HSG Gia Lai (2007-2008)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 GIA LAI Năm học: 2007 – 2008 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) ĐỀ BÀI: Bài 1: ( 2,5 điểm) Phương trình 30 4 2008x y + = có bao nhiêu nghiệm nguyên dương? Vì sao? Bài 2: ( 2 điểm) Chứng minh rằng với mọi số dương , ,a b c , ta có: ( ) 4 3 5 2 2 3a b c ab bc ca+ + ≥ + + Đẳng thức xảy ra khi nào ? Bài 3: ( 2,5 điểm) Xác định giá trị nguyên của m để cho phương trình sau đây có hai nghiệm số trái dấu nhau: ( ) ( ) 2 2007 2008 2 2009 0m x mx m − − + − = . Bài 4: ( 3 điểm) Cho ( ) 3 5 4 2 3 5 A + = + + và ( ) 3 5 4 2 3 5 B − = − − . Tính 3 3 A B− . Bài 5: ( 4 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp những điểm ( ) ;M x y thỏa mãn hệ thức: 3x y+ = . Trong những điểm đó, tìm điểm có khoảng cách đến gốc tọa độ O là nhỏ nhất. Bài 6: ( 2 điểm) Trong một cuộc thi giải toán có 31 bạn tham gia. Mỗi bạn phải giải 5 bài. Cách cho điểm như sau: mỗi bài làm đúng được 2 điểm, mỗi bài làm sai hoặc không làm sẽ bị trừ 1 điểm, điểm thấp nhất của mỗi bạn là 0 điểm (không có điểm là số âm). Chứng tỏ rằng có ít nhất 7 bạn có số điểm bằng nhau. Bài 7: ( 4 điểm) Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Một cát tuyến qua M, cắt (O) tại hai điểm C và D (C nằm giữa M và D). a) Chứng minh: AC.DB = AD.CB . b) Phân giác góc CAD cắt CD tại I. Chứng minh BI là phân giác góc CBD. HẾT . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 GIA LAI Năm học: 2007 – 2008 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) ĐỀ BÀI: Bài 1: ( 2,5 điểm) Phương. đến gốc tọa độ O là nhỏ nhất. Bài 6: ( 2 điểm) Trong một cuộc thi giải toán có 31 bạn tham gia. Mỗi bạn phải giải 5 bài. Cách cho điểm như sau: mỗi bài làm đúng được 2 điểm, mỗi bài làm