bai tap duong vuong goc mat

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ. LÝ THUYẾT. I. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN. Phương trình chứa căn cơ bản: Dạng 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0g x f x g x f x g x ≥   = ↔  =       Ví dụ 1: Giải phương trình 2 4 2 2x x x− + + = (1) ĐH QG TPHCM 1999 KHỐI D. HD: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 1 4 2 2 4 2 2 x x x x x x x − ≥   ↔ − + = − ↔  − + = −   2 2 1 4 4 8 4 x x x x x ≥  ↔  − + = − +  2 1 5 12 4 0 x x x ≥  ↔  + + =  ( )  ≥    = ↔     =     1 2 2 5 x x x loại . Đs: = 2x . Dạng 2: Đặt ẩn phụ: Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2x x x x+ − = + − . ĐH CẦN THƠ 1999 KHỐI B. HD: ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2x x x x↔ + − = + − .(*) Đặt: 2 2 0x x t+ − = ≥ . Ta được: 2 2 2 x x t+ − = 2 2 2x x t↔ − = − thay vào Pt (*) ta được: ( ) 2 1 2 2t t= + − ( ) 2 1 2 3 0 3 2 t loại t t t  = −  ↔ − − = ↔  =   với 3t = ta có: 2 9 2 4 x x+ − = 2 4 4 1 0x x↔ − + = 1 2 x↔ = . Đs 1 2 x = . Dạng 3: Phương trình chứa nhiều căn: Ví dụ 3: Giải phương trình: 6 1 2 1 2x x+ − + = .(1) ĐH QG TPHCM 2000 KHỐI D. HD: ( ) 1 6 1 2 2 1x x↔ + = + + . Đk: 1 6 1 0 1 6 2 2 1 1 2 x x x x x  ≥ −   + ≥  ↔ ↔ ≥ −   + ≥   ≥ −   . Ta có: 6 1 4 4 2 1 2 1x x x+ = + + + + 2 1 1x x↔ + = − 2 1 2 1 2 1 x x x x  ≥  ↔  + = − +   2 1 4 0 x x x  ≥  ↔  − =   ( ) 0 0 4 x x loại x  ≥   ↔ =    =    Đs: 4x = Dạng 4: Các cách giải đặc biệt: Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 3 12 14 2x x− + + = . HD: Đặt 3 3 12 14 u x v x  = −   = +   3 3 3 3 12 26 14 u x u v v x  = −  ↔ → + =  = +   . Ta có hệ phương Pt: ( ) ( ) 3 3 3 2 2 26 3 26 u v u v u v u v uv u v  + =  + =   ↔   + = + − + =     2 2 8 6 26 3 u v u v uv uv   + = + = ↔ ↔   − = = −   , ,u v là nghiệm Pt: 2 2 3 0t t− − = 1 3 t t  = − ↔  =  1 3 3 1 u u hoặc v v   = − = ↔   = = −   i) 3 3 1 12 1 13 3 14 3 u x x v x   = − − = −  ↔ ↔ =   = + =    ii) 3 1 u v  =  = −  3 3 12 3 15 14 1 x x x  − =  ↔ ↔ = −  + = −   . Vậy phương trình có hai nghiệm 13; 15x x= = − . Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 3 3 1 2 2 3x x x− + − = − HD: Đặt 3 3 3 1 2 2 3 u x v x w x  = −   = −   = −   , Ta có hệ Pt: 3 3 3 u v w u v w  + =   + =   ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 1 2 u v uv u v v w u v w  + + + =  ↔  + =   thay 3 w vào (1) ta được: ( ) 3 0 3 0 0uv u v uvw u v w+ = ↔ = ↔ = = = Ta được: 3 3 3 1 0 1 2 0 2 3 2 3 0 2 x x x x x x   − =  =    − = ↔ =     − =   =   là nghiệm Pt đã cho. Chú y: Ví dụ 4, 5 ta scó thể giải bằng phương pháp bình phương hai vế. Ví dụ 6: Giải phương trình: 3 1 1 1 2 2 x x+ + − = HD: Đặt 3 1 2 1 , 0 2 u x v x v  = +     = − ≥   3 2 1 1 u v u v + =  →  + =  ( ) 2 3 1 1u u→ + − = 3 2 0 2 0 1 2 u u u u u u =   ↔ + − = ↔ =   = −  - 3 1 0 0 1 2 1 2 1 1 2 x u x v x  + =  =   → ↔ = −   =   − =   - 3 1 1 1 1 2 0 2 1 0 2 x u x v x  + =  =   → ↔ =   =   − =   - 3 1 2 2 17 2 3 2 1 3 2 x u x v x  + = −  = −   → ↔ = −   =   − =   Vậy phương trình có 3 nghiệm 1 1 17 ; ; 2 2 2 S   = − −     . Ví dụ 7: Giải phương trình: 3 7 1x x+ = + (CĐ XÂY DỰNG SỐ 3 – 2002) HD: Đặt 3 3 2 1 7 7 , 0 u v u x u v v x v  − = = +   →   − = = ≥    ( ) 2 3 1 7u u↔ − − = 3 2 2 8 0u u u ↔ − + − = ( ) ( ) 2 2 4 0 2u u u u↔ − + + = ↔ = 1v→ = . - 3 2 7 2 1 1 1 u x x v x  = + =   → ↔ =   = =    Ví dụ 8: Giải phương trình: 6 2 3 3 1 1 1x x x+ − − = − . HD: Đặt ( ) 3 3 3 3 1 . 0 2 1 u x u v uv u v u v v x   = + − =   → ≥   − = = −     ( ) ( ) 3 3 2u v uv u v→ − + − = ( ) 3 3 2uv uv uv↔ + = ( ) 3 4 2uv↔ = ( ) 3 1 4 uv↔ = 2 1 1 4 x→ − = 5 2 x↔ = ± Vậy nghiệm Pt: 5 2 x = ± . Ví dụ 9: Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 6 3 6 3x x x x− + + − − + = . HD: Đặt: 3 3 3 6 u x v x  = −   = +   2 2 3 3 3 9 u v uv u v  + − =  →  + =     = = ↔   = =   1 2 2 1 u u hoặc v v -   = − =  → ↔ =   = + =    3 3 1 3 1 2 2 6 2 u x x v x . -   = − =  → ↔ = −   = + =    3 3 2 3 2 5 1 6 1 u x x v x . Vậy nghiệm Pt: = = − 2; 5x x . Ví dụ 9: Giải phương trình: + − + =3 1 2 1x x x . HD: Đặt ( )  = +  ≥  = +   3 1 ; 0 2 1 u x u v v x  − = − =  →  + = +   2 2 2 2 5 2 u v u v x u v x ( ) ( )  − = −  ↔  + = − +   2 2 2 2 2 2 5 2 1 u v u v u v u v ( ) ( ) ↔ − + − =1 0u v u v   − = = ↔   + = = −   0 1 1 u v u v u v u v - = → + = + ↔ =3 1 2 1 0u v x x x - = −1u v thay vào (1): − + = 2 2 2 3 1 0u v ( ) ↔ − − + = 2 2 2 1 3 1 0v v ↔ + − = 2 4 3 0v v ( )  = − +  ↔  = − −  2 7 2 7 v v loại +  = −   = −   3 7 7 2 u v  + = −  →  + = −   3 1 3 7 2 1 7 2 x x ↔ = −5 2 7x . Vậy nghiệm Pt: { } = −0;5 2 7S Ví dụ 9: Giải phương trình: ( ) + + + = + + + − 2 2 3 1 3 2 2 5 3 16 *x x x x x (ĐH QP KHỐI D – 2002) HD: Đặt ( ) = + + + >2 3 1 0t x x t ( ) ( ) ( ) ( ) → = + + + + + + 2 2 3 1 2 2 3 1t x x x x ↔ − = + + + − 2 2 20 3 2 2 5 3 16t x x x Thay vào (*) − − = 2 20 0t t ( )  = − ↔  =   4 5 t loại t - = ↔ + + + =5 2 3 1 5t x x Đs: = 3x . Ví dụ 10: Giải phương trình: + = − 3 3 1 2 2 1x x (*) HD: Đặt = − → + = 3 3 2 1 1 2t x t x thay vào (*) ta được: + = 3 1 2x t Ta có hệ phương trình:  + =  → =  + =   3 3 1 2 1 2 x t x t t x . Ta có: + = 3 1 2x x ↔ − + = 3 2 1 0x x ( ) ( ) ↔ − + − = 2 1 1 0x x x  =  ↔ − ±  =   1 1 5 2 x x Vậy nghiệm Pt:   − ±   =       1 5 1; 2 S . Ví dụ 11: Giải phương trình: ( ) − + = + + 2 2 4 1 1 2 2 1x x x x HD: Đặt: ( ) = + ≥ → = − 2 2 2 1 1 1t x t x t Ta được: ( ) ( ) − = − + + 2 4 1 2 1 2 1x t t x ( ) ↔ − − + − = 2 2 4 1 2 1 0t x t x  =  ↔  = −   1 2 2 1 t t x Vì ≥ → = −1 2 1t t x ↔ + = − 2 1 2 1x x ( )   ≥ ≥   ↔ ↔     − = + = −   2 2 2 1 1 2 2 3 4 0 1 2 1 x x x x x x ( )  ≥     = ↔      =     1 2 0 4 3 x x loại x Nghiệm Pt: = 4 3 x Ví dụ 12: Giải phương trình: ( ) ( ) + − = + − 2 2 1 1 1 2 1 *x x x HD: Đk: − ≥ ↔ − ≤ ≤ 2 1 0 1 1x x Đặt π π α α   = ∈ −     sin , ; 2 2 x , α ≥cos 0 Ta được: ( ) α α α + − = + − 2 2 1 1 sin sin 1 2 1 sin ( ) α α α ↔ + = +1 cos sin 1 2cos α α α α ↔ = + 2 2cos sin 2sin .cos 2 α α α ↔ = 3 2 cos 2sin cos 2 2 2 α α   ↔ − =  ÷   3 2 cos 1 2 sin 0 2 2 Vì π π α π π α α     ∈ − → ∈ − → >         ; ; cos 0 2 2 2 4 4 2 . Do đó: ( ) α π π α α π π  = +  = ↔ ∈∈  = +   ¢ 3 .2 3 2 2 4 sin 2 2 3 3 .2 2 4 k k k π α π α  =   ↔  =   6 2  =  ↔  =   1 2 1 x x . Vậy nghiệm Pt: = = 1 1; 2 x x . BÀI TẬP RÈN LUYỆN. Giải các phương trình sau: 1. 1 4 1x x+ − − = . (ĐH MỀN BẮC 1985) HD: Đặt ( ) 1 ; 0 4 u x u v v x  = +  ≥  = −   . Đs: 3x = Ta có thể giải bằng cách bình phương hai vế. 2. 3 3 34 3 1x x+ − − = . (BỘ ĐỀ SỐ 62) HD: 3 3 34 3 u x v x  = +   = −   . Đs: 30x = . 3. 3 3 3 2 1 16 2 1x x x− = − + . (BỘ ĐỀ SỐ 98) HD: Lập phương hai vế. Đs: 1 2 3 3 0; ; 2 2 2 x x x ± + = = ± = 4. ( ) ( ) 3 6 3 6 3x x x x+ + − − + − = . (BỘ ĐỀ SỐ 109) HD: Đặt 3 6t x x= + + − .Đk: 3 2 3 2t− ≤ ≤ Có thể đặt: ( ) 3 ; 0 6 u x u v v x  = +  ≥  = −   . Đs: 3; 6x x= − = . 5. 3 3 3 1 2 2 3x x x− + − = − . (BỘ ĐỀ SỐ 163) HD: Lập phương 2 vế. Có thể đặt: 3 3 3 1 2 2 3 u x v x w x  = −   = −   = −   Đs: 3 1; 2; 2 x x x= = = . 6. 2 3 2 1 3 2 x x x x − − = − − . (BỘ ĐỀ SỐ 174) HD: Đk: 2 3 x > . Biến đổi Pt về ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 2 0x x x x− − + − − = . Đs: x = 1. 7. 3 2 1 2 1 2 x x x x x + + − + − − = . (BỘ ĐỀ SỐ 188) HD: Đặt ( ) 1 0t x t= − ≥ . Đs: 1; 5x x = = . 8. 2 2 1 1 1 2 x x x x+ + − − + = − . (BỘ ĐỀ SỐ 192) HD: Bình phương hai vế. Đs: 5 4 x − = . 9. ( ) 3 3 3 3 35 35 30x x x x− + − = . (ĐH BK HN 1991) Đs: 2; 3x x = = . 10. 2 2 3 3 5x x x+ − − = − (ĐH BK HN 1994) HD: Bình phương hai vế. Có thể đặt ( ) 2 2 3 ; ; 0 3 5 u x v x u v w w x  = +   = − ≥   = −   .Đs: 2x = . 11. 2 1 1x x+ + = . (ĐH XÂY DỰNG HN 1998) HD: Đặt ( ) 1 0t x t= + ≥ . Đs: 1 5 1; 0; 2 x x x − = − = = 12. 4 4 18 1 3x x− + − = . (ĐH KIẾN TRÚC HN 1995) HD: ( ) 4 4 18 ; 0 1 u x u v v x  = −  ≥  = −   . Đs: 2; 17x x= = . 13. 5 3 2 4x x x− + + = + . (ĐH HÀNG HẢI 1998) HD: Bình phương hai vế. Đs: 6x = . 14. 2 1 2 1 2x x x x+ − − − − = . (ĐH BCVT 2000) HD: Đặt ( ) 1 0t x t= − ≥ . Đs: 2x ≥ 15. 3 4 2 1 3x x x+ − − = + . (HV NGÂN HÀNG HN 1998). HD: Bình phương hai vế. Đs: 5 57 4 x − + = 16. 2 4 2 2x x x− + + = (HV NGÂN HÀNG TPHCM 1999) HD: Bình phương hai vế. Đs: 2x = 17. 2 2 1 1 3 x x x x+ − = + − (HV NGÂN HÀNG HN 2000) HD: Đặt ( ) ; 0 1 u x u v v x  =  ≥  = −   . Đs: 0; 1x x = = 18. 3 3 1x x+ − = . (ĐH NGOẠI THƯƠNG HN 1996) HD: Đặt ( ) 3 3 0 u x u v x  = +  ≥  =   . Đs: 1; 2 2x x= = . 19. 2 2 3 2 1x x x x− + − + − = . (ĐH NGOẠI THƯƠNG HN 1999) HD: Bình phương hai vế Có thể đặt ( ) 2 2 3 ; 0 2 u x x u v v x x  = − +  ≥  = + −  .Đs: 1 5 2 x ± = 20. 5 1 3 2 1 0x x x− − − − − = . (ĐH KT QUỐC DÂN HN 2000) HD: Bình phương hai vế. Đs: 2x = . 21. 2 2 3 3 3 6 3x x x x− + + − + = (ĐH THƯƠNG MẠI HN 1998) HD: Đặt ( ) 2 2 3 3 ; 0 3 6 u x x u v v x x  = − +  ≥  = − +  Có thể đặt ( ) 2 3 3 0t x x t= − + ≥ . Đs: 1; 2x x= = 22. 3 2 1 1x x− = − − (ĐH TÀI CHÍNH KẾ TOÁN HN 2000) HD: Đặt ( ) 3 2 0 1 u x v v x  = −  ≥  = −   . Đs: 1; 2x x= = . 23. ( ) ( ) 3 3 3 2 7 2 7 3x x x x− + + − − + = (ĐH Y HẢI PHÒNG 2000) HD: Đặt 3 3 2 7 u x v x  = +   = +   . Đs: 6; 1x x= − = 24. ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1x x x x x− + − = − − .(ĐH DƯC HN 1998) HD: Đặt ( ) 2 2 1 0t x x t= + − ≥ . Đs: 1 6x = − ± . 25. 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − + (HV KỸ THUẬT QUÂN SỰ 1999) HD: Đặt ( ) 3 2 1 0t x x t= − + − ≥ . Đs: 3x = 26. 2 2 2 8 6 1 2 2x x x x+ + + − = + (HV KHOA HỌC QUÂN SỰ 1999) HD: Biến đổi Pt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 1 1 2 1x x x x x+ + − − + = + Đs: 1; 1x x= − = 27. ( ) 2 2 1 1 0x x x x x x− − − − + − = (HV KỸ THUẬT QUÂN SỰ 2000) HD: Biến đổi Pt: ( ) 1 1 1 1 1 0x x x x     − − − − − − =       Đs: 2x = . 28. 2 2 11 31x x+ + = . (ĐH CẢNH SÁT ND 1999) HD: Đặt ( ) 2 11 11t x t= + ≥ . Đs: 5; 5x x = − = . 29. 2 2 6 12x x+ − = (ĐH VĂN HÓA HN 1998) HD: Đặt ( ) 2 6 0t x t= − ≥ . Đs: 10; 10x x= − = 30. 3 7 1x x+ − = (ĐH LUẬT HN 1996) HD: Đặt ( ) 3 7 0 u x v v x  = +  ≥  =   . Đs: 1x = 31. 4 2 1 4x x+ = + + (ĐH CÔNG ĐOÀN 1997) HD: Xét hai trường hợp ( ) 1 1 1 1 1 x nếu x x x nếu x  + ≥ −  + =  − + < −   Đs: 1; 7x x= − = . 32. 2 2 5 1 2x x x− + + − = (ĐH NN HN 1999) HD: ( ) 2 1 4 1 2x x− + + − = . Đs: 1x = 33. 3 3 3 2 3 2x x− + = (ĐH TỔNG HP HN 1994) HD: Đặt 3 2 3y x= + . Đs: 1; 2x x = − = 34. 3 3 2 1 1 2 1 2 2 x x x + + = + . (ĐH QG HN 1995) HD: Đặt 3 2 1 x t x = + . Đs: 1x = . 35. 2 7 4 4 2 x x x x + + = + (ĐH DL ĐÔNG ĐÔ 2000) HD: Đặt ( ) 0t x t= ≥ . Đs: 1; 4x x = = . 36. ( ) ( ) 2 1 2 2x x x x x− + + = .(ĐH SP HN 2000) HD: Biến đổi Pt: ( ) 1 2 2 0x x x x− + + − = . Đs: 9 0; 8 x = 37. ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2x x x x+ − = + − (ĐH CẦN THƠ 1998 KB) HD: Đặt ( ) ( ) ( ) 1 2 0t x x t= + − ≥ . Đs: 1 2 x = 38. 2 9 9 9x x x x+ − = − + + (ĐH Y DƯC TPHCM 1997) HD: Đặt 9t x x= + − . Đk: 3 3 2t≤ ≤ . Đs: 0; 9x x = = 39. 2 2 1 1 2 2 4x x x x   − + − = − +  ÷   (ĐH NGOẠI THƯƠNG 96) HD: Biến đổi 2 2 1 1 2 2 4x x x x + − + + − = . Đs: 1x = 40. 2 2 15 3 2 8x x x+ = − + + ((ĐH NGOẠI THƯƠNG 97) HD: Biến đổi 2 2 15 8 3 2x x x+ − + = − . Đs: 1x = 41. ( ) ( ) 2 5 2 3 3x x x x+ − = + (ĐH NGOẠI THƯƠNG 2000) HD: Đặt ( ) 2 3 0t x x t= + ≥ . Đs: 4; 1x x= − = . 42. 3 3 34 3 1x x+ − − = (ĐH SP TPHCM 1995) HD: Đặt 3 3 35 3 u x v x  = +   = −   . Đs: 20 453 16 9 x = − + 43. 2 2 2 5 2 2 2 5 6 1x x x x+ + − + − = (ĐH SP TPHCM 2000) HD: Đặt ( ) 2 2 5 2 0t x x t= + + ≥ Có thể đặt ( ) 2 2 2 5 2 ; 0 2 5 6 u x x u v v x x  = + +  ≥  = + −  . Đs: 7 1; 2 x x= − = 44. 2 3 1 2 1 2 1 x x x − = − − (ĐH QG TPHCM 1998) Đs: 2 3 x = 45. 6 1 2 1 2x x+ − + = (ĐH QG TPHCM 2000) HD: Bình phương hai vế. Đs: 4x = . 46. ( ) 2 2 1 1 1 1 x x x x x + + = − − − (ĐH DL NN TPHCM 1998) HD: Bình phương hai vế. Đs: 0x = 47. 2 2 26 26 11x x x x+ − + − = (ĐH DL NN TPHCM 2000) HD: 2 26t x x= + − . 2 13 26t− ≤ ≤ . Đs: 1x = . Có thể đặt 2 26t x= − . 48. 2 2 12 30x x+ + = (ĐH DL LẠC HỒNG 2000) HD: Đặt ( ) 2 12 12t x t= + ≥ . Đs: 2 6x = ± . 49. 4 4 4 6x x x x+ − + + − = (CĐ HẢI QUAN TPHCM 99) HD: Đặt ( ) 4 0t x t= − ≥ . Đs: 4x = 50. 4 4 8 89 5x x− + + = (CĐ GIAO THÔNG 2000) HD: Đặt ( ) 4 4 8 ; 0 89 u x u v v x  = −  ≥  = +   . Đs: 73; 8x x = − = − 51. 2 2 2 1 1 4x x x+ + + − + = (ĐH KHỐI D – 2005) HD: Đặt ( ) 1 0t x t= + ≥ . Đs: 3x = . 52. ( ) ( ) 1 8 1 8 3x x x x+ + − + + − = (ĐH KINH TẾ QUỐC DÂN 1998) HD: Đặt 1 8t x x= + + − . 3 2 3 2t− ≤ ≤ . Có thể đặt ( ) 1 ; 0 8 u x u v v x  = +  ≥  = −   Đs: 1; 8x x = − = 53. 2 4 4 2 12 2 16x x x x+ + − = − + − (DỰ BỊ KHỐI D – 2002) HD: Đặt ( ) 4 ; 0 4 u x u v v x  = +  ≥  = −   . Đs: 5x = . 54. 3 3 5 2 4x x x− − − = − (DỰ BỊ KHỐI D – 2005) HD: Bình phương hai vế. Có thể đặt ( ) 3 3 5 ; ; 0 2 4 u x v x u v w w x  = −   = − ≥   = −   . Đs: 2; 4x x= = 55. ( ) 2 3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2 x .− + − = − + − + ∈¡ (DỰ BỊ KHỐI B 2006) HD: Đặt: 3 2 1t x x= − + − Có thể đặt ( ) 3 2 ; 0 1 u x u v v x  = −  ≥  = −   .Đs: 9 10 2 x = − . 56. ( ) 2 x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1 x .+ − = − + − + − + ∈ ¡ (DỰ BỊ KHỐI D – 2006) HD: Biến đổi Pt: 1 7 1 2 0x x x     − − − − − =     Đs: 4; 5x x = = . II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN. 1. Bất phương trình chứa căn cơ bản. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1. 0 f x f x g x g x f x g x  ≥   < ↔ >   <   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2. 0 f x g x f x g x g x f x g x   ≥     <    > ↔   ≥     >    Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ( ) 2 1 2 3 1x x− < − HD: ( ) ( ) 2 2 1 0 1 2 3 0 2 1 2 3 x x x x  − ≥   ↔ − >   − < −   2 1 2 3 2 2 1 4 12 9 x x x x x  ≥    ↔ >    − < − +   2 1 2 3 2 2 7 5 0 x x x x  ≥    ↔ >    − + >   1 2 3 2 5 1 2 x x x x  ≥    ↔ >    < ∨ >   5 2 x↔ > Nghiệm bất phương trình 5 ; 2 S   = + ∞  ÷   Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2 1 2x x− > − (2) HD: ( ) ( ) 2 2 1 0 2 0 2 2 0 2 1 2 x x x x x   − ≥   − <   ↔   − ≥     − > −     2 1 2 2 2 2 1 4 4 x x x x x x   ≥      >   ↔   ≤     − > − +    2 2 2 6 5 0 x x x x  >   ≤ ↔     − + <    2 2 2 1 2 1 5 x x x x x  >  >  ↔ ↔  ≤   < ≤    < <   1x↔ > Nghiệm bất phương trình ( ) 1;S = +∞ . Khi giải bất phương trình chứa nhiều căn thì đặt điều kiện để cho các căn có nghóa và bình phương hai vế. Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 1 3 1 2 x x− − + > (3) HD: ( ) 1 3 3 1 2 x x↔ − > + + . Đk: 3 0 1 0 x x  − ≥  + ≥  3 1 x x  ≤ ↔  ≥ −  1 3x↔ − ≤ ≤ . Ta có: 1 3 1 1 4 x x x− > + + + + 7 1 2 4 x x↔ + < − 2 7 1 8 7 1 2 4 x x x  − ≤ ≤   ↔     + < −  ÷     2 7 1 8 33 4 8 0 16 x x x  − ≤ ≤   ↔   − + >   31 1 1 8 x↔ − ≤ < − . Nghiệm BPT: 31 1;1 8 S   = − − ÷  ÷    . Ví dụ 4: Giải bất phương trình: ( ) 1 2 3 4x x x− − − > − . HD: ( ) 4 1 3 2x x x↔ − > − + − . Đk: 3x ≥ . Ta có ( ) ( ) 1 3 2 2 2 3x x x x x− > − + − + − − ( ) ( ) 2 2 3 4x x x↔ − − < − ( ) ( ) ( ) 2 3 4 4 2 3 4 x x x x  ≤ <  ↔  − − < −   2 3 4 3 12 8 0 x x x  ≤ <  ↔  − + <   3 4 2 3 2 3 2 2 3 3 x x  ≤ <  ↔  − < < +   2 3 3 2 3 x↔ ≤ < + . Nghiệm BPT: 2 3 3;2 3 S   = + ÷  ÷    . 2. Đặt ẩn phụ: Phương pháp giải tương tự như phương trình. Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 2 2 2 3 4 2 3 2x x x x+ + > + − HD: Đặt ( ) 2 2 3 4 0t x x t= + + ≥ 2 2 2 3 4x x t→ + = − Ta được 2 2 4 2 6 0t t t t> − − ↔ − − < 2 3t− < < kết hợp đk ta được 0 3t≤ < 2 0 2 3 4 3x x→ ≤ + + < 2 2 3 4 9x x↔ + + < 2 5 2 3 5 0 1 2 x x x↔ + − < ↔ − < < . Tập nghiệm BPT: 5 ;1 2 S   = −  ÷   . BÀI TẬP RÈN LUYỆN. Giải các bất phương trình sau: 1. 9 5 2 4x x+ > − + (ĐH MIỀN BẮC 1983) HD: Biến đổi: 9 2 4 5x x+ + + > . Đặt đk và bình phương hai vế. Đs: ( ) 0;S = + ∞ . 2. 1 6 1x x x+ + < − (ĐH SP TPHCM 1995) HD: Bình phương hai vế. Đs: 5 13 ; 6 S   + = + ∞  ÷  ÷   . 3. 2 2 2 3 2 4 3 2 5 4x x x x x x− + + − + ≥ − + (BỘ ĐỀ SỐ 58) HD: Đặt đk . Biến đổi BPT về: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 2 1 4 0x x x x x x− − + − − − − − ≥ Đs: ( ) ; 1 4;S  = −∞ − ∪ + ∞   . 4. ( ) 2 2 3 4 9x x x− − ≤ − (BỘ ĐỀ SỐ 61) HD: Xét ba trường hợp: 3; 3; 3x x x = > < . Đs: ) 13 ; 3; 6 S   = −∞ − ∪ + ∞      5. 2 1x x x+ − + < (BỘ ĐỀ SỐ 72) HD: Biến đổi: 2 1x x x+ < + + , đặt đk và bình phương hai vế. Đs: 2 3 1 ; 3 S   = − + + ∞  ÷  ÷   6. 4 2 2 1 1x x x− + ≥ − (BỘ ĐỀ SỐ 74) HD: ( ) 2 2 1 1x x− ≥ − 2 1 1x x↔ − ≥ − . Đs: ( ) ; 2 1;S  = −∞ − ∪ +∞   7. 2 2 6 1 2 0x x x− + − + > (BỘ ĐỀ SỐ 78) HD: Biến đổi 2 2 6 1 2x x x− + > − . Đs: ( ) 3 7 ; 3; 2 S   − = −∞ ∪ + ∞       8. 5 1 5 2 4 2 2 x x x x + < + + (BỘ ĐỀ SỐ 86) HD: Đặt 1 2 t x x = + . Đs: 6 4 2 6 4 2 0; ; 4 4 S     − + = ∪ + ∞  ÷  ÷  ÷  ÷     . 9. ( ) ( ) ( ) 2 2 4 1 2 10 1 3 2x x x+ < + − + (BỘ ĐỀ SỐ 99) HD: Đk: 3 1 2 x− ≤ ≠ − , Biến đổi: ( ) ( ) ( ) 2 2 4 1 2 10 1 3 2 x x x + < + − + 3 2 3x↔ + < . Đs: { } 3 ;3 \ 1 2 S   = − − ÷    10. ( ) ( ) 2 4 6 2 12x x x x+ − ≤ − − (BỘ ĐỀ SỐ 119) HD: Đặt ( ) ( ) 4 6t x x= + − ( ) 0t ≥ . Đs: 4; 3 5;6S    = − − ∪     11. 2 2 1 3 1 1 1 x x x > − − − (BỘ ĐỀ SỐ 136) HD: Đk: 1 1x− < < , biến đổi: ( ) 2 2 1 3 1 1x x x> − − − 2 2 2 3 1x x x↔ − > − . Đs: 2 2 1; ;1 2 5 S     = − ∪  ÷  ÷  ÷     12. 2 1 1 2 4 x x x+ + − ≤ − (BỘ ĐỀ SỐ 156) HD: Đk: 1 1x− ≤ ≤ , bình phương hai vế. Đs: 1;1S  = −   13. ( ) 2 1 3 2 3 2 2x x x x− + − ≥ − + − (BỘ ĐỀ SỐ 159) HD: Ta có: ( ) 2 1 3 1 1 1 3 BĐT x x x x    − + − ≤ + − + −       = ( ) 2 2 3 2 2x x= − + − . Đs: 5x = . 14. 1 1x x x+ − − ≤ (BỘ ĐỀ SỐ 180) HD: Đk 1 1x− ≤ ≤ , Biến đổi ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1x x x x x x x+ − − + + − ≤ + + − ↔ ( ) 2 1 1x x x x↔ ≤ + + − (*) Ta có: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2x x x x+ + − ≤ + + + − = Do đó (*) 0x↔ ≤ . Kết hợp ta được: 1 0x− ≤ ≤ . 1;0S  = −   15. 2 2 5 10 1 7 2x x x x+ + ≥ − − (BỘ ĐỀ SỐ 185) HD: Đặt ( ) 2 5 10 1 0y x x y= + + ≥ . Đs: ( ) ; 3 1;S  = −∞ − ∪ + ∞   . 16. 1 2 3 1 x x x x + − > + (BỘ ĐỀ SỐ 191) HD: Đặt 1x t x + = . Đs: 4 ; 1 3 S   = − −  ÷   . 17. ( ) ( ) 2 4 4 2 2 12x x x x− − + ≤ − − (BỘ ĐỀ SỐ 191) HD: Đặt ( ) ( ) ( ) 4 2 0t x x t= − + ≥ . Đs: 1 5x = ± 18. 1 3 4x x+ > − + (ĐH BÁCH KHOA HN – 1995) HD: Biến đổi 1 4 3x x+ + + > , đk, bình phương hai vế. Đs: ( ) 0;S = + ∞ 19. 2 2 2 3 1 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + ≤ + + (ĐH BÁCH KHOA HN – 2000) HD: Giải tương tự bài 2. Đs: 1; 5x x= − = − . 20. 2 1 2 1 2 2x x x− + + ≥ − (ĐH XÂY DỰNG HN 1992) HD: Đk: 1 1 2 2 x− ≤ ≤ , bình phương hai vế. Đs: 0x = . 21. 2 3 4 2 2 x x x − + − + < (ĐH XÂY DỰNG HN 1997) HD: Đk: 4 1 , 0 3 x x− ≤ ≤ ≠ . Xét hai trường hợp 1 0x− ≤ < và 4 0 3 x< ≤ . Đs: ) 9 4 1;0 ; 7 3 S   = − ∪      . 22. 7 1 3 18 2 7x x x+ − − ≤ + (ĐH MĨ THUẬT CN 1998) HD: Biến đổi 7 1 2 7 3 18x x x+ ≤ + + − , đặt đk và bình phương hai vế. Đs: [ ) 9;S = + ∞ 23. ( ) ( ) 1 4 2x x x+ − > − (ĐH MỎ ĐỊA CHẤT 2000) Đs: 7 1; 2 S   = − ÷    . 24. 3 2 1 2 1 2 x x x x+ − + − − > (HV NGÂN HÀNG HN 99) HD: Đặt 2 0t x= − ≥ . Đs: [ ) 1;S = +∞ . 25. 3 2 8 7x x x+ ≥ − + − (ĐH NGOẠI THƯƠNG HN 2000) HD: Đk và bình phương hai vế. Đs: [ ] [ ] 4;5 6;7S = ∪ . 26. 2 1 4 2 2 2 x x x x + < + + (ĐH THỦY LI 1996) HD: Đặt 1 t x x = + . Đs: 3 2 2 3 2 2 0; ; 2 3 S     − + = ∪ + ∞  ÷  ÷  ÷  ÷     27. 2 51 2 1 1 x x x − − < − (ĐH TÀI CHÍNH KẾ TOÁN HN – 97) HD: Xét hai trưởng hợp, Đs: ) ) 1 2 13; 5 1 2 13;S   = − − − ∪ − + + ∞   28. 1 1 2 3 x x x x − − − ≥ (ĐH MỞ HN 1999) HD: Đặt 1x t x − = . Đs: 1 ;0 8 S   = − ÷    29. 2 2 2 8 15 2 15 4 18 18x x x x x x− + + + − ≤ − + (ĐH DƯC HN 2000) HD: Đặt đk và đưa về tích. Đs: ( ] 17 ; 5 5; 3 S   = −∞ − ∪     . 30. 4 1 2x x− − > − (HV QUÂN Y 2000) HD: Đặt đk và bình phương hai vế. Đs: 5 13 ;1 2 S   − + =      . 31. 3 2 8 7x x x+ ≥ − + − (ĐH AN NINH 1997) HD: Đặt đk và bình phương hai vế. Đs: [ ] [ ] 4;5 6;7S = ∪ 32. 5 1 4 1 3x x x+ − − ≤ (ĐH AN NINH 1999) Đs: 1 ; 4 S   = + ∞ ÷    . 33. 2 6 5 8 2x x x− + − > − (ĐH QUỐC GIA HN 1997) Đs: [ ] 3;5S = . 34. 2 1 1x x+ ≥ + (ĐH QUỐC GIA HN 1997 –KHỐI A) Đs: ( ] ;0S = −∞ . 35. 3 2 1 5x x− + + ≤ (ĐH DL THĂNG LONG 1998) HD: Đặt đk và bình phương hai vế. Đs: 2 ;2 3 S   =     36. 7 13 7 11 14 1x x x+ − − ≥ + (ĐH DL ĐÔNG ĐÔ 2000) HD: Đặt đk và bình phương hai vế. Đs: 11 1 577 ; 7 7 14 S   = − +     37. ( ) 2 2 2 2 1 0x x x+ − − < (CĐ SP NT2000) HD: 2 2 2 1 0 2 0 x x x  − >   + − >   . Đs: 2 2 2; ;1 2 2 S     = − − ∪  ÷  ÷  ÷  ÷     38. 2 1 1 2 1 2 3 5 x x x > − + − (ĐH SP VINH 1999) HD: Đk 2 5 2 3 5 0 1 2 x x x x+ − > ↔ < − ∨ > . Đs: 3 5 1 ; 2; 2 2 x x x< < > < − . 39. 2 3 2 3x x x− + > + (ĐH SP VINH 1999-KHỐI D) Đs: 7 ; 9 S   = −∞ −  ÷   40. 5 4 5 4 4x x− + + ≥ (ĐH QUI NHƠN 2000) HD: Bình phương hai vế. Đs: [ ] 0;1S = 41. 2 1 2 3x x x+ − − ≥ − (ĐH THỦY SẢN TPHCM 1999) HD: Đặt đk và bình phương hai vế. Đs: 3 ;2 2 S   =     42. 6 1 2 5x x x+ > + + − (ĐH DL-KT-CN THHCM 2000) HD: Đặt đk và bình phương hai vế. Đs: 5 ;3 2 S   = ÷    43. 3 3 1 1 3 10 x x x < + − + (HK VIẾT NAM -1997) HD: Biến đổi 3 3 3 10 3 1 1 x x x x < + + + , xét hai trường hợp: 0x < và 0x > . Đs: ( ) 0;5S = 44. 5 1 1 2 4x x x− − − > − (ĐH KHỐI A – 2005) HD: Đặt đk và bình phương hai vế. Đs: [ ) 2;10S = 45. ( ) 2 2 16 7 3 3 3 x x x x x − − + − > − − (ĐH KHỐI A – 2004) HD: Đặt đk. Đs: 10 34x > − . 46. ( ) 2 2 3 2 3 1 0x x x x− − − ≥ (ĐH KHỐI – D 2002) HD: 2 2 2 2 3 2 0 2 3 2 0 3 0 x x x x x x  − − =    − − >     − ≥    . Đs: 1 ; 2; 3 2 x x x< − = ≥ . 47.