BD HSG môn Hình

Giáo án bồi dỡng học sinh giỏi Chuyên đề: Một số bài toán liên quan đến đờng phân giác của tam giác. I. Mục đích, yêu cầu: - Giúp học sinh hiểu sâu hơn về một vấn đề (đờng phân giác) trong tam giác trớc khi đi đến một bài toán tổng hợp. - Cung cấp một hệ thống bài tập nhằm nâng cao kỹ năng làm bài cũng nh phát triển t duy toán học của các em. Học sinh nắm vững lý thuyết, trên cơ sở đó ứng dụng để giả các bài tập một cách linh hoạt. II. Phơng pháp giảng dạy: Nêu vấn đề kết hợp vấn đề vấn đáp gợi mở. III. Nội dung: A - Lý thuyết cơ bản Cho ABC; AD, AE lần lợt là đờng phân giác trong, phân giác ngoài góc ã BAC 1. DB EB AB c DC EC AC b = = = 2. AE AD 3. BD = ; ac ab DC b c b c = + + 4. 2 . 2 A bc cos AD b c = + 5. M AD d(M, AB) = d(M, AC) M AE 6. h a l a m a 7. (BCDE) = -1 1 a bc M A C E l a B D B - Bài tập Bài 1: Cho ABC; AE, BF lần lợt là các đờng phân giác trong ; M EF (M nằm trong ABC). H, I, K lần lợt là hình chiếu của M trên AB, BC, CA. Chứng minh: MH = MI + MK Hớng dẫn học sinh tìm lời giải: Cách 1: + Vẽ FP, EV AB FQ, ET AC FV MH = O O [MH] + Sử dụng định lý Talet MO FM MK EV FE ET = = MO = MK Tơng tự: OH = MI (đpcm) Cách 2: + Chứng minh kết quả phụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD) MN //AB: AM BN m MD NC n = = MN = . .n AB m CD m n + + Chứng minh: AC MN = I MN = MI + IN Mà: MI = . ; mCD n AB NI m n m n = + + đpcm + áp dụng vào hình thang FPVE; EIF; FQE đpcm 2 A B C Q I E V H P F O T M K C A B NM I D Bài 2: Cho ABC (không cân) ngoại tiếp đờng tròn (I). Gọi A 1 , B 1 , C 1 lần l- ợt là tiếp điểm của BC, CA, AB với (I) 1. Chứng minh tâm các đờng tròn ngoại tiếp các AIA 1 ; BIB 1 ; CIC 1 thẳng hàng. 2. Vẽ A 1 x AA 1 ; AA 1 cắt B 1 C 1 tại E. AE cắt BC tại F, chứng minh F là trung điểm AE. Hớng dẫn học sinh tìm lời giải: 1. +) Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp AIA 1 ? Vẽ At AI; At cắt BC tại A 2 . I A trung điểm A 2 I. Tơng tự cho I B , I C . +) I A , I B , I C thẳng hàng khi nào? I A , I B , I C thẳng hàng A 2 , B 2 , C 2 thẳng hàng. +) 2 2 2 2 2 2 ; ; A B AB B C BC C A CA A C AC B A BA C B CB = = = đpcm 2. +) B 1 C 1 AI = H Ta có: 2 2 1 1 1 1 .IH IA IB IA IH IA IA IA = = = Nên IHA 1 : IA 1 A ã ã 1 1 IHA IA A= Mà: ã ã 1 1 IHA A EA= (do tứ giác AHA 1 E nội tiếp đờng tròn (AE)); 3 C A B 1 A 1 B A 2 I A C 1 I CC A B 1 A 1 B C 1 E F I H ã ã 1 1 IA A FA E= (phụ ã 1 AA F ) ã ã 1 1 1 A EA FA E FE FA FA= = = (đpcm) Bài 3: Cho ABC nội tiếp đờng tròn (0); Các đờng phân giác trong AA', BB', CC' của ABC cắt (0) lần lợt tại A 1 , B 1 , C 1 . 1. Chứng minh 1 1 1 ' ' ' 9 4 AA BB CC AA BB CC + + 2. S', S lần lợt là diện tích A'B'C', ABC. Chứng minh; S' 1 4 S 3. Các cặp đoạn thẳng (A 1 C 1 , A 1 B 1 ); (B 1 A 1 , B 1 C 1 ) (C 1 B 1 , C 1 A 1 ) cắt BC, CA, AB lần lợt tại M, N, P, Q, E, F. Thoả mãn MN = PQ = EF. Chứng minh ABC là đều. Hớng dẫn học sinh tìm lời giải: 1. +) Xác định 1 'AA AA ? ABA' ~ AA 1 C 1 'AB AA AA AC = AA'.AA 1 = bc 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 ' ' 2 . 2 ' 4 . ' 2 .( 1) 2 1 ( ) ( ) ( ) AA AA AA bc A bc cos AA b c A b c cos AA bc cos A a AA bc b c b c b c = = + + = = = + + + +) Tơng tự: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ' ' ' 3 ( ) ( ) ( ) AA BB CC a b c AA BB CC b c c a a b + + = + + + + + 4 A B 1 C A 1 B C 1 E Q B' P N A' M F C' I O +) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 ( ) ( ) ( ) 2( ) 2( ) 2( ) a b c a b c b c c a a b b c c a a b + + ≥ + + ≥ + + + + + + ⇒ ®pcm DÊu "=" x¶y ra ⇔ ∆ABC ®Òu. 2. +) S AB'C' ? ' ' ' '. . . ( )( ) AB C AC AB S bc S S AB AC a c a b = = + + T¬ng tù: ' ' ' ' . ; . ( )( ) ( )( ) ' 1 . ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 1 . ( )( )( ) 4 BA C CB A ac ab S S S S b a b c c a c b bc ca ab S S a b a c b c b a c a c b abc S S a b b c c a = = + + + +   ⇒ = − − −   + + + + + +   = ≤ + + + DÊu "=" xÈy ra ⇔ ∆ABC ®Òu. 3. X¸c ®Þnh MN, EF? +) ∆MNA 1 ~ ∆B 1 C 1 A 1 ⇒ MN = 1 1 1 1 B C A B . MA 1 . ∆EFC 1 ~ ∆A 1 B 1 C 1 ⇒ EF = 1 1 1 1 1 . A B FC B C . MN = EF ⇔ 2 1 1 1 2 1 1 1 MA A B FC B C = +) X¸c ®Þnh MA 1 , FC 1 ? Trong ∆MA 1 B: MA 1 = . 2 2 A MB sin C sin Trong ∆BFC 1 : CF 1 = . 2 2 C FB sin A sin 5 2 1 2 1 2 2 A sin MA C FC sin = (MB = FB) +) A 1 B 1 C 1 : 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 A B C sin cos A B A B C B C CB sin + ữ = = + ữ +) Do đó 2 1 1 1 2 1 1 1 M A A B F C B C = sin 2 A = sin 2 C A = C Tơng tự đpcm Bài 4: Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O); AD là phân giải trong. Gọi (O 1 ), (O 2 ) là các đờng tròn nội tiếp tam giác tròn ADB và ADC. Chứng minh O 1 O 2 AD Hớng dẫn học sinh tìm lời giải: Cách 1: +) AD cắt (O) tại E nhận xét D 1 , M, E? D 1 , M, E thẳng hàng 1 k D V : (O 1 ) (O) M E +) EBD 1 ~ EMB EB 2 = EM. ED 1 . Tơng tự EC 2 = EN. ED 2 . EM. ED 1 = EN. ED 2 Hai đờng tròn tiếp xúc nhau EA O 1 O 2 . Cách 2: Để chứng minh: AD O 1 O 2 cần chứng minh điều gì ? Ta chứng minh hai đờng tròn tiếp xúc nhau DB = DN. +) Từ OO 1 x Đặt ã ADB = 2; ã 1 O DO = . Xét O 1 OD 6 D 2 C E D 1 B O 1 T O O 2 N y D H M x A 2 1 OO = O 1 D 2 + OD 2 - 2O 1 D. OD. cos (R - R 1 ) 2 = x 2 + R 1 2 + OD 2 - 2x cos . OD. cos. x 2 - 2x. 2 2 . 2 . . 0 + + = OD cos R x tg OD R cos x 2 - 2x. 2 2 . .sin 0 OD cos R OD R cos + = +) Tơng tự xét OO 2 D: y 2 - 2y 2 2 .s . sin DO in R cos DO R + = 0 (O 1 D O 2 D) +) Ta cần chứng minh? Ta chứng minh: . sin .sin sin DO cos R DO Rcos cos = R.cos2 = DO.sin ( - ) = DO.sinADO = R.sinDAO cos2 = sinDAO Thật vậy vẽ AH BC Cos2 = sin HAD = sin ã DAO đúng ( ã ã ã HAD OEA OAE= = ) Do đó x = y đpcm. Bài 5: Cho ABC. AM, BN, CP lần lợt là các đờng phân giác trong góc, đ- ờng tròn ngoại tiếp MNP cắt BC, CA, AB và tạo thành các đoạn thẳng. Chứng minh tổng hai đoạn thẳng trong ba đoạn thẳng đó bằng độ dài đoạn thẳng còn lại. Hớng dẫn học sinh tìm lời giải: (O) cắt BC, CA, AB tại các điểm thứ 2: I, J, K. + Ta chứng minh bằng phơng pháp nào? Độ dài đại số. Đặt BC = a, CA = b, AB = c 7 A J N M I B P K IM = x, JN = y, KP = z. + Hãy xác định ; ;NA AP BM Ta có: ; ; bc cb ac NA AP BM c a a b b c = = = + + + +) Tính , ?JA AK Khi đó . bc JA JN NA y c a = + = + + . cb AK AP PK z a b = + = + Mà: . .AK AP AJ AN= . . bc cb bc bc z y a b a b c a c a = + ữ ữ + + + + 2 2 ( ) ( ) ay az abc abc a c a b a b a c + = + + + + +) Rút ra biểu thức tơng tự: 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) bz bx abc abc a b b c b c a b cx cy abc abc b c a c a c b c + = + + + + + = + + + + x + y + z = 0 (đpcm) Bài 6: Cho nhọn ABC; (O B ), (O C ) là các đờng tròn bằng tiếp góc B, góc C. (O B ) tiếp xúc với AB, BC, CA lần lợt tại M, N, I; (O C ) tiếp xúc với AC, CB, BA lần lợt tại E, F, K. MN cắt EF tại P. Chứng minh PA BC. Hớng dẫn học sinh tìm lời giải: +) Ta cần chứng minh điều gì? AP // O B N AP BC = Q +) O B , O C , A? Thẳng hàng. +) AEO C ~ AMO B 8 P M O B NC BF O C E A 1 2 1 1 2 1 2 K I ⇒ C B AE AO AM AO = (1) +) 1 2 ( ) . ( ) . QF dt PFQ PF SinP QN dt PNQ PN SinP = = +) XÐt 1 2 1 1 2 1 PE sin N cos N sin M PN sin F cos F sin E = = = Nªn: 1 1 1 2 sin . . sin QF sin M P PA AE AE QN sin E P AM PA AM = = = (2) Tõ (1) vµ (2): ⇒ C B AO QF AO QN = ⇒ ®pcm. 9 Bài 7: Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O,R); Một đờng tròn (O', R') tiếp xúc ngoài với (O) và với hai tia AB, AC tại M, N; AO' cắt MN tại I. Chứng minh ã ã MBI CBI= Hớng dẫn học sinh tìm lời giải: +) Ta cần chứng minh điều gì? I là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. +) ã 'OAO ? ã ã ' 2 ( 2 ) B C OAO AOE C A = = + +) AO' ? Tam giác vuông AO'M: AO' = ' sin 2 R A +) Xét AOO': (R + R') 2 = R 2 + AO' 2 - 2R. AO'.cos ( ) 2 B C 2 2 2 2 ' .sin 2 . '.sin ' 2 . '.sin . 2 2 2 2 A A A B C R R R R R R cos + = 2 '. 4 .sin . 2 2 2 2 A A B C R cos R cos cos= +) Xác định ,sin 2 2 A A cos theo cạnh? ( ) ( )( ) ;sin 2 2 1 ( ). . .sin 2 2 1 sin .sin . 2 2 2 A p p a A p b p c cos bc bc A S r p a tg bc A p p A A S bc A bc cos = = = = = ữ ữ ữ = = ữ 10 A C N I O' M F B E J O [...]... = = ra 2 abc pa Vẽ IF AM : IF = AI AI AM MO ' = MO ' AO ' AM AO ' = R ' cos 2 A IF = ra đpcm 2 Bài 8: Cho ABC, gọi D, E, F lần lợt là trung điểm các cạnh AB; BC; CA; ã Giả sử đờng phân giác của BDC cắt BC tại M; phân giác góc ã ADC cắt AC tại N; MN và CD cắt nhau tại O; EO cắt CA tại P và FO cắt BC tại Q Chứng minh: CD = PQ Hớng dẫn học sinh tìm lời giải: +) Nhận xét gì MN và AB? Tính chất đờng... thoả mãn (đpcm) 2 Cách 1: Xét MNP, DCN ? ã ã ã ã NMP = NDC ; NPM = NCD MP MN = MPN ~ DCN DC DN MN C MP = DC = 2.cos DC không đổi DN 2 C Tơng ứng NQ = 2.cos DC không đổi 2 Cách 2: Gọi S1; O1, D1 là hình chiếu của S, O, D trên BC Ta có: S1, O1 lần lợt là trung điểm MP, S1D1,O1 trung điểm CM Đ01: S1 D1 M C S1M = D1C MP = 2S1M = 2D1C không đổi 13 . Cho hình thang ABCD (AB // CD) MN //AB: AM BN m MD NC n = = MN = . .n AB m CD m n + + Chứng minh: AC MN = I MN = MI + IN Mà: MI = . ; mCD n AB NI m n m n = + + đpcm + áp dụng vào hình. Cho ABC; AE, BF lần lợt là các đờng phân giác trong ; M EF (M nằm trong ABC). H, I, K lần lợt là hình chiếu của M trên AB, BC, CA. Chứng minh: MH = MI + MK Hớng dẫn học sinh tìm lời giải: Cách. là đờng phân giác trong, phân giác ngoài góc ã BAC 1. DB EB AB c DC EC AC b = = = 2. AE AD 3. BD = ; ac ab DC b c b c = + + 4. 2 . 2 A bc cos AD b c = + 5. M AD d(M, AB) = d(M, AC) M AE 6.