: (i) Mệnh đề (xX) T(x) (đọc là với mọi x thuộc X, T(x)) là một mệnh đề chỉ đúng nếu ET(x)=X và đợc gọi là lợng từ phổ biến. (ii) Mệnh đề (xX) T(x) (đọc là tồn tại x thuộc X, T(x)) là một mệnh đề chỉ đúng nếu ET(x) và gọi là lợng từ tồn tại. Ví dụ 1.11: a=(x[1,2] ): x 2 - 3x+20. b=(x R): x 2 - 3x+20. là các mệnh đề đúng. d. Phủ định của các lợng từ (xX) T(x)= (xX) T(x) ( xX) T(x)=(xX) T(x) 1.4 Quan hệ 1. Quan hệ Định nghĩa 1.5: Cho tập X, ta nói R là một quan hệ hai ngôi trên X nếu R XìX. Với x,yX ta nói x có quan hệ với y nếu (x,y)R và viết xRy. Định nghĩa 1.6: Ta nói quan hệ hai ngôi R trên X: (i) Có tính phản xạ nếu xX, ta đều có xRx. (ii) Có tính đối xứng nếu x,yX mà xRy thì yRx. (iii) Có tính bắc cầu nếu xRy và yRz thì xRz. (iv) Có tính phản đối xứng nếu với x,y mà đồng thời có xRy và yRx thì x=y Ví dụ 1.12: Trên tập các số nguyên dơng Z + , xét quan hệ R nh sau: xRy x y ( x chia hết cho y). Ta thấy R là quan hệ có các tính chất: phản xạ, bắc cầu và phản xứng nhng không có tính đối xứng. 2. Quan hệ tơng đơng Định nghĩa 1.7: Một quan hệ hai ngôi R trên X đợc gọi là quan hệ tơng đơng nếu R có tính phản xạ ,đối xứng và bắc cầu. Nếu R là quan hệ tơng đơng và xRy thì ký hiệu xy. Nh vậy một quan hệ là tơng đơng thì: + xx xX + xy yx + xy, yz xz Ví dụ 1.13: Trên tập Z các số nguyên, n là một số nguyên dơng xét quan hệ: xRyx-y chia hết cho n. Ta thấy quan hệ này là quan hệ tơng đơng và gọi là quan hệ đồng d modulo n trên Z. Nếu xy ta ký hiệu xy(mod n). 3. Quan hệ thứ tự 6 Định nghĩa 1.8: Một quan hệ hai ngôi trên X đợc gọi là quan hệ thứ tự nếu R có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Nếu R là quan hệ thứ tự và xRy thì ký hiệu xy, nh vậy một quan hệ là quan hệ thứ tự thì: + xx xX + Nếu xy, yx thì x=y + xy, yz xz Nếu quan hệ thứ tự thoả mãn điều kiện: x,yX hoặc xy hoặc yx thì ta gọi nó là quan hệ thứ tự toàn phần hay X là tập đợc sắp thứ tự toàn phần. Ví dụ 1.14: Các tập N, Z,và tập Q các số hữu tỷ với quan hệ là các tập đợc sắp thứ tự toàn phần. 1.5 Trờng số phức 1. Trờng số hữu tỷ Q và trờng số thực R Tập số thực R và tập các số hữu tỷ Q với phép cộng và phép nhân hai số có tính chất sau, gọi là tính chất trờng: Tính chất trờng: Với bất kỳ hai số a, b có duy nhất số a+b gọi là tổng của chúng, và có duy nhất số ab gọi là tích của chúng. Hơn nữa các mệnh đề sau đây là đúng: (i) Luật giao hoán: a+b=b+a, ab=ba (ii) Luật kết hợp (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc) (iii) Luật phân bố a(b+c)=ab+ac (iv) Tồn tại phần tử không: Tồn tại duy nhất số 0 có tính chất, với mọi số x: x+0=0+x=x Ta gọi số 0 là phần tử trung hòa của phép cộng. (v) Tồn tại phần tử đơn vị: Tồn tại duy nhất số 1 có tính chất, với mọi số x: 1.x=x Ta gọi số 1 là phần tử trung hòa của phép nhân. (vi) Tồn tại số đối: Với mỗi số x, có duy nhất số x, với tính chất: x+(-x)=0 (vii) Tồn tại số nghịch đảo: Với mỗi số x khác 0, có duy nhất số x 1 , gọi là nghịch đảo của x, có tính chất: x x 1 =1 Do tính chất trờng, ta nói tập số thực R và tập các số hữu tỷ Q với phép cộng (+) và nhân (ì) tạo thành một trờng, gọi là trờng số thực R và trờng số hữu tỷ Q, ký hiệu R(+,ì) và (Q,+,ì) . Vì Q,R là các tập đợc sắp thứ tự toàn phần nên ta cũng nói trờng hữu tỷ (Q,+,ì) và trờng số thực R(+,ì) là trờng sắp thứ tự. 2. Số phức Phơng trình: x 2 +1=0 hay x 2 =-1 (1_6) Không có nghiệm trong trờng số thực (R,+ ,ì) vì vậy cần mở rộng trờng số thực thành một trờng rộng hơn để phơng trình trên có nghiệm, hay trên trờng đó có thể lấy căn bậc chẵn một số âm. Theo gợi ý của phép khai căn, ngời ta đa vào một ký hiệu mới i, để trong trờng đợc mở rộng i 2 =- 1. Ký hiệu mới i là một số mới, gọi là đơn vị ảo (còn số 1 gọi là đơn vị thực), khi đó phơng trình (1_6) có hai nghiệm: x=i và x=-i Nếu xét phơng trình (x-a) 2 +b 2 =0 hay (x-a) 2 =-b 2 khi đó nghiệm của phơng trình trên trờng mới có dạng: x=a+bi và x=a-bi 7 Các số dạng z=a+ib trong đó a,b là các số thực, gọi là các số phức dạng chuẩn tắc, a gọi là phần thực, ký hiệu a=Rez, b gọi là phần ảo, ký hiệu b=Imz. Ký hiệu C là tập các số phức: C={z=a+iba,bR} (1_7) 3. Các phép toán trên tập số phức a. Tổng và tích hai số phức Định nghĩa 1.12: Với z=a+ib, w=c+idC ta gọi: (i) Tổng: z+w= (a+b)+i(c+d) (1_8) (ii) Tích: z.w=(a+ib).(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc) (1_9) Dễ dàng kiểm tra phép cộng, và nhân các số phức có tính giao hoán, kết hợp, và phép nhân phân phối với phép cộng. Chú ý: 1. Mỗi phần tử aR đợc xem là phần tử a+i.0C nên R là một tập con của C. Do đó phần tử 0=0+0i cũng là phần tử không của C. 2. Hai số phức bằng nhau a+ib=c+id a=c và b=d. 3. Đơn vị ảo i=0+i, số thuần ảo ib=0+ib 4. Hiển nhiên ta có i 2 =(0+i)(0+i)=-1. 5. Với mọi số thực và z=a+ib thì z=a+i b Do đó với mỗi số phức z=a+ib thì 1.z=1(a+ib)=z, hay số 1 cũng là phần tử đơn vị của phép nhân. 6. Hiệu hai số phức Ta định nghĩa: z-w=z+(-1).w=(a-c)+i(b-d) Do đó với mỗi số phức z=a+ib thì phần tử đối z=-a-ib. c. Số phức liên hợp Nếu z=a+ib thì số phức z =a-ib gọi là số phức liên hợp của z. Hiển nhiên ta có: + z w z w+ = + + z w z w. .= + z. z =(a+ib).(a-ib)= a 2 +b 2 (1_10) là một số thực dơng. + z+ z =(a+ib)+(a-ib)=2a=2Rez + z - z =(a+ib)-(a-ib)=2ib=2i Imz d. Phép chia số phức Cho z=a+ib, w=c+id với (a,b)(0,0), khi đó ta có: 22 . 11 ba iba zz z ibaz + == + = 2222 ba b i ba a + + = Do đó: 222222 ))(( . . ba bcad i ba bdac ba ibaidc zz zw z w + + + + = + + == (1_11) Ví dụ 1.5: Tính: i ii 21 )21)(32( + + = i i 21 8 + + = 5 )21)(8( ii + = i 5 17 5 6 Định lý 3: Tập C các số phức với phép cộng (1_8) và phép nhân (1_9) là một trờng, gọi là trờng số phức. Chứng minh: 8 Thật vậy theo trên ta có: + Phép cộng, và nhân các số phức có tính giao hoán, kết hợp, và phép nhân phân phối với phép cộng. + Phép cộng có phần tử không là số 0, phần tử đối của z=a+ib là -z=-a-ib. + Phép nhân co phần tử đơn vị là số 1 và z=a+ib0 thì phần tử nghịch đảo là: 2222 1 ba b i ba a z + + = Vậy (C,+,.) là một trờng. Chú ý: Ta thấy việc thực hiện các phép toán cơ bản trên trờng số phức cũng giống nh thực hiện các biểu thức số học với chú ý: i 2 =-1. 4. Biểu diễn hình học của số phức Ta thấy giữa số phức z=a+ib và cặp số thực (a,b) có tơng ứng một-một, nên ta có thể biểu diễn tập C các số phức bởi: C={z=(a,b)a,bR} (1_12) Z=(a,b) gọi là dạng đại số của z=a+ib. Xét hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy trong mặt phẳng. Theo (1_12), mỗi số phức z=(a,b) đợc biểu diễn tơng ứng bởi một điểm M(a,b), hay biểu diễn của tập các số phức chính là mặt phẳng tọa độ nên ta gọi mặt phẳng tọa độ là mặt phẳng phức. Các số thực a=(a,0) đợc biểu diễn trên trục thực Ox. Các số ảo ib=(0,b) đợc biểu diễn trên trục ảo Oy. Nh vậy a,b đợc xem nh toạ độ của số phức (a,b) trên các trục toạ độ. Khi đó điểm gốc toạ độ O biểu diễn số phức (0,0). Hai số phức z(a,b) và z (a,-b) đối xứng qua Ox. Giả sử cho z=(a,b) tơng ứng với M(a,b), w=(c,d) tơng ứng với N(c,d). Lập các véc tơ OM =(a,b) và ON =(c,d) khi đó ta có: z+w= OQ OM ON = + Và với số thực ta có: z= (a,b)= OM Nh vậy cộng các số phức tơng ứng với cộng các véc tơ với điểm gốc O và điểm ngọn là điểm biểu diễn của số phức trên mặt phẳng, nhân một số thực với một số phức là nhân số thực đó với véc tơ biểu diễn số phức. y b z=(a,b) r x O a z =(a,-b) Hình 1 5. Dạng lợng giác của số phức a. Môdun và acgumen của số phức Giả sử z=a+ib và M(a,b) là điểm biểu diễn của nó trên mặt phẳng. Nếu (a,b) (0,0) khi đó véc tơ OM =(a,b) đợc xác định bởi các yếu tố sau: (i) Độ dài: r= | OM |= a b 2 2 + (1_13) Đó là một số thực dơng. Độ dài r đợc gọi là môdun của số phức z và đợc ký hiệu bởi | z | (ii) Góc định hớng =(Ox, OM ) (1_14) 9 tạo bởi tia Ox và OM . Góc đợc xác định sai kém nhau một bội nguyên của 2 và đợc gọi là acgumen của số phức z, ký hiệu bởi Arg(z). Nếu 0 2 ta ký hiệu =arg(z) và gọi là phần chính của acgumen. Hiển nhiên | z | có các tính chất: (i) | z | 0 zC và | z |=0 z=(0,0) (ii) | z+w | | z | + | w | (z,wC) (iii) | k.z | = | k | | z | (kR,zC) (iv) | | z |- | w | | | z - w| (z,wC) (v) | z | = | z | (zC) Ví dụ 1.16: Với z=x+iy, tìm biểu diễn hình học của tập các số phức: | z - 1| 2 - 2z 2 +4xyi=5 Ta có | z - 1| 2 -2z 2 +4xyi=|(x-1)+yi| 2 -2(x+yi) 2 +4xyi=5 (x-1) 2 +y 2 -2(x 2 +2xyi-y 2 )+4xyi=3y 2 -x 2 -2x-1+2=5 3y 2 -(x+1) 2 =3 Hay: y 2 - 3 )1( 2 +x =1 Đó là phơng trình của một hypebol. b. Dạng lợng giác của số phức Cho z=a+ib với (a,b) (0,0) ta có: cos = a a b 2 2 + , sin = b a b 2 2 + (1_15) Khi đó có thể viết: z =(a+ib)= + + + + 2222 22 ba b i ba a ba = a b 2 2 + (cos+i sin) (1_16) = | z | (cos+isin) (1_17) gọi là dạng lợng giác của số phức. Chú ý: Từ (1_15) ta có a b tg = với sin cùng dấu với b. Ví dụ 1.17: z=1+i 3 = + 2 3 2 1 2 i =2 (cos 3 +i sin 3 ) 6. Luỹ thừa bậc n của số phức Giả sử dới dạng lợng giác ta có: z = | z | (cos +i sin), y= | y | (cos +i sin) Khi đó: z.y= | z |.( cos +i sin). | y | (cos+i sin) = | z | | y | [(cos cos-sin sin)+i(sincos+cos sin)] = | z | | y | [ cos(+) + i sin( +)] (1_18) z y z y = [ cos(-) + i sin( -)] (1_19) Trong (1_18) thay y bởi z ta có: z.z=z 2 = | z | 2 [ cos(2) + i sin(2)] Do đó ta có công thức tính luỹ thừa bậc n của số phức: z n =( | z | [ cos + i sin]) n = | z | n [ cosn + i. sinn] (1-20) 10 [...]... a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ +an=0 thì số phức liên hợp z =a-bi cũng là nghiệm của Pn(x) 22 Tìm các số thực a,b,c biết phơng trình: x3+a x2+b x+c=0 a Có các nghiệm là x=1 và x=1+i b Có các nghiệm là x=2 và x=1+2i 23.a Chứng minh rằng đa thức Pn(z) chia cho z-z0 có số d bằng Pn(z0) b Biết đa thức Pn(z) chia cho z-i có số d là i, chia cho z+i có số d là 1+i Tìm số d của Pn(z) chia cho z2+1 24.Trong các số phức z thoả mãn... của tập các số phức sau 2 a z z + z 2 2 xyi = 1 b z 1 z z + 2 z 2 yi = 2 2 2 c z 1 z 2 + 2 xyi = 2 d z 1 + z 2 xyi = 1 19 Phân tích đa thức x5-1 ra thừa số là các đa thức bậc nhất, bậc hai với thừa số thực 20 Phân tích các đa thức sau thành tích của các nhị thức và tam thức a x3-2x+1 b x4+1 4 2 c x -2x +2 d x5+1 21 Chứng minh rằng nếu số phức z=a+ib là nghiệm của đa thức với các hệ số thực Pn(x)=... sin3x=3cos2xsinx-sin3x 7 Căn bậc n của số phức Cho số phức z, căn bậc n của z là một số phức y mà yn=z + Nếu z=0 khi đó y=0 + Nếu z 0 và z= | z | (cos+i sin) Giả sử y=| y|(cos +i sin), khi đó theo công thức Moivrie: | y |n = | z | , cosn = cos, sinn= sin Từ đó + | y |= n z (1_24) + 2k + n =+2k hay = (k=0, ,n-1) (1-25) n Nh vậy có n giá trị phân biệt y sao cho y n=z Các số y đợc biểu diễn bởi các điểm là... Nghiệm của đa thức trên trờng số phức Ngời ta đã chứng minh đợc mệnh đề sau Mệnh đề: Đa thức Pn(x)=xn+a1xn-1+a2xn-2+ +an (1_26) Trong đó a1,a2, ,an là các số thực hoặc phức luôn có n nghiệm trên trờng số phức C, kể cả nghiệm bội Hệ quả 2: Mọi đa thức bậc n Pn(x)= a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ +an luôn phân tích đợc thành tích của các nhị thức Pn(x)=a0(x-x1)(x-x2) (x-xn) Trong đó xi là các số phức có thể trùng nhau... Pn(x)= a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ +an là đa thức với các hệ số thực (a0,a1, ,an R) khi đó: (i) Nếu số phức z là nghiệm của đa thức thì z cũng là nghiệm của đa thức (ii) Pn(x) luôn phân tích đợc thành tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai Pn(x)=a0(x2+b1x+c1) (x2+bmx+cm)(x-x1) (x-xn-2m) Trong đó a0,a1, ,an, b1, ,bm,c1, ,cm,x1, ,xn-2m là các số thực Ví dụ 1.22: Tìm nghiệm của phơng trình x3-i=0... là một song ánh, hãy viết công thức của f -1 13 13 Thực hiện các phép tính (3 + 5i )(2 i ) (3 2i )(3 + i ) a b 1 + 2i 2 3i 1+ i d e 5 12i 1 i g 3 (3 + 3i ) 3 h 4 (3 + 3i ) 4 c (1 + 3i )(2 i ) 4i f 1 + 3 i i 4 (5 + 3i ) 4 k 8 (5 + 5i ) 8 14 Đa các số phức về dạng lợng giác a 3+3i b 2-2i c -cos30 o +i.sin30o 1 d e 4+4i 1+ i 15 Tính (cos + i sin ) n (1 + i ) n a b c (1+cos + i sin)n n n (cos i sin... điều kiện z + 3 i 3 = 3 hãy tìm số phức z0 có acgumen dơng nhỏ nhất 25 Chứng minh rằng công thức Viet về nghiệm của tam thức bậc hai vẫn đúng trên trờng số phức C 26 Tìm nghiệm của phơng trình x4+3x3+11x2+11x+14=0 1 7 biết x= + i là nghiệm 2 2 1 11 27 Chứng tỏ x= + i là nghiệm của phơng trình 2 2 x4+3x3+10x2+11x+15=0 14 Tìm tất cả các nghiệm của phơng trình 28 Tìm các số thực a,b,c để phơng trình sau... Phân tích đa thức: P(x)=x4-6x3+9x2+100 thành tích của các nhị thức và tam thức bậc hai với các hệ số thực Ta có: 12 Hay: x4-6x3+9x2=-100 (x2-3x)2=-100 x2-3x10i=0 Phơng trình: x2-3x+10i=0 có =9-40i=(5-4i)2 nên có các nghiệm: 3 + 5 4i 3 5 + 4i x1 = = 4 2i ; x 2 = = 1 + 2i 2 2 Do vế phải là đa thức với các hệ số thực nên các liên hợp cũng là nghiệm, vậy các nghiệm còn lại là: x3 = x1 = 4 + 2i , x 4 = x... của tập hợp có tính phân phối với phép hợp và giao hai tập hợp a Ax(BC)=(AxB)(AxC) b.Ax(BC)=(AxB)(AxC) 9 Cho mệnh đề P(x)= x2-5x+6>0 a Tìm Ep(x) b Tìm tập X để mệnh đề (xX, P(x)) là mệnh đề sai c Tìm tập X để mệnh đề (xX,P(x)) là mệnh đề đúng 10 Cho E={0,1}, tìm tập E3 11 Cho f:RR xác định bởi biểu thức: f(x)= x2+4x-5 xR Hãy tìm f(1), f(A), f -1(A) với A={ xR: -2x2} 12 Cho Z là tập các số nguyên và... phân biệt y sao cho y n=z Các số y đợc biểu diễn bởi các điểm là đỉnh của đa giác đều nội tiếp tâm O bán kính r= n z Ví dụ 1.20: Tính 3 1 trên C Ta có : 1=cos0+i sin0 Hay r=1, =0, nên 3 giá trị của 3 1 là: 2 2 4 4 x0=1, x1=cos + i sin , x2= cos + i sin 3 3 3 3 7 11 Ví dụ 1.21: Tính 5 12i Cách1: Đặt 5 12i =x+iy , bình phơng hai vế đợc: 5-12i=x2+2ixy-y2 Cho phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần . Trần văn minh Đại số tuyến tính Tài liệu toán A1 dùng cho cán bộ, sinh viên các ngành kỹ thuật và kinh tế in lần thú ba nhà xuất bản giao thông vận tải hà nội- 2004 Đại số tuyến tính là môn toán. đại số chặt chẽ của môn đại số tuyến tính. 2. Các khái niệm đợc nâng dần từ trực quan để bạn đọc dễ dàng tiếp cận với tính trừu tợng của môn học. Các ví dụ minh hoạ đợc đa nhiều dới dạng tính. bạn đọc có thể lập trình cho các bài toán tính toán trong đại số tuyến tính, khi chứng minh các định lý chúng tôi luôn cố gắng đa vào các tính toán đại số và trình bày dới dạng thuật toán các