ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 HỌC KỲ II GIỚI HẠN HÀM SỐ GIỚI HẠN HÀM SỐ 0 0 lim ( ) ( )f x L hay f x L khi x x x x = → → → 1)ĐN : 2)Giới hạn một bên:( bên phải; bên trái) • 0 0 lim ( ) ; lim ( )f x L f x L x x x x + − = = → → 3) 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) o f x L f x f x L x x x x x x + − = ⇔ = = → → → 0 4) lim ( )c c constant x x = → 5)Đònh nghóa 3:(sgk) + lim ( )f x L x = →+∞ hay ( )f x L→ khi x → +∞ + lim ( )f x L x = →−∞ hay ( )f x L→ khi x → −∞ 6).Giới hạn vô cực: • Đònh nghóa 4 :(sgk) lim ( )f x x = −∞ →+∞ hay ( )f x → −∞ Khi x → +∞ • Nhận xét : lim ( ) lim ( ( ))f x f x x x = +∞ ⇔ − = −∞ →+∞ →+∞ 7).Một vài giới hạn đặc biệt: a/ lim k x x = +∞ →+∞ với k nguyên dương b/ lim k x x = −∞ →−∞ nếu k là số lẻ c/ lim k x x →−∞ = +∞ nếu k là số chẵn 8) ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN CỦA H/S: *ĐL: :nếu ax→ lim f(x)=L và ax→ lim g(x)=M thì: ax→ lim [f(x)±g(x)]=L±M; ax→ lim ( ) ( ) f x L g x M = ( M≠0); ax→ lim ( )f x L= ( L≥0) *ĐL :Cho 3 hàm số f(x), g(x), h(x) xác đònh trên 1 khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a). Nếu với mọi điểm của khoảng đó :g(x)≤ f(x)≤ h(x) và ax→ lim h(x)= ax→ lim g(x)=M thì ax→ lim f(x)=M * ĐL :+Nếu ax→ lim f(x)=0 và f(x)≠0 với mọi x đủ gần a thì ax→ lim ( ) C f x = ± ∞ +Nếu ax→ lim f(x)= ± ∞ thì ax→ lim ( ) C f x = 0 9)P.PHÁP TÍNH GIỚI HẠN: 1)Dạng 1:Khi x → a,a + ,a - : ax→ lim f(x)=A ? Thế x=a vào ta được: • Kết qủa là số thì A= số • Kết qủa là 0 số thì A= ± ∞ • Kết qủa là 0 số thì A= 0 2)Dạng 2:Khi x → ± ∞: lim x→±∞ f(x)=? *Sử dụng như PP tính giới hạn của dãy số và chú ý khi đưa vào căn bậc hai: x= 2 x nếu x → +∞ x=- 2 x nếu x → -∞ 3)CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH: a) o o :Phân tích tử;mẫu thành nhân tử bằng p 2 dùng +HĐT: A 2 -B 2 = (A+B)(A-B); ĐẶT NTC + Nhân liên hiệp nếu chứa căn + ax 2 +bx+c = a(x-x 1 )(x-x 2 )…… b) ∞ ∞ : Đặt x k (với k là số mũ cao nhất ở cả tử và mẫu) làm NTC cho cả tử và mẫu sau đó áp dụng : lim C n α = 0 với α >0 c) 0. ∞ : *CHÚ-Ý: sin tan lim 1 ; lim 1 x x x o x o x x = = → → d) ∞−∞ : 2 3 3 3 2 2 3 ; A B A B A B A B A B A AB B − ± ± = ± = + m m (liên hiệp) I/HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM: a)Đònh nghóa: Cho hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a,b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x o ∈ (a,b) nếu ( ) ( ) lim f x f x o x x o = → . -Nếu tại điểm x o hàm số f(x) không liên tục thì gián đoạn tại điểm x O và gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x). *Liên tục phải-liên tục trái: -Hàm số f(x) liên tục bên phải x O khi và chỉ khi hàm số f(x) xác đònh tại x O và ( ) ( ) lim f x f x o x x o = + → -Hàm số f(x) liên tục bên trái x O khi và chỉ khi hàm số f(x) xác đònh tại x O và ( ) ( ) lim f x f x o x x o = − → -Vậy hàm số f(x) liên tục tại x O khi và chỉ khi f(x) liên tục phải và liên tục trái tại x O . lim ( ) lim ( ) ( )f x f x f x o x x x x o o = = + − → → Hệ quả:Nếu h/s f(x) là ltục trên [a,b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất 1 điểm c ∈(a,b) sao cho f(c)=0 BẢNG ĐẠO HÀM 1 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 TT HÀM SƠ CẤP VÀ HP TT HÀM SƠ CẤP VÀ HP 1 (U ± V) / = U / ± V / 14 ( ) ( 0) 2 u u u u = 〉 / / 2 (U.V) / = U / V+V / U 15 ( ) 1 ( , 0)x x x α α α α − = ∈ 〉¡ / 3 ( 0) U− = ≠ ÷ / / / U U V V V 2 V V 16 ( ) 1 . ( )u u u α α α α − = ∈ ¡ / / 4 (c) / = 0 (constant) 17 (sinx) / = cosx 5 (x) / = 1 18 (cosx) / = - sinx 6 (ax) / = a ( a )∈¡ 19 (tanx) / = 1 2 1 tan 2 cos x x = + 7 1 1 ( 0) 2 x x x = − ≠ ÷ / 20 (cotx) / = 1 2 (1 cot ) 2 sin x x − = − + 8 ( 0, ) 2 a a x a x x = − ≠ ∈ ÷ ¡ / 21 (sinu) / = cosu .u / 9 ( ) 1 ( ) 2 x x o x = 〉 / 22 (cosu) / = - sinu . u / 10 ( 0, 0) 2 ( ) ax b ad bc c ad bc cx d cx d + − = ≠ − ≠ + + ÷ / 23 (tanu) / = 2 (1 tan ). 2 cos u u u u = + / / 11 (au) / = au / ( )a ∈¡ 24 (cotu) / = 2 (1 cot ). 2 sin u u u u − = − + / / 12 1 ( 0) 2 v v v v = − ≠ ÷ / / *CHÚ Ý: 1)TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA: B1:Tính ( ) ( ) 0 0 f x f x y x ∆ = + ∆ − B2:Lập Tỉ Số: y x ∆ ∆ B3:Tìm 0 y Lim x x ∆ ∆ → ∆ 2) TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC : B1: NHẬN DẠNG HÀM SỐ (Tổng-Hiệu,Tích,Thương,LũyThừa,Căn ,Lượng Giác,Mũ,Logarit) B2: ÁP DỤNG BẢNG ĐẠO HÀM 25 * ( [ ( )]) .f u x y y u x u x = = / / / / (Hàm hợp) * 0 ( ) lim o x y f x x ∆ → ∆ = ∆ / (đònh nghóa đạo hàm tại o x ) * Đạo Hàm Cấp Cao : f (n) (x) = (n-1) [ f (x) ] ′ *Vi Phân: dy = y ′ dx hoặc d[f(x)] = ( )f x ′ .dx *LOẠI :TIẾPTUYẾN TẠI M 0 (x 0 ; y 0 ) a.PP:B1:Tìm toạ độ tiếp điểm M 0 x y 0 0 y x 0 0 ⇒ ⇒ B2:Tìm hsg k=att = / f (x ) 0 B3:Vậy phương trình tiếp tuyến d của ( C ) tại M 0 là: y = / f (x ) 0 (x-x 0 ) +y 0 13 ( 0, ) 2 a a v v a v v = − ≠ ∈ ÷ ¡ / / 26 2 2 2 2 2 2 ( ) + + + + = ÷ + + + + a b a c b c x x a b a c b c ax bx c a x b x c a x b x c / / / / / / / / / / / / / 1 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (GIỚI HẠN HÀM SỐ ) E-GIỚI HẠN HÀM SỐ: Bài 1)Tìm các giới hạn sau : 1/ 2 6 lim 2 2 4 x x x x + + → − 2/ 3 2 5 3 9 lim 4 2 3 8 9 x x x x x x − + + → − − 3/ 3 2 lim 2 7 49 x x x − − → − 4/ 2 2 3 lim 2 1 3 2 x x x x − + → − + 5/ 3 lim 7 1 x x x + →− 6/ ( ) 1 lim 1 2 1 x x x − →+∞ − Bài 2)Tìm các giới hạn sau : 1./ 1 lim ( cos ) 0 x x x → 2./ 2 3 2 lim 1 1 x x x x + + →− + 3/ 2 2 lim 3 2 1 x x x x x − − →− + 4./ 2 2 1 lim 2 1 2 x x x x x − + →− + 5./ 4 3 2 lim 4 2 2 7 x x x x x x − + →−∞ + − 6./ 3 1 lim 2 5 3 x x x x − →∞ + + 7./ 3 3 lim 7 1 x x x + →− 8/ 2 6 lim 2 2 x x x x + − → − 9/ 2 3 5 1 lim 2 2 x x x x − + →+∞ + 10/ ( ) 2 lim 1x x x + − →+∞ 11/ 3 8 11 7 lim 2 2 3 2 x x x x x + − + → − + Bài 3) Tìm các giới hạn sau : 1/ 4 lim 0 9 3 x x x → + − 2/ 2 7 3 lim 1 2 3 x x x + − → − + 3/ 3 2 1 lim 2 1 3 2 x x x x x x − − + → − + 4/ 2 2 1 2 2 lim 2 1 4 3 x x x x x x − − + − → − + 5/ 9 16 7 lim 0 x x x x + + + − → 6/ 2 lim ( 5 )x x x x − + →±∞ Bài 4)Tính các giới hạn sau : 1/ 3 2 3 2 lim 2 3 2 x x x x x + − →∞ − 2/ 3 1 lim 2 5 3 x x x x − →∞ + + 3/ 1 3 lim ( ) 3 1 1 1 x x x − → − − 4/ 2 lim ( 4 7 2 )x x x x + + →−∞ 5/ 2 2 lim ( 2 1)x x x x x + + − − + →−∞ Bài 5) Cho biết sin lim 1. 0 x x x = → Tính : 1/ 1 cos lim 2 0 x x x − → 2/ sin . sin 2 lim 2 0 x x x x → 3/ 2 1 cos lim 0 sin x x x x − → 4/ 1 cos 3 lim 0 1 cos x x x − → − 5/ 1 cos 4 lim 0 sin x x x x − → 6/ 1 2 1 lim 0 sin 2 x x x − + → 7/ 2 1 1 lim 0 sin x x x x + − + → 8/ lim sinx x x π →∞ 9/ sin 3 lim 0 x x x → 10/ 1 cos 5 lim 2 0 x x x − → 11/ cos cos 3 lim 2 0 sin x x x x − → 12/ 1 lim ( ) cos 2 tgx x x π − → Bài 6) Tính các ghạn sau: 1/ 3 2 lim (x 5x 10x) 0x + + → 2/ 2 lim (5x 7x) 3x − → 3/ 2 2 5 lim 3 3 x x x x + + → − 3 1 lim 2 1 3 2 x x x + →− + − 5/ 2 lim ( 1 )x x x x + − →+∞ Bài 7) Tính các ghạn sau: 1/ 3 3 2( ) 2 lim 0 x h x h h + − →− 2/ 4 4 lim x a x a x a − → − 3/ 2 1 1 lim 0 x x x x x + − + + → 4/ 2 lim 2 4 1 3 x x x x − + →− + − 5/ 1 1 lim 0 3 x x x − − → 6/ 3 2 1 lim 1 1 x x x x x − + − → − 7/ 1x x3x2 2 2 1x − + −→ lim 9/ 5x 5x 2 1x + + −→ lim 10/ 2 3 2 lim 2 2 ( 2) x x x x − + → + 11/ 2 2 3 1 lim 3 2 1 2 1 x x x x x x − + → − − + 12/ 2 3 5 1 lim 2 1 x x x x − + →∞ − 13/ 2 2 ( 1) (7 2) lim 4 (2 1) x x x x − + →∞ + 14/ 2 (3 10(5 3) lim 2 (2 1)( 1) x x x x x + + →∞ − + 15, 3 x 2 3x 2 3 x 3 x 1 lim x 2 + →− − + + + + + 16, 3 x 3 x 5 3 4 x x 2 lim x 3 + →− − + + + + + Bài 8) Cho các hàm số : a/f(x)= 2 1 1 5 3 1 x x x x x − > + ≤ b/f(x)= 2 2 1 1 2 1 1 x x x x x x x + − > − + − ≤ .Tìm lim ( ) 1 f x x → 2 2 lim ( 2 1)/ x x x x x c + + − − + →−∞ 9) Tính các ghạn sau: 1/ 3 1 lim 2 1 2 1 x x x x − → − + 2/ 2 2 3 lim 2 1 1 x x x x − + → + 3/ 2 lim 2 4 1 3 x x x x − + → + − 4/ 1 3 lim ( ) 3 1 1 1 x x x − → − − 5/ 4 lim 0 9 3 x x x → + − 6/ 3 2 3 2 lim 2 3 2 x x x x x + − →∞ − F-HÀM SỐ LIÊN TỤC: Bài1) Xét sự liên tục tại x 0 của hàm số f(x) trong các trường hợp sau : 1/ f(x) = 5 ; 5 2 1 3 2 ( 5) 3; 5 x x x x x − > − − + + ≤ tại x 0 = 5 2/ f(x) = 2 ; 4 5 3 3 ; 4 2 x x x x − ≠ + − = tại x 0 = 4 3/ f(x) = 3 2 2 2 2 1 1 4 1 x x x x x x − + − ≠ − = tại x 0 = 1 1 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 4/ f(x) = 1 2 3 ; 2 2 1 ; 2 x x x x − − ≠ − = tại x 0 = 2 5/ 2 1 ( ) x f x x − = ≤ nếu x>1 5x+3 nếu x 1 tại 1 o x = 6/ ( ) 1 2 1 1 2 3 x f x x x + > = = ≤ nếu tại x o nếu x 1 Bài2) Đònh a,b để hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0 : 1/f(x) = 3 1 ; ( 1) 1 2; ( 1) x x x ax x − < − + ≥ tạix o =1 2/ f(x) = 2 7 12 ; 3 3 2 ; 3 x x x x x b x − + > − + ≤ tại x 0 = 3 3/ f(x) = 3 3 2 2 ; 2 2 1 ; 2 4 x x x ax x + − > − + ≤ tại x 0 = 2 4/ f(x) = 2 3 2 ; 2 3 8 ; 2 1 ; 2 x x x x a x bx x − + > − = + < tại x 0 = 2 Bài3) Chứng minh rằng : 1/ Phương trình x 3 + 5x – 3 = 0 có nghiệm thuộc (0,1) 2/ Phương trình x 4 - 5x +2 = 0 có ít nhất một nghiệm. 3/ Phương trình x 4 + 3x – 7 = 0 có 2 nghiệm phân biệt . 4/ Phương trình x 3 + 3x 2 – 1 = 0 co ù3 nghiệm phân biệt 5/ P/t 2x 3 –3x 2 –3x + 2 = 0 có 3 nghiệm thuộc (-2,3) 6/ P/t x 5 +x-1=0 có nghiệm thuộc khoảng (-1,1) 7/Phương trình: a/ 3x 2 +2x-2 có ít nhất 1 nghiệm b/ 4x 4 +2x 2 -x-3 có ít nhất 2n 0 pb trên (-1,1). 8/ Phương trình : 2x 3 -6x+1 = 0 có 3 nghiệm trên (-2,2). Bài 4)Cho hàm số :f(x) = = ≠ − − 12 1 1 1 2 x x x x .Xét tính ltục của h/s đã cho tại x o =1. Bài 5)Cho hàm số :f(x) = ≥ <+ 0 01 2 xax xx .Xét tính l tục của h/s đã cho tại x o =0 Bài 6)Cho h/s :y= <−+ ≥+ 11 11 2 xxx xax .Xét tính ltục của h/s trên toàn trục số. Bài 7)Xét xem các h/s sau có ltục tại ∀x không, nếu chúng không ltục thì chỉ ra các điểm gián đoạn. a/f(x)= x 3 -2x 2 +3x+1 b/f(x)= 23 12 2 +− + xx x c/f(x)= 2 6 2 2 − − x xx d/ y= tan x x e/ f(x)= = ≠ − − 48 4 4 16 2 x x x x Bài 8)Cho các hs f(x) chưa xác đònh tại x=0 có thể gán cho f(0) giá trò bằng bao nhiêu để f(x) l tục tại x=0. a/f(x)= x xx 2 2 − Đs:f(0)=-2 b/f(x)= 2 2 2 x xx + Đs:k 0 tồn tại Bài 9)Cho hs :f(x)= > ≤ 23 2 2 x xax . Tìm a để hs f(x) là ltục ∀x, khi đó hãy vẽ đồ thò của y=f(x) BÀI TẬP CHƯƠNG 5 (ĐẠO-HÀM) Bài 1)Tính đạo hàm bằng đònh nghóa: y = x 2 + 3x tại x 0 =1 ;y = x 3 − tại x 0 = 2 ;y = 1 1 − + x x tại x 0 = 0 ; y= 7+x-x 2 tại x 0 = 1 ; y= x 3 –2x+1 tại x 0 = 2 Bài 2)Tính đạo hàm các hàm số sau: a/ y= x 5 –4x 3 +2x –3 ; y = 2 4 x – 3 2 3 x + 5 4 2 x –1 ; y = 3x 3 .(2x–3) ;y = ba bax + + (a+b ≠0) ; y = (x 7 +x) 2 b)y = (x 2 +1)(5–3x 2 ) ; y = 1 2 2 −x x ;y = 1 35 2 ++ − xx x ; y = x(2x–1)(3x+2) ; y = (x+1)(x+2) 2 (x+3) 3 ; y = 23 2 +− xx c) y = 22 xa x − ( a là hằng số ) ;y = xx 1 ;y = x x − + 1 1 ; y= sin 2 x ;y= cos 2 2x ;y= 2tg2x ;y= 3cotg 2 x d) y= 3 x ;y= 3 2 1x x− + ;y= 5 2 1 x ; y= cotg 5 ( 3 1 x+ ) ; y=sin 2 (cos3x) ;y= 2 1 3 x x − − ; y= 2 2 3 2 x x x − + − Bài 3)Cho đường cong y = x 3 .Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong: 1 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 a/ Tại điểm có hoành độ bằng –2 b/Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 Bài 4)Cho hàm số y = f(x) = 2cos 2 (4x –1).Tìm tập giá trò của f (x) ′ . Bài 5) f(x) = cos 2 x.Tính ( )f x ′′ Bài 6)Cho hàm số: f(x) = 1 x+ .Tính f(3) + (x-3)f'(3) Bài 7)Tìm b ;c sao cho đồ thò của hàm số y= x 2 +bx +c tiếp xúc với đường thẳng y= x tại điểm A(1;1) Bài 8)Cho đồ thò (C) của hàm số y= x 3 +x 2 +3x+1.Chứng minh rằng đồ thò (C) không thể có hai tiếp tuyến vuông góc nhau. Bài 9)Cho đồ thò (C) của hàm số: y= 2 x 2 1 1 x x + − − .Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) vuông góc với đường thẳng (d): y= x Bài 10)Viết phương trình tiếp tuyến của: a/Đồ thò (C):y= 2x+ + 2 1 2x tại điểm có hoành độ x=2 b/ Đồ thò (C): y= + − 1 1 x x và song song với (d):y= –2x Bài 11) Cho hàm số: y = x(3–x) 2 có đồ thò là (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y= 1 9 − x+2 Bài 12) 2 1y x x= + + .CM: a) 2 2 1 x .y' y+ = b) 4(1 + x 2 ) y" + 4xy' = y Bài 13)Cho hyperbol (H) y = 1 x a/ Viết phương trình tiếp tuyến với (H) song song với đường thẳng y = x 4 1 − b/ Viết phương trình tiếp tuyến với (H) vuông góc với đường thẳng y = x 4 1 − 14)Cho y = x 3 –3x 2 +2. Tìm x để: a/ y ′ > 0 b/ y ′ < 3. 15)Chứng minh rằng mỗi hàm số sau thoả mãn hệ thức tương ứng đã cho: a/ y = 3 4 x x − + ; 2 2 y ′ = (y-1). y ′′ b/ y= 2 2x x− ; y 3 . y ′′ +1= 0 16) = = + + / Giải p/t f ( ) 0 , : ( ) 3cos 4sin 5x biết f x x x x 17) Tính đạo hàm các hàm số sau: 2 2 4 2 2 4 sin cos cos cos sin sin x x x y x x x − + = − + 18) Tính đạo hàm các hàm số sau: a/y= ) 2 3 ()2(cot) 2 cos()sin( xtgxgxx −+−+−−+ π π π π b/y= ) 2 3 (cot). 2 () 2 3 sin()cos( xgxtgxx −+−+−+− πππ π c/y= )sin(2)2cos() 2 3 cos().2cos( ππ π π −−++−− xxxx 19)Chứng minh các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: 1 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 a) y= 3(sin 4 x + cos 4 x ) – 2(sin 6 x+cos 6 x) b) y= gx xx xg xxg cot cos.sin cot coscot 2 22 + − c) y=cos 2 x.cotg 2 x + 3cos 2 x – cotg 2 x – 4sin 2 x d) y= xx xtg xx xx x cossin 1 cossin cossin sin 2 2 −− − + − − e) y= xtg xtg xx 2 2 22 1 1 cossin 1 − + + − f) y= 1cos2 sin21 2 2 − − x x k) y= cosx + cos(120 0 - x) .cos(120 0 + x) l) y = ) 3 (cos) 3 (coscos 222 xxx −+++ ππ 20)Cho hàm số f(x)= 2 2cos (4 1).x − Tìm tập giá trò của / ( )f x ………………………………………………………………………………………………………. 1 . 1 3 x x − − ; y= 2 2 3 2 x x x − + − Bài 3)Cho đường cong y = x 3 .Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong: 1 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 a/ Tại điểm có hoành độ bằng –2 b/Biết rằng hệ số. (C):y= 2x+ + 2 1 2x tại điểm có hoành độ x=2 b/ Đồ thò (C): y= + − 1 1 x x và song song với (d):y= –2x Bài 11) Cho hàm số: y = x(3–x) 2 có đồ thò là (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C). 8/ 2 6 lim 2 2 x x x x + − → − 9/ 2 3 5 1 lim 2 2 x x x x − + →+∞ + 10/ ( ) 2 lim 1x x x + − →+∞ 11/ 3 8 11 7 lim 2 2 3 2 x x x x x + − + → − + Bài 3) Tìm các giới hạn sau : 1/ 4 lim 0 9 3 x x x → +