Đề Thi chuyên THPT

Đề chính thức Môn thi: TOÁN (chuyên) Ngày thi: 19/06/2009 Thời gian: 150 phút Bài 1. (1,5 điểm) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 1 2 b c c a a b < + + < + + + Bài 2. (2 điểm) Cho 3 số phân biệt m, n, p. Chứng minh rằng phương trình 1 1 1 0 x m x n x p + + = − − − có hai nghiệm phân biệt. Bài 3. (2 điểm) Với số tự nhiên n, n ≥ 3. Đặt S n = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 1 2 5 2 3 2n 1 n n 1 + + + + + + + + L . Chứng minh rằng S n < 1 2 . Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. E là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC. Nối AE cắt cạnh BC tại D. a. Chứng minh: AD 2 = AB.AC – DB.DC b. Tính độ dài đoạn AD theo a, b, c. Bài 5. (1,5 điểm) Chứng minh rằng: ( ) 2 m 1 2 n n 3 2 − ≥ + với mọi số nguyên dương m, n. GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH MÔN TOÁN CHUYÊN NĂM HỌC 2009 – 2010 Ngày thi: 19/06/2009 – Thời gian: 150 phút Bài 1. (1,5 điểm) Chứng minh: a b c 1 2 b c c a a b < + + < + + + (với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác). Ta có: m m k n n k + < + , (với 0 < m < n, k > 0) (1) Thật vậy, (1) ⇔ 0 < m(n + k) < n(m + k) ⇔ 0 < mk < nk ⇔ 0 < m < n Áp dụng: 0 < a < b + c ⇒ a 2a b c a b c < + + + 0 < b < c + a ⇒ b 2b c a a b c < + + + 0 < c < a + b ⇒ c 2c a b a b c < + + + Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên : a b c 2(a b c) 2 b c c a a b a b c + + + + < = + + + + + (2) Ta chứng minh bất đẳng thức phụ: ( ) 1 1 1 x y z 9 x y z   + + + + ≥  ÷   (x, y, z > 0) (3) (3) ⇔ x y y z x z 3 y x z y z x       + + + + + +  ÷  ÷  ÷       ≥ 9: BĐT đúng Thay x = a + b, y = b + c, z = c + a vào (2): 1 1 1 2(a b c) 9 a b b c c a   + + + + ≥  ÷ + + +   ⇔ 1 1 1 9 (a b c) a b b c c a 2   + + + + ≥  ÷ + + +   ⇔ c a c 9 1 1 1 a b b c a b 2 + + + + + ≥ + + + ⇔ a b c 9 3 3 1 b c c a a b 2 2 + + ≥ − = > + + + (4) Từ (3), (4) suy ra: a b c 1 2 b c c a a b < + + < + + + . Bài 2.(2 điểm) Chứng minh phương trình 1 1 1 0 x m x n x p + + = − − − (1) có hai nghiệm phân biệt (∀ m ≠n ≠ p) Điều kiện xác định của phương trình: x ≠ m, n, p. Biến đổi tương đương: (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x m x n x n x p x m x p 0− − + − − + − − = ⇔ 3x 2 – 2x(m + n + p) + mn + np + mp = 0 ∆ ’ = (m + n + p) 2 – 3(mn + np + mp) = m 2 + n 2 + p 2 – mn – np – mp = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 m n n p m p 2   − + − + −   > 0 (vì m ≠ n ≠ p) Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài 3.(2 điểm) Chứng minh S n = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 1 2 5 2 3 2n 1 n n 1 + + + + + + + + L , ∀ n ∈ N, n ≥ 3 Ta có: 2n 1 2 n(n 1)+ > + ⇔ (2n + 1) 2 > 4n(n + 1) ⇔ 4n 2 + 4n + 1 > 4n 2 + 4n Do đó: ( ) ( ) ( ) 1 1 2n 1 n n 1 2 n n 1 . n(n 1 < + + + + + + = ( ) n 1 n 1 2 n 1 n n(n 1)   + −   + − +     = = 1 1 1 2 n n 1   −   +     (1) Cho n lần lượt lấy các giá trị từ 1 đến n, thay vào (1), rồi cộng vế theo vế các bất đẳng thức tương ứng, ta có: S n = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 1 2 5 2 3 2n 1 n n 1 + + + + + + + + L < < 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 n n 1   − + − + + −  ÷  ÷ +   L = 1 1 1 1 2 2 n 1   − <  ÷  ÷ +   . Vậy S n < 1 2 , ∀ n ∈ N, n ≥ 3. Bài 4. (3 điểm) a) Chứng minh: AD 2 = AB.AC – DB.DC Xét hai tam giác ABD và AEC, ta có: ¶ ¶ 1 2 A A= (AD là phân giác góc A) · · ABD AEC= (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) Do đó ∆ABD ∆AEC (g.g) Suy ra AD AB AC AE = ⇔ AD.AE = AB.AC Mặt khác, ∆ABD ∆CED (g.g), nên BD DA DE DC = ⇒ BD.DC = DA.DE Từ đó: AB.AC – BD.DC = AD.AE – DA.DE = AD(AE – DE) = AD 2 Vậy AD 2 = AB.AC – DB.DC (1) b) Tính AD theo a, b, c Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có: DB DC DB DC DB DC BC a AB AC c b c b c b c b + = ⇔ = = = = + + + Suy ra 2 DB DC DB.DC a . c b bc b c   = =  ÷ +   ⇒ DB.DC = 2 a .bc b c    ÷ +   (2) Thay (2) vào (1), ta có: AD 2 = bc - 2 a .bc b c    ÷ +   = ( ) ( ) ( ) 2 b c a b c a a a bc 1 1 bc. b c b c b c + − + +    − + =  ÷ ÷ + + +    Vậy AD = ( ) ( ) bc b c a b c a b c + − + + + . Bài 5.(1,5 điểm) Chứng minh: ( ) 2 m 1 2 n n 3 2 − ≥ + , ∀ m, n ∈ N * Trước hết, ta cần chứng minh ( ) 2 1 1 2 n n 3 2 − ≥ + , ∀ n ∈ N * (1) S S A B C E D c b a 1 2 O Vì n ∈ N * nên bất đẳng thức (1) tương đương với: (1) ⇔ 2 1 3 2 2 n n − − ≥ (2). Đặt t = 1 n (0 < t ≤ 1), ta có: (2) ⇔ ( ) 2 3 2 t t 2 0− + − ≤ (∀ t, 0 < t ≤ 1) (3) Biến đổi tương đương: (3) ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t 3 2 t 3 2 t t 2− − − + − + − ≤ 0 ⇔ ( ) ( ) 3 2 t(t 1) 3 2 1 t 2− − + − + − ≤ 0 ⇔ ( ) ( ) ( ) 3 2 t(t 1) 3 2 1 t 3 2 1 3 2 2 1− − + − + − − + + − + ≤ 0 ⇔ ( ) ( ) 3 2 t(t 1) 3 2 1 (t 1) 3 2 2 1− − + − + − + − + ≤ 0 ⇔ 3 2 2 1− + ≤ 0 ( vì 0 < t ≤ 1) ⇔ 3 1 2 2+ ≤ ⇔ 4 2 3+ ≤ 8 ⇔ 2 3 ≤ 4 ⇔ 3 < 2 ⇔ 3 < 4: bất đẳng thức đúng. Do đó bất đẳng thức (2) đúng. Vì m 1 2 2 n n − ≥ − , ∀ m ∈ N * , nên ( ) 2 m 1 2 n n 3 2 − ≥ + ,∀ m, n ∈ N * Vậy ( ) 2 m 1 2 n n 3 2 − ≥ + , ∀ m, n ∈ N * Nhận xét: Dấu “=” trong bất đẳng thức không xảy ra. . 3 2 − ≥ + với mọi số nguyên dương m, n. GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH MÔN TOÁN CHUYÊN NĂM HỌC 2009 – 2010 Ngày thi: 19/06/2009 – Thời gian: 150 phút Bài 1 Đề chính thức Môn thi: TOÁN (chuyên) Ngày thi: 19/06/2009 Thời gian: 150 phút Bài 1. (1,5 điểm) Cho a, b, c là độ dài